Стороны AB, BC, CD и AD вписанного четырёхугольника стягивают дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 80°, 110°, 100° и 70°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол ABC опирается на дугу ADC, не содержащую точку B.
Градусная мера этой дуги равна 70° + 100° = 170°.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠ABC = 170°/2 = 85°.
Ответ: 85.
Угол ABC опирается на дугу ADC, не содержащую точку B.
Градусная мера этой дуги равна 70° + 100° = 170°.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: ∠ABC = 170°/2 = 85°.
Ответ: 85.
Площадь ромба равна 32. Одна из его диагоналей в 4 раза больше другой. Найдите меньшую диагональ ромба.
Пусть меньшая диагональ равна x, тогда большая диагональ равна 4x.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
32 = x·4x/2 = 2x².
x² = 16, поэтому x = 4.
Ответ: 4.
Пусть меньшая диагональ равна x, тогда большая диагональ равна 4x.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
32 = x·4x/2 = 2x².
x² = 16, поэтому x = 4.
Ответ: 4.
Основания трапеции равны 26 и 42. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований.
(42 − 26)/2 = 8.
Ответ: 8.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований.
(42 − 26)/2 = 8.
Ответ: 8.
В треугольнике ABC отрезок DE является средней линией и параллелен стороне AB. Площадь треугольника ABC равна 52. Найдите площадь треугольника CDE.
Треугольники CDE и CBA подобны с коэффициентом 1/2.
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: SCDE = 52·(1/2)² = 13.
Ответ: 13.
Треугольники CDE и CBA подобны с коэффициентом 1/2.
Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия: SCDE = 52·(1/2)² = 13.
Ответ: 13.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 4, cos A = 3/5. Найдите AC.
sin A = √(1 − cos²A) = 4/5, поэтому tg A = (4/5)/(3/5) = 4/3.
tg A = BC/AC, значит 4/AC = 4/3 и AC = 3.
Ответ: 3.
sin A = √(1 − cos²A) = 4/5, поэтому tg A = (4/5)/(3/5) = 4/3.
tg A = BC/AC, значит 4/AC = 4/3 и AC = 3.
Ответ: 3.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, sin A = 0,6. Найдите AC.
AB — гипотенуза. cos A = √(1 − sin²A) = √(1 − 0,36) = 0,8.
AC = AB·cos A = 10·0,8 = 8.
Ответ: 8.
AB — гипотенуза. cos A = √(1 − sin²A) = √(1 − 0,36) = 0,8.
AC = AB·cos A = 10·0,8 = 8.
Ответ: 8.
Точки A, B, C и D расположены на окружности и делят её на четыре дуги. Градусные величины дуг AB, BC, CD и AD относятся соответственно как 4 : 5 : 3 : 6. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Сумма частей равна 4 + 5 + 3 + 6 = 18.
Угол BAD опирается на дугу BCD, которой соответствуют 5 + 3 = 8 частей.
Дуга BCD равна 360°·8/18 = 160°.
Вписанный угол равен половине дуги: ∠BAD = 80°.
Ответ: 80.
Сумма частей равна 4 + 5 + 3 + 6 = 18.
Угол BAD опирается на дугу BCD, которой соответствуют 5 + 3 = 8 частей.
Дуга BCD равна 360°·8/18 = 160°.
Вписанный угол равен половине дуги: ∠BAD = 80°.
Ответ: 80.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD. Площадь трапеции BCDE равна 72. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Пусть площадь параллелограмма равна S. Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что и параллелограмм.
Поэтому SABE = S/4, а SBCDE = 3S/4.
3S/4 = 72, откуда S = 96.
Ответ: 96.
Пусть площадь параллелограмма равна S. Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что и параллелограмм.
Поэтому SABE = S/4, а SBCDE = 3S/4.
3S/4 = 72, откуда S = 96.
Ответ: 96.
Найдите длину хорды, на которую опирается угол 135°, вписанный в окружность радиуса 3√2.
Вписанный угол 135° опирается на дугу 270°, поэтому соответствующий центральный угол, образованный меньшей дугой, равен 90°.
