Найдите точку минимума функции y = (25x2 + 484)/x.
y = 25x + 484/x, x ≠ 0.
y′ = 25 − 484/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±4,4.
y″ = 968/x3. При x = 4,4 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 4,4.
y = 25x + 484/x, x ≠ 0.
y′ = 25 − 484/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±4,4.
y″ = 968/x3. При x = 4,4 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 4,4.
Найдите точку минимума функции y = (25x2 + 324)/x.
y = 25x + 324/x, x ≠ 0.
y′ = 25 − 324/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±3,6.
y″ = 648/x3. При x = 3,6 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 3,6.
y = 25x + 324/x, x ≠ 0.
y′ = 25 − 324/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±3,6.
y″ = 648/x3. При x = 3,6 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 3,6.
Найдите точку минимума функции y = (16x2 + 196)/x.
y = 16x + 196/x, x ≠ 0.
y′ = 16 − 196/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±3,5.
y″ = 392/x3. При x = 3,5 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 3,5.
y = 16x + 196/x, x ≠ 0.
y′ = 16 − 196/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±3,5.
y″ = 392/x3. При x = 3,5 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 3,5.
Найдите точку минимума функции y = (9x2 + 225)/x.
y = 9x + 225/x, x ≠ 0.
y′ = 9 − 225/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±5.
y″ = 450/x3. При x = 5 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 5.
y = 9x + 225/x, x ≠ 0.
y′ = 9 − 225/x2. Из уравнения y′ = 0 получаем x = ±5.
y″ = 450/x3. При x = 5 вторая производная положительна, значит это точка минимума.
Ответ: 5.
Найдите точку максимума функции y = (x + 96)e96 − x.
y′ = e96 − x − (x + 96)e96 − x = (-95 − x)e96 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -95, поэтому это точка максимума.
Ответ: -95.
y′ = e96 − x − (x + 96)e96 − x = (-95 − x)e96 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -95, поэтому это точка максимума.
Ответ: -95.
Найдите точку максимума функции y = (x + 19)e19 − x.
y′ = e19 − x − (x + 19)e19 − x = (-18 − x)e19 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -18, поэтому это точка максимума.
Ответ: -18.
y′ = e19 − x − (x + 19)e19 − x = (-18 − x)e19 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -18, поэтому это точка максимума.
Ответ: -18.
Найдите точку максимума функции y = (x + 72)e72 − x.
y′ = e72 − x − (x + 72)e72 − x = (-71 − x)e72 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -71, поэтому это точка максимума.
Ответ: -71.
y′ = e72 − x − (x + 72)e72 − x = (-71 − x)e72 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -71, поэтому это точка максимума.
Ответ: -71.
Найдите точку максимума функции y = (x + 45)e45 − x.
y′ = e45 − x − (x + 45)e45 − x = (-44 − x)e45 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -44, поэтому это точка максимума.
Ответ: -44.
y′ = e45 − x − (x + 45)e45 − x = (-44 − x)e45 − x.
Показательный множитель положителен. Производная меняет знак с «+» на «−» при x = -44, поэтому это точка максимума.
Ответ: -44.
Найдите точку минимума функции y = (68 − x)e68 − x.
y′ = −(69 − x)e68 − x = (x − 69)e68 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 69. Это точка минимума.
Ответ: 69.
y′ = −(69 − x)e68 − x = (x − 69)e68 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 69. Это точка минимума.
Ответ: 69.
Найдите точку минимума функции y = (31 − x)e31 − x.
y′ = −(32 − x)e31 − x = (x − 32)e31 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 32. Это точка минимума.
Ответ: 32.
y′ = −(32 − x)e31 − x = (x − 32)e31 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 32. Это точка минимума.
Ответ: 32.
Найдите точку минимума функции y = (104 − x)e104 − x.
y′ = −(105 − x)e104 − x = (x − 105)e104 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 105. Это точка минимума.
Ответ: 105.
y′ = −(105 − x)e104 − x = (x − 105)e104 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 105. Это точка минимума.
Ответ: 105.
