а) Решите уравнение (log2(x + 9))2 − 4log2(x + 9) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-8; 10].
Область определения: x > −9. Положим t=log2(x + 9). Тогда t2−4t=0, то есть t(t−4)=0.
При t=0: x+9=1, x=-8. При t=4: x+9=16, x=7.
а) -8; 7. б) -8; 7.
Область определения: x > −9. Положим t=log2(x + 9). Тогда t2−4t=0, то есть t(t−4)=0.
При t=0: x+9=1, x=-8. При t=4: x+9=16, x=7.
а) -8; 7. б) -8; 7.
а) Решите уравнение (log3(x + 2))2 − 6log3(x + 2) + 8 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 90].
Область определения: x > −2. Положим t=log3(x + 2). Тогда t2−6t+8=0, то есть (t−2)(t−4)=0.
При t=2: x+2=9, x=7. При t=4: x+2=81, x=79.
а) 7; 79. б) 7; 79.
Область определения: x > −2. Положим t=log3(x + 2). Тогда t2−6t+8=0, то есть (t−2)(t−4)=0.
При t=2: x+2=9, x=7. При t=4: x+2=81, x=79.
а) 7; 79. б) 7; 79.
а) Решите уравнение (log5(x + 4))2 − 4log5(x + 4) + 3 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 130].
Область определения: x > −4. Положим t=log5(x + 4). Тогда t2−4t+3=0, то есть (t−1)(t−3)=0.
При t=1: x+4=5, x=1. При t=3: x+4=125, x=121.
а) 1; 121. б) 1; 121.
Область определения: x > −4. Положим t=log5(x + 4). Тогда t2−4t+3=0, то есть (t−1)(t−3)=0.
При t=1: x+4=5, x=1. При t=3: x+4=125, x=121.
а) 1; 121. б) 1; 121.
а) Решите уравнение (log2(x + 1))2 − 8log2(x + 1) + 15 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5; 40].
Область определения: x > −1. Положим t=log2(x + 1). Тогда t2−8t+15=0, то есть (t−3)(t−5)=0.
При t=3: x+1=8, x=7. При t=5: x+1=32, x=31.
а) 7; 31. б) 7; 31.
Область определения: x > −1. Положим t=log2(x + 1). Тогда t2−8t+15=0, то есть (t−3)(t−5)=0.
При t=3: x+1=8, x=7. При t=5: x+1=32, x=31.
а) 7; 31. б) 7; 31.
а) Решите уравнение (log3(x + 6))2 − 3log3(x + 6) + 2 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3; 10].
Область определения: x > −6. Положим t=log3(x + 6). Тогда t2−3t+2=0, то есть (t−1)(t−2)=0.
При t=1: x+6=3, x=-3. При t=2: x+6=9, x=3.
а) -3; 3. б) -3; 3.
Область определения: x > −6. Положим t=log3(x + 6). Тогда t2−3t+2=0, то есть (t−1)(t−2)=0.
При t=1: x+6=3, x=-3. При t=2: x+6=9, x=3.
а) -3; 3. б) -3; 3.
а) Решите уравнение (log4(x + 3))2 − 2log4(x + 3) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 20].
Область определения: x > −3. Положим t=log4(x + 3). Тогда t2−2t=0, то есть t(t−2)=0.
При t=0: x+3=1, x=-2. При t=2: x+3=16, x=13.
а) -2; 13. б) -2; 13.
Область определения: x > −3. Положим t=log4(x + 3). Тогда t2−2t=0, то есть t(t−2)=0.
При t=0: x+3=1, x=-2. При t=2: x+3=16, x=13.
а) -2; 13. б) -2; 13.
а) Решите уравнение (log2(x + 7))2 − 6log2(x + 7) + 5 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5; 30].
Область определения: x > −7. Положим t=log2(x + 7). Тогда t2−6t+5=0, то есть (t−1)(t−5)=0.
При t=1: x+7=2, x=-5. При t=5: x+7=32, x=25.
а) -5; 25. б) -5; 25.
Область определения: x > −7. Положим t=log2(x + 7). Тогда t2−6t+5=0, то есть (t−1)(t−5)=0.
При t=1: x+7=2, x=-5. При t=5: x+7=32, x=25.
а) -5; 25. б) -5; 25.
а) Решите уравнение (log3(x + 4))2 − 3log3(x + 4) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3; 25].
Область определения: x > −4. Положим t=log3(x + 4). Тогда t2−3t=0, то есть t(t−3)=0.
При t=0: x+4=1, x=-3. При t=3: x+4=27, x=23.
а) -3; 23. б) -3; 23.