Длина хорды равна 2R·sin45° = 2·3√2·√2/2 = 6.
Ответ: 6.
Вписанный угол 135° опирается на дугу 270°, поэтому соответствующий центральный угол, образованный меньшей дугой, равен 90°.
Длина хорды равна 2R·sin45° = 2·3√2·√2/2 = 6.
Ответ: 6.
Из точки C вне окружности проведены две секущие CDB и CEA. Вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги, градусные меры которых равны соответственно 124° и 46°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Дуги AB и DE равны 124° и 46°.
Угол между двумя секущими равен половине разности соответствующих дуг:
∠ACB = (124° − 46°)/2 = 39°.
Ответ: 39.
Дуги AB и DE равны 124° и 46°.
Угол между двумя секущими равен половине разности соответствующих дуг:
∠ACB = (124° − 46°)/2 = 39°.
Ответ: 39.
Из точки C вне окружности проведены две секущие CDB и CEA. Угол ACB равен 37°, а дуга AB, не содержащая точек D и E, равна 118°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
Для угла между двумя секущими: ∠ACB = 1/2(дуга AB − дуга DE).
37 = 1/2(118 − дуга DE), поэтому дуга DE = 44°.
Вписанный угол DAE опирается на дугу DE и равен её половине: 44°/2 = 22°.
Ответ: 22.
Для угла между двумя секущими: ∠ACB = 1/2(дуга AB − дуга DE).
37 = 1/2(118 − дуга DE), поэтому дуга DE = 44°.
Вписанный угол DAE опирается на дугу DE и равен её половине: 44°/2 = 22°.
Ответ: 22.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 104°, угол ABD равен 31°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 104° = 76°.
Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну дугу AD, значит ∠ACD = 31°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 76° − 31° = 73°.
Ответ: 73.
Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 104° = 76°.
Углы ∠ABD и ∠ACD опираются на одну дугу AD, значит ∠ACD = 31°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 76° − 31° = 73°.
Ответ: 73.
В четырёхугольник ABCD, периметр которого равен 36, вписана окружность, AB = 7. Найдите CD.
AB+CD = BC+DA. 2(AB+CD)=36. CD = 18−7 = 11.
AB+CD = BC+DA. 2(AB+CD)=36. CD = 18−7 = 11.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 8 и CD = 14. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
AB+CD = BC+DA. 10+14 = 8+DA. DA = 16.
AB+CD = BC+DA. 10+14 = 8+DA. DA = 16.
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 36°. Найдите угол между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
∠ACM=54° (медиана к гипотенузе). ∠ACD=45°. Угол = 54°−45° = 9°.
∠ACM=54° (медиана к гипотенузе). ∠ACD=45°. Угол = 54°−45° = 9°.
Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 67°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
∠ACH = B = 67°. Биссектриса ∠C: ∠ACD = 45°. Угол HCD = 67° − 45° = 22°.
∠ACH = B = 67°. Биссектриса ∠C: ∠ACD = 45°. Угол HCD = 67° − 45° = 22°.
Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5:3. Найдите меньшее основание трапеции.
a:b=5:3, a+b=60. Меньшее: 3/8·60 = 22,5.
a:b=5:3, a+b=60. Меньшее: 3/8·60 = 22,5.
Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.
a:b = 2:3, a+b = 48. Большее: 3/5·48 = 28,8.
a:b = 2:3, a+b = 48. Большее: 3/5·48 = 28,8.
В треугольнике ABC угол B равен 74°. Найдите угол AOC, где O — центр вписанной окружности. Ответ дайте в градусах.
∠AOC = 90° + B/2 = 90° + 37° = 127°.
∠AOC = 90° + B/2 = 90° + 37° = 127°.
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 54° и 78°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. C=180°−54°=126°, D=180°−78°=102°. Больший: 126.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. C=180°−54°=126°, D=180°−78°=102°. Больший: 126.
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 48° и 74°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение.
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Возможные дополнения: 180° − 48° = 132° и 180° − 74° = 106°.