Найдите точку минимума функции y = (52 − x)e52 − x.
y′ = −(53 − x)e52 − x = (x − 53)e52 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 53. Это точка минимума.
Ответ: 53.
y′ = −(53 − x)e52 − x = (x − 53)e52 − x.
Поскольку показательный множитель положителен, производная меняет знак с «−» на «+» при x = 53. Это точка минимума.
Ответ: 53.
Найдите наименьшее значение функции y = 2x3 + 18x2 + 30x − 8 на отрезке [-6; 1].
y′ = 6(x + 5)(x + 1). Критические точки: x = -5 и x = -1.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-6) = 28, y(-5) = 42, y(-1) = -22, y(1) = 42.
Наименьшее из них равно -22.
Ответ: -22.
y′ = 6(x + 5)(x + 1). Критические точки: x = -5 и x = -1.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-6) = 28, y(-5) = 42, y(-1) = -22, y(1) = 42.
Наименьшее из них равно -22.
Ответ: -22.
Найдите наибольшее значение функции y = 2x3 − 9x2 + 6 на отрезке [-1; 5].
y′ = 6(x − 0)(x − 3). Критические точки: x = 0 и x = 3.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-1) = -5, y(0) = 6, y(3) = -21, y(5) = 31.
Наибольшее из них равно 31.
Ответ: 31.
y′ = 6(x − 0)(x − 3). Критические точки: x = 0 и x = 3.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-1) = -5, y(0) = 6, y(3) = -21, y(5) = 31.
Наибольшее из них равно 31.
Ответ: 31.
Найдите наименьшее значение функции y = 2x3 − 9x2 − 60x + 12 на отрезке [-4; 7].
y′ = 6(x + 2)(x − 5). Критические точки: x = -2 и x = 5.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = -20, y(-2) = 80, y(5) = -263, y(7) = -163.
Наименьшее из них равно -263.
Ответ: -263.
y′ = 6(x + 2)(x − 5). Критические точки: x = -2 и x = 5.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = -20, y(-2) = 80, y(5) = -263, y(7) = -163.
Наименьшее из них равно -263.
Ответ: -263.
Найдите наибольшее значение функции y = 2x3 + 6x2 − 48x − 3 на отрезке [-6; 4].
y′ = 6(x + 4)(x − 2). Критические точки: x = -4 и x = 2.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-6) = 69, y(-4) = 157, y(2) = -59, y(4) = 29.
Наибольшее из них равно 157.
Ответ: 157.
y′ = 6(x + 4)(x − 2). Критические точки: x = -4 и x = 2.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-6) = 69, y(-4) = 157, y(2) = -59, y(4) = 29.
Наибольшее из них равно 157.
Ответ: 157.
Найдите наименьшее значение функции y = 2x3 − 18x2 + 30x + 7 на отрезке [0; 7].
y′ = 6(x − 1)(x − 5). Критические точки: x = 1 и x = 5.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(0) = 7, y(1) = 21, y(5) = -43, y(7) = 21.
Наименьшее из них равно -43.
Ответ: -43.
y′ = 6(x − 1)(x − 5). Критические точки: x = 1 и x = 5.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(0) = 7, y(1) = 21, y(5) = -43, y(7) = 21.
Наименьшее из них равно -43.
Ответ: -43.
Найдите наибольшее значение функции y = 2x3 − 9x2 − 24x + 10 на отрезке [-3; 6].
y′ = 6(x + 1)(x − 4). Критические точки: x = -1 и x = 4.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-3) = -53, y(-1) = 23, y(4) = -102, y(6) = -26.
Наибольшее из них равно 23.
Ответ: 23.
y′ = 6(x + 1)(x − 4). Критические точки: x = -1 и x = 4.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-3) = -53, y(-1) = 23, y(4) = -102, y(6) = -26.
Наибольшее из них равно 23.
Ответ: 23.
Найдите наименьшее значение функции y = 2x3 + 6x2 − 18x − 4 на отрезке [-4; 4].
y′ = 6(x + 3)(x − 1). Критические точки: x = -3 и x = 1.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = 36, y(-3) = 50, y(1) = -14, y(4) = 148.