Область определения: x > −4. Положим t=log3(x + 4). Тогда t2−3t=0, то есть t(t−3)=0.
При t=0: x+4=1, x=-3. При t=3: x+4=27, x=23.
а) -3; 23. б) -3; 23.
а) Решите уравнение (log5(x + 2))2 − 2log5(x + 2) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 30].
Область определения: x > −2. Положим t=log5(x + 2). Тогда t2−2t=0, то есть t(t−2)=0.
При t=0: x+2=1, x=-1. При t=2: x+2=25, x=23.
а) -1; 23. б) -1; 23.
Область определения: x > −2. Положим t=log5(x + 2). Тогда t2−2t=0, то есть t(t−2)=0.
При t=0: x+2=1, x=-1. При t=2: x+2=25, x=23.
а) -1; 23. б) -1; 23.
а) Решите уравнение (log2(x + 5))2 − 6log2(x + 5) + 8 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 20].
Область определения: x > −5. Положим t=log2(x + 5). Тогда t2−6t+8=0, то есть (t−2)(t−4)=0.
При t=2: x+5=4, x=-1. При t=4: x+5=16, x=11.
а) -1; 11. б) 11.
Область определения: x > −5. Положим t=log2(x + 5). Тогда t2−6t+8=0, то есть (t−2)(t−4)=0.
При t=2: x+5=4, x=-1. При t=4: x+5=16, x=11.
а) -1; 11. б) 11.
а) Решите уравнение (log3(x + 1))2 − 4log3(x + 1) + 3 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 30].
Область определения: x > −1. Положим t=log3(x + 1). Тогда t2−4t+3=0, то есть (t−1)(t−3)=0.
При t=1: x+1=3, x=2. При t=3: x+1=27, x=26.
а) 2; 26. б) 2; 26.
Область определения: x > −1. Положим t=log3(x + 1). Тогда t2−4t+3=0, то есть (t−1)(t−3)=0.
При t=1: x+1=3, x=2. При t=3: x+1=27, x=26.
а) 2; 26. б) 2; 26.
а) Решите уравнение (log2(x + 3))2 − 2log2(x + 3) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 5].
Область определения: x > −3. Положим t=log2(x + 3). Тогда t2−2t=0, то есть t(t−2)=0.
При t=0: x+3=1, x=-2. При t=2: x+3=4, x=1.
а) -2; 1. б) -2; 1.
Область определения: x > −3. Положим t=log2(x + 3). Тогда t2−2t=0, то есть t(t−2)=0.
При t=0: x+3=1, x=-2. При t=2: x+3=4, x=1.
а) -2; 1. б) -2; 1.
а) Решите уравнение 22x+4 − 68·2x+2 + 256 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 5].
Положим t = 2x+2, t > 0. Тогда t2 − 68t + 256=0, то есть (t − 4)(t − 64)=0.
Следовательно, x+2=2 или x+2=6. а) x=0 или x=4.
б) На отрезке [-1; 5]: 0; 4.
Положим t = 2x+2, t > 0. Тогда t2 − 68t + 256=0, то есть (t − 4)(t − 64)=0.
Следовательно, x+2=2 или x+2=6. а) x=0 или x=4.
б) На отрезке [-1; 5]: 0; 4.
а) Решите уравнение 32x+2 − 90·3x+1 + 729 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 4].
Положим t = 3x+1, t > 0. Тогда t2 − 90t + 729=0, то есть (t − 9)(t − 81)=0.
Следовательно, x+1=2 или x+1=4. а) x=1 или x=3.
б) На отрезке [0; 4]: 1; 3.
Положим t = 3x+1, t > 0. Тогда t2 − 90t + 729=0, то есть (t − 9)(t − 81)=0.
Следовательно, x+1=2 или x+1=4. а) x=1 или x=3.
б) На отрезке [0; 4]: 1; 3.
а) Решите уравнение 52x+4 − 126·5x+2 + 125 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3; 2].
Положим t = 5x+2, t > 0. Тогда t2 − 126t + 125=0, то есть (t − 1)(t − 125)=0.
Следовательно, x+2=0 или x+2=3. а) x=-2 или x=1.
б) На отрезке [-3; 2]: -2; 1.
Положим t = 5x+2, t > 0. Тогда t2 − 126t + 125=0, то есть (t − 1)(t − 125)=0.
Следовательно, x+2=0 или x+2=3. а) x=-2 или x=1.
б) На отрезке [-3; 2]: -2; 1.
а) Решите уравнение 22x+8 − 34·2x+4 + 64 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4; 2].