Больший из оставшихся: 132°.
Ответ: 132.
Решение.
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
Возможные дополнения: 180° − 48° = 132° и 180° − 74° = 106°.
Больший из оставшихся: 132°.
Ответ: 132.
В треугольнике ABC высота AH равна 4√6, AB = BC, AC = 25. Найдите косинус угла CAB.
Решение.
AB = BC — треугольник равнобедренный. Высота AH на сторону BC.
По теореме синусов: sin(∠CAB) = BC · sin B / AC. Из прямоугольного △AHB: sin B = AH/AB = 4√6/AB.
sin(∠CAB) = AB · (4√6/AB) / 25 = 4√6/25.
cos(∠CAB) = √(1 − 96/625) = √(529/625) = 23/25 = 0,92.
Ответ: 0,92.
Решение.
AB = BC — треугольник равнобедренный. Высота AH на сторону BC.
По теореме синусов: sin(∠CAB) = BC · sin B / AC. Из прямоугольного △AHB: sin B = AH/AB = 4√6/AB.
sin(∠CAB) = AB · (4√6/AB) / 25 = 4√6/25.
cos(∠CAB) = √(1 − 96/625) = √(529/625) = 23/25 = 0,92.
Ответ: 0,92.
В треугольнике ABC высота AH равна 13, AB = BC, AC = 20. Найдите синус угла CAB.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. Высота AH опущена из вершины A на сторону BC.
В прямоугольном треугольнике AHB: sin(∠ABH) = AH/AB = 13/AB.
По теореме синусов: sin(∠CAB)/BC = sin(∠ABC)/AC.
Так как AB = BC, получаем: sin(∠CAB) = BC · sin(∠ABC)/AC = AB · (13/AB)/20 = 13/20 = 0,65.
Ответ: 0,65.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. Высота AH опущена из вершины A на сторону BC.
В прямоугольном треугольнике AHB: sin(∠ABH) = AH/AB = 13/AB.
По теореме синусов: sin(∠CAB)/BC = sin(∠ABC)/AC.
Так как AB = BC, получаем: sin(∠CAB) = BC · sin(∠ABC)/AC = AB · (13/AB)/20 = 13/20 = 0,65.
Ответ: 0,65.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AF. Найдите угол AFB, если угол ABC равен 72°. Ответ дайте в градусах.
Решение.
∠BAC = ∠BCA = (180° − 72°)/2 = 54°.
AF — биссектриса ∠BAC, значит ∠BAF = 54°/2 = 27°.
F лежит на стороне BC. В треугольнике ABF:
∠AFB = 180° − ∠BAF − ∠ABF = 180° − 27° − 72° = 81°.
Ответ: 81.
Решение.
∠BAC = ∠BCA = (180° − 72°)/2 = 54°.
AF — биссектриса ∠BAC, значит ∠BAF = 54°/2 = 27°.
F лежит на стороне BC. В треугольнике ABF:
∠AFB = 180° − ∠BAF − ∠ABF = 180° − 27° − 72° = 81°.
Ответ: 81.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели биссектрису AF. Найдите угол AFC, если угол ABC равен 76°. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 76°)/2 = 52°.
AF — биссектриса угла BAC, значит ∠FAC = 52°/2 = 26°.
В треугольнике AFC: ∠AFC = 180° − ∠FAC − ∠ACF = 180° − 26° − 52° = 102°.
Ответ: 102.
Решение.
Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠BCA = (180° − 76°)/2 = 52°.
AF — биссектриса угла BAC, значит ∠FAC = 52°/2 = 26°.
В треугольнике AFC: ∠AFC = 180° − ∠FAC − ∠ACF = 180° − 26° − 52° = 102°.
Ответ: 102.
В треугольнике ABC AC = BC, AH — высота, AB = 8, 
Найдите BH.
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда
Ответ: 4.
Приведем решение Евгения Шведова.
По условию 
значит, 
и треугольник ABC — равносторонний. Тогда отрезок AH является и высотой, и медианой, а потому делит сторону, к которой проведен, пополам. Следовательно, 
Решение.