Наименьшее из них равно -14.
Ответ: -14.
y′ = 6(x + 3)(x − 1). Критические точки: x = -3 и x = 1.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = 36, y(-3) = 50, y(1) = -14, y(4) = 148.
Наименьшее из них равно -14.
Ответ: -14.
Найдите наибольшее значение функции y = 2x3 − 3x2 − 36x + 5 на отрезке [-4; 5].
y′ = 6(x + 2)(x − 3). Критические точки: x = -2 и x = 3.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = -27, y(-2) = 49, y(3) = -76, y(5) = 0.
Наибольшее из них равно 49.
Ответ: 49.
y′ = 6(x + 2)(x − 3). Критические точки: x = -2 и x = 3.
Сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка: y(-4) = -27, y(-2) = 49, y(3) = -76, y(5) = 0.
Наибольшее из них равно 49.
Ответ: 49.
Найдите наименьшее значение функции y = −2/5x√x + 6x − 4 на отрезке [25; 225].
y′ = −3/5√x + 6. Производная обращается в ноль при √x = 10, то есть при x = 100.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(25) = 96, y(225) = -4. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно -4.
Ответ: -4.
y′ = −3/5√x + 6. Производная обращается в ноль при √x = 10, то есть при x = 100.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(25) = 96, y(225) = -4. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно -4.
Ответ: -4.
Найдите наименьшее значение функции y = −1/4x√x + 3x + 7 на отрезке [16; 144].
y′ = −3/8√x + 3. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = 39, y(144) = 7. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 7.
Ответ: 7.
y′ = −3/8√x + 3. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = 39, y(144) = 7. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 7.
Ответ: 7.
Найдите наименьшее значение функции y = −2/3x√x + 8x + 5 на отрезке [9; 144].
y′ = −√x + 8. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(9) = 59, y(144) = 5. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 5.
Ответ: 5.
y′ = −√x + 8. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(9) = 59, y(144) = 5. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 5.
Ответ: 5.
Найдите наименьшее значение функции y = −1/2x√x + 6x − 10 на отрезке [16; 100].
y′ = −3/4√x + 6. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = 54, y(100) = 90. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 54.
Ответ: 54.
y′ = −3/4√x + 6. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = 54, y(100) = 90. Критическая точка является точкой максимума, поэтому искомое наименьшее значение среди концов отрезка равно 54.
Ответ: 54.
Найдите наибольшее значение функции y = 2/5x√x − 6x + 30 на отрезке [25; 225].
y′ = 3/5√x − 6. Производная обращается в ноль при √x = 10, то есть при x = 100.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(25) = -70, y(225) = 30. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 30.
Ответ: 30.
y′ = 3/5√x − 6. Производная обращается в ноль при √x = 10, то есть при x = 100.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(25) = -70, y(225) = 30. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 30.
Ответ: 30.
Найдите наибольшее значение функции y = 1/4x√x − 3x + 10 на отрезке [16; 144].
y′ = 3/8√x − 3. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = -22, y(144) = 10. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 10.
Ответ: 10.
y′ = 3/8√x − 3. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = -22, y(144) = 10. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 10.
Ответ: 10.
Найдите наибольшее значение функции y = 2/3x√x − 8x + 20 на отрезке [9; 144].
y′ = √x − 8. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(9) = -34, y(144) = 20. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 20.
Ответ: 20.
y′ = √x − 8. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(9) = -34, y(144) = 20. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно 20.
Ответ: 20.
Найдите наибольшее значение функции y = 1/2x√x − 6x + 50 на отрезке [16; 100].
y′ = 3/4√x − 6. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = -14, y(100) = -50. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно -14.
Ответ: -14.
y′ = 3/4√x − 6. Производная обращается в ноль при √x = 8, то есть при x = 64.
Вычислим значения функции в концах отрезка: y(16) = -14, y(100) = -50. Критическая точка является точкой минимума, поэтому искомое наибольшее значение среди концов отрезка равно -14.
Ответ: -14.