Положим t = 2x+4, t > 0. Тогда t2 − 34t + 64=0, то есть (t − 2)(t − 32)=0.
Следовательно, x+4=1 или x+4=5. а) x=-3 или x=1.
б) На отрезке [-4; 2]: -3; 1.
Положим t = 2x+4, t > 0. Тогда t2 − 34t + 64=0, то есть (t − 2)(t − 32)=0.
Следовательно, x+4=1 или x+4=5. а) x=-3 или x=1.
б) На отрезке [-4; 2]: -3; 1.
а) Решите уравнение 32x+6 − 82·3x+3 + 81 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4; 2].
Положим t = 3x+3, t > 0. Тогда t2 − 82t + 81=0, то есть (t − 1)(t − 81)=0.
Следовательно, x+3=0 или x+3=4. а) x=-3 или x=1.
б) На отрезке [-4; 2]: -3; 1.
Положим t = 3x+3, t > 0. Тогда t2 − 82t + 81=0, то есть (t − 1)(t − 81)=0.
Следовательно, x+3=0 или x+3=4. а) x=-3 или x=1.
б) На отрезке [-4; 2]: -3; 1.
а) Решите уравнение 42x+4 − 17·4x+2 + 16 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3; 1].
Положим t = 4x+2, t > 0. Тогда t2 − 17t + 16=0, то есть (t − 1)(t − 16)=0.
Следовательно, x+2=0 или x+2=2. а) x=-2 или x=0.
б) На отрезке [-3; 1]: -2; 0.
Положим t = 4x+2, t > 0. Тогда t2 − 17t + 16=0, то есть (t − 1)(t − 16)=0.
Следовательно, x+2=0 или x+2=2. а) x=-2 или x=0.
б) На отрезке [-3; 1]: -2; 0.
а) Решите уравнение 22x+2 − 36·2x+1 + 128 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 5].
Положим t = 2x+1, t > 0. Тогда t2 − 36t + 128=0, то есть (t − 4)(t − 32)=0.
Следовательно, x+1=2 или x+1=5. а) x=1 или x=4.
б) На отрезке [0; 5]: 1; 4.
Положим t = 2x+1, t > 0. Тогда t2 − 36t + 128=0, то есть (t − 4)(t − 32)=0.
Следовательно, x+1=2 или x+1=5. а) x=1 или x=4.
б) На отрезке [0; 5]: 1; 4.
а) Решите уравнение 32x+4 − 30·3x+2 + 81 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 2].
Положим t = 3x+2, t > 0. Тогда t2 − 30t + 81=0, то есть (t − 3)(t − 27)=0.
Следовательно, x+2=1 или x+2=3. а) x=-1 или x=1.
б) На отрезке [-2; 2]: -1; 1.
Положим t = 3x+2, t > 0. Тогда t2 − 30t + 81=0, то есть (t − 3)(t − 27)=0.
Следовательно, x+2=1 или x+2=3. а) x=-1 или x=1.
б) На отрезке [-2; 2]: -1; 1.
а) Решите уравнение 52x+2 − 26·5x+1 + 25 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 3].
Положим t = 5x+1, t > 0. Тогда t2 − 26t + 25=0, то есть (t − 1)(t − 25)=0.
Следовательно, x+1=0 или x+1=2. а) x=-1 или x=1.
б) На отрезке [-1; 3]: -1; 1.
Положим t = 5x+1, t > 0. Тогда t2 − 26t + 25=0, то есть (t − 1)(t − 25)=0.
Следовательно, x+1=0 или x+1=2. а) x=-1 или x=1.
б) На отрезке [-1; 3]: -1; 1.
а) Решите уравнение 22x+6 − 18·2x+3 + 32 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 2].
Положим t = 2x+3, t > 0. Тогда t2 − 18t + 32=0, то есть (t − 2)(t − 16)=0.
Следовательно, x+3=1 или x+3=4. а) x=-2 или x=1.
б) На отрезке [-2; 2]: -2; 1.
Положим t = 2x+3, t > 0. Тогда t2 − 18t + 32=0, то есть (t − 2)(t − 16)=0.
Следовательно, x+3=1 или x+3=4. а) x=-2 или x=1.
б) На отрезке [-2; 2]: -2; 1.
а) Решите уравнение 32x+2 − 10·3x+1 + 9 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; 2].
Положим t = 3x+1, t > 0. Тогда t2 − 10t + 9=0, то есть (t − 1)(t − 9)=0.
Следовательно, x+1=0 или x+1=2. а) x=-1 или x=1.
б) На отрезке [-2; 2]: -1; 1.