Треугольник ABC — равнобедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании. Тогда
Ответ: 4.
Приведем решение Евгения Шведова.
По условию значит, и треугольник ABC — равносторонний. Тогда отрезок AH является и высотой, и медианой, а потому делит сторону, к которой проведен, пополам. Следовательно,
В треугольнике ABC AC = BC = 5, 
Найдите АВ.
Решение.
Треугольник АВС — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда:
Ответ: 9,6.
Решение.
Треугольник АВС — равнобедренный, поэтому высота СН делит основание АВ пополам. Тогда:
Ответ: 9,6.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, 
Найдите AH.
Решение.
Имеем:
Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем 
значит, 
откуда 
По свойству прямоугольного треугольника 
Пусть 
тогда 
следовательно,
откуда 
что не подходит, или
Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть тогда 
Из треугольника ACH имеем 
Из треугольника BCH имеем 
Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим
Решение.
Имеем:
Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем значит, откуда По свойству прямоугольного треугольника Пусть тогда следовательно,
откуда что не подходит, или
Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть тогда Из треугольника ACH имеем Из треугольника BCH имеем Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим
В треугольнике ABC угол C равен 90°, 
Найдите 
Зная, что 
найдем косинус
Далее имеем:
Примечание.
Можно было бы воспользоваться определением косинуса: 
то есть 
откуда 
Приведём другое решение.
Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса 
а по условию 
следовательно, 
откуда 
Применим теорему Пифагора:
Зная, что найдем косинус
Далее имеем:
Примечание.
Можно было бы воспользоваться определением косинуса: то есть откуда
Приведём другое решение.
Пусть искомая длина гипотенузы равна x. По определению синуса а по условию следовательно, откуда Применим теорему Пифагора:
Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 15.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = a, AD = b. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P на стороне CD.
Поскольку ∠A + ∠B = 180°, то ∠A/2 + ∠B/2 = 90°, биссектрисы перпендикулярны в P.
Из свойства биссектрисы и параллельных прямых: DP = AD = b и PC = BC = b.
Значит CD = DP + PC = 2b. Но CD = AB = a, следовательно a = 2b.
Периметр: 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 15 ⟹ b = 2,5.
Ответ: 2,5.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = a, AD = b. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P на стороне CD.
Поскольку ∠A + ∠B = 180°, то ∠A/2 + ∠B/2 = 90°, биссектрисы перпендикулярны в P.
Из свойства биссектрисы и параллельных прямых: DP = AD = b и PC = BC = b.
Значит CD = DP + PC = 2b. Но CD = AB = a, следовательно a = 2b.
Периметр: 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 15 ⟹ b = 2,5.
Ответ: 2,5.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 42.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, ∠A — тупой. Биссектриса из A пересекает CD в точке E.
Так как AB ∥ CD, по свойству биссектрисы и равных углов (накрест лежащие) треугольник ADE — равнобедренный, DE = AD = b.
DC = a (большая сторона). EC = a − b.
DE:EC = 3:4 (от вершины острого угла D): b/(a − b) = 3/4.
4b = 3a − 3b ⟹ 7b = 3a ⟹ a = 7b/3.
Периметр: 2(a + b) = 2(7b/3 + b) = 20b/3 = 42 ⟹ b = 6,3.
a = 7 · 6,3/3 = 14,7.
Ответ: 14,7.
Решение.
Пусть ABCD — параллелограмм, ∠A — тупой. Биссектриса из A пересекает CD в точке E.
Так как AB ∥ CD, по свойству биссектрисы и равных углов (накрест лежащие) треугольник ADE — равнобедренный, DE = AD = b.
DC = a (большая сторона). EC = a − b.
DE:EC = 3:4 (от вершины острого угла D): b/(a − b) = 3/4.
4b = 3a − 3b ⟹ 7b = 3a ⟹ a = 7b/3.
Периметр: 2(a + b) = 2(7b/3 + b) = 20b/3 = 42 ⟹ b = 6,3.
a = 7 · 6,3/3 = 14,7.
Ответ: 14,7.