Найдите точку минимума функции y = x2 + 60 ln(x + 13) − 7.
Область определения: x > −13.
y′ = 2x + 60/(x + 13) = 2(x + 10)(x + 3)/(x + 13).
Критические точки: x = -10 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -10 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.
Ответ: -3.
Область определения: x > −13.
y′ = 2x + 60/(x + 13) = 2(x + 10)(x + 3)/(x + 13).
Критические точки: x = -10 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -10 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.
Ответ: -3.
Найдите точку максимума функции y = x2 + 64 ln(x + 12) + 1.
Область определения: x > −12.
y′ = 2x + 64/(x + 12) = 2(x + 8)(x + 4)/(x + 12).
Критические точки: x = -8 и x = -4. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -8 функция имеет максимум, а в точке x = -4 — минимум.
Ответ: -8.
Область определения: x > −12.
y′ = 2x + 64/(x + 12) = 2(x + 8)(x + 4)/(x + 12).
Критические точки: x = -8 и x = -4. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -8 функция имеет максимум, а в точке x = -4 — минимум.
Ответ: -8.
Найдите точку минимума функции y = x2 + 36 ln(x + 11) + 8.
Область определения: x > −11.
y′ = 2x + 36/(x + 11) = 2(x + 9)(x + 2)/(x + 11).
Критические точки: x = -9 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -9 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -2.
Область определения: x > −11.
y′ = 2x + 36/(x + 11) = 2(x + 9)(x + 2)/(x + 11).
Критические точки: x = -9 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -9 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -2.
Найдите точку максимума функции y = x2 + 42 ln(x + 10) − 2.
Область определения: x > −10.
y′ = 2x + 42/(x + 10) = 2(x + 7)(x + 3)/(x + 10).
Критические точки: x = -7 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -7 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.
Ответ: -7.
Область определения: x > −10.
y′ = 2x + 42/(x + 10) = 2(x + 7)(x + 3)/(x + 10).
Критические точки: x = -7 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -7 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.
Ответ: -7.
Найдите точку минимума функции y = x2 + 36 ln(x + 9) + 5.
Область определения: x > −9.
y′ = 2x + 36/(x + 9) = 2(x + 6)(x + 3)/(x + 9).
Критические точки: x = -6 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -6 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.
Ответ: -3.
Область определения: x > −9.
y′ = 2x + 36/(x + 9) = 2(x + 6)(x + 3)/(x + 9).
Критические точки: x = -6 и x = -3. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -6 функция имеет максимум, а в точке x = -3 — минимум.
Ответ: -3.
Найдите точку максимума функции y = x2 + 24 ln(x + 8) − 6.
Область определения: x > −8.
y′ = 2x + 24/(x + 8) = 2(x + 6)(x + 2)/(x + 8).
Критические точки: x = -6 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -6 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -6.
Область определения: x > −8.
y′ = 2x + 24/(x + 8) = 2(x + 6)(x + 2)/(x + 8).
Критические точки: x = -6 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -6 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -6.
Найдите точку минимума функции y = x2 + 20 ln(x + 7) + 3.
Область определения: x > −7.
y′ = 2x + 20/(x + 7) = 2(x + 5)(x + 2)/(x + 7).
Критические точки: x = -5 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -5 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -2.
Область определения: x > −7.
y′ = 2x + 20/(x + 7) = 2(x + 5)(x + 2)/(x + 7).
Критические точки: x = -5 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -5 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -2.
Найдите точку максимума функции y = x2 + 16 ln(x + 6) − 4.
Область определения: x > −6.
y′ = 2x + 16/(x + 6) = 2(x + 4)(x + 2)/(x + 6).
Критические точки: x = -4 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -4 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -4.
Область определения: x > −6.
y′ = 2x + 16/(x + 6) = 2(x + 4)(x + 2)/(x + 6).
Критические точки: x = -4 и x = -2. На области определения знак производной меняется по схеме «+; −; +». Следовательно, в точке x = -4 функция имеет максимум, а в точке x = -2 — минимум.
Ответ: -4.