Положим t = 3x+1, t > 0. Тогда t2 − 10t + 9=0, то есть (t − 1)(t − 9)=0.
Следовательно, x+1=0 или x+1=2. а) x=-1 или x=1.
б) На отрезке [-2; 2]: -1; 1.
а) Решите уравнение 22x+4 − 9·2x+2 + 8 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3; 2].
Положим t = 2x+2, t > 0. Тогда t2 − 9t + 8=0, то есть (t − 1)(t − 8)=0.
Следовательно, x+2=0 или x+2=3. а) x=-2 или x=1.
б) На отрезке [-3; 2]: -2; 1.
Положим t = 2x+2, t > 0. Тогда t2 − 9t + 8=0, то есть (t − 1)(t − 8)=0.
Следовательно, x+2=0 или x+2=3. а) x=-2 или x=1.
б) На отрезке [-3; 2]: -2; 1.
а) Решите уравнение 2cos2(x + π/3) − cos(x + π/3) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2π; 2π].
Положим t = cos(x + π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t − 1=0, откуда cos(x + π/3) = 1 и cos(x + π/3) = −1/2.
а) Общее решение: x = −π/3 + 2πn; x = π/3 + 2πn; x = π + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −5π/3; −π; −π/3; π/3; π; 5π/3.
Положим t = cos(x + π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t − 1=0, откуда cos(x + π/3) = 1 и cos(x + π/3) = −1/2.
а) Общее решение: x = −π/3 + 2πn; x = π/3 + 2πn; x = π + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −5π/3; −π; −π/3; π/3; π; 5π/3.
а) Решите уравнение 2sin2(x + 2π/3) + 3sin(x + 2π/3) + 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 4π].
Положим t = sin(x + 2π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 3t + 1=0, откуда sin(x + 2π/3) = −1 и sin(x + 2π/3) = −1/2.
а) Общее решение: x = π/2 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: π/2; 5π/6; 7π/6; 5π/2; 17π/6; 19π/6.
Положим t = sin(x + 2π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 3t + 1=0, откуда sin(x + 2π/3) = −1 и sin(x + 2π/3) = −1/2.
а) Общее решение: x = π/2 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: π/2; 5π/6; 7π/6; 5π/2; 17π/6; 19π/6.
а) Решите уравнение 4cos2(x − π/4) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π; 3π].
Положим t = cos(x − π/4). Получаем квадратное уравнение 4t2 − 1=0, откуда cos(x − π/4) = 1/2 и cos(x − π/4) = −1/2.
а) Общее решение: x = 7π/12 + 2πn; x = 11π/12 + 2πn; x = 19π/12 + 2πn; x = 23π/12 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −5π/12; −π/12; 7π/12; 11π/12; 19π/12; 23π/12; 31π/12; 35π/12.
Положим t = cos(x − π/4). Получаем квадратное уравнение 4t2 − 1=0, откуда cos(x − π/4) = 1/2 и cos(x − π/4) = −1/2.
а) Общее решение: x = 7π/12 + 2πn; x = 11π/12 + 2πn; x = 19π/12 + 2πn; x = 23π/12 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −5π/12; −π/12; 7π/12; 11π/12; 19π/12; 23π/12; 31π/12; 35π/12.
а) Решите уравнение 2sin2(x + π/3) − sin(x + π/3) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; π].
Положим t = sin(x + π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t − 1=0, откуда sin(x + π/3) = 1 и sin(x + π/3) = −1/2.
а) Общее решение: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −5π/2; −11π/6; −7π/6; −π/2; π/6; 5π/6.
Положим t = sin(x + π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t − 1=0, откуда sin(x + π/3) = 1 и sin(x + π/3) = −1/2.
а) Общее решение: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −5π/2; −11π/6; −7π/6; −π/2; π/6; 5π/6.
а) Решите уравнение 2cos2(x + π/6) + cos(x + π/6) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π].
Положим t = cos(x + π/6). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 1t=0, откуда cos(x + π/6) = 0 и cos(x + π/6) = −1/2.
а) Общее решение: x = π/3 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: π/3; π/2; 7π/6; 4π/3; 7π/3; 5π/2.
Положим t = cos(x + π/6). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 1t=0, откуда cos(x + π/6) = 0 и cos(x + π/6) = −1/2.
а) Общее решение: x = π/3 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: π/3; π/2; 7π/6; 4π/3; 7π/3; 5π/2.
а) Решите уравнение 2sin2(x − π/2) − sin(x − π/2) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π; 3π].
Положим t = sin(x − π/2). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t=0, откуда sin(x − π/2) = 0 и sin(x − π/2) = 1/2.
