Тип 6. Простейшие уравнения

2x + 3 = 5² = 25.

2x = 22, x = 11.

Ответ: 11.

2 − x = 3⁴ = 81, поэтому x = 2 − 81 = −79.

Ответ: −79.

x + 5 = 8³ = 512, поэтому x = 507.

Ответ: 507.

Так как 9 = 3², то log₉(3^{2x − 1}) = (2x − 1)/2.

(2x − 1)/2 = 3.

2x − 1 = 6, поэтому x = 3,5.

Ответ: 3,5.

Так как 4 = 2², то log₄(2^{6x + 4}) = (6x + 4)/2.

3x + 2 = 8.

3x = 6, поэтому x = 2.

Ответ: 2.

0,25 = 2⁻², 8 = 2³.

−2(2x − 1) = 3