а) Общее решение: x = π/2 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn; x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −2π/3; −π/2; π/2; 2π/3; 4π/3; 3π/2; 5π/2; 8π/3.
Положим t = sin(x − π/2). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t=0, откуда sin(x − π/2) = 0 и sin(x − π/2) = 1/2.
а) Общее решение: x = π/2 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn; x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −2π/3; −π/2; π/2; 2π/3; 4π/3; 3π/2; 5π/2; 8π/3.
а) Решите уравнение 2cos2(x + π/2) + cos(x + π/2) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2π; 2π].
Положим t = cos(x + π/2). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 1t − 1=0, откуда cos(x + π/2) = 1/2 и cos(x + π/2) = −1.
а) Общее решение: x = −π/6 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −3π/2; −5π/6; −π/6; π/2; 7π/6; 11π/6.
Положим t = cos(x + π/2). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 1t − 1=0, откуда cos(x + π/2) = 1/2 и cos(x + π/2) = −1.
а) Общее решение: x = −π/6 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −3π/2; −5π/6; −π/6; π/2; 7π/6; 11π/6.
а) Решите уравнение 4sin2(x + π/4) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 4π].
Положим t = sin(x + π/4). Получаем квадратное уравнение 4t2 − 1=0, откуда sin(x + π/4) = 1/2 и sin(x + π/4) = −1/2.
а) Общее решение: x = −π/12 + 2πn; x = 7π/12 + 2πn; x = 11π/12 + 2πn; x = 19π/12 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: 7π/12; 11π/12; 19π/12; 23π/12; 31π/12; 35π/12; 43π/12; 47π/12.
Положим t = sin(x + π/4). Получаем квадратное уравнение 4t2 − 1=0, откуда sin(x + π/4) = 1/2 и sin(x + π/4) = −1/2.
а) Общее решение: x = −π/12 + 2πn; x = 7π/12 + 2πn; x = 11π/12 + 2πn; x = 19π/12 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: 7π/12; 11π/12; 19π/12; 23π/12; 31π/12; 35π/12; 43π/12; 47π/12.
а) Решите уравнение 2cos2(x − π/3) − 3cos(x − π/3) + 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π; 3π].
Положим t = cos(x − π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 3t + 1=0, откуда cos(x − π/3) = 1 и cos(x − π/3) = 1/2.
а) Общее решение: x = π/3 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 2π + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: 0; π/3; 2π/3; 2π; 7π/3; 8π/3.
Положим t = cos(x − π/3). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 3t + 1=0, откуда cos(x − π/3) = 1 и cos(x − π/3) = 1/2.
а) Общее решение: x = π/3 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 2π + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: 0; π/3; 2π/3; 2π; 7π/3; 8π/3.
а) Решите уравнение 2sin2(x + π/6) + sin(x + π/6) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2π; π].
Положим t = sin(x + π/6). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 1t − 1=0, откуда sin(x + π/6) = 1/2 и sin(x + π/6) = −1.
а) Общее решение: x = 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −2π; −4π/3; −2π/3; 0; 2π/3.
Положим t = sin(x + π/6). Получаем квадратное уравнение 2t2 + 1t − 1=0, откуда sin(x + π/6) = 1/2 и sin(x + π/6) = −1.
а) Общее решение: x = 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −2π; −4π/3; −2π/3; 0; 2π/3.
а) Решите уравнение 2cos2(x) − cos(x) − 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 4π].
Положим t = cos(x). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t − 1=0, откуда cos(x) = 1 и cos(x) = −1/2.
а) Общее решение: x = 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: 0; 2π/3; 4π/3; 2π; 8π/3; 10π/3; 4π.
Положим t = cos(x). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 1t − 1=0, откуда cos(x) = 1 и cos(x) = −1/2.
а) Общее решение: x = 2πn; x = 2π/3 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: 0; 2π/3; 4π/3; 2π; 8π/3; 10π/3; 4π.
а) Решите уравнение 2sin2(x) − 3sin(x) + 1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2π; 2π].
Положим t = sin(x). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 3t + 1=0, откуда sin(x) = 1 и sin(x) = 1/2.
а) Общее решение: x = π/6 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −11π/6; −3π/2; −7π/6; π/6; π/2; 5π/6.
Положим t = sin(x). Получаем квадратное уравнение 2t2 − 3t + 1=0, откуда sin(x) = 1 и sin(x) = 1/2.
а) Общее решение: x = π/6 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.
б) На указанном отрезке получаем: −11π/6; −3π/2; −7π/6; π/6; π/2; 5π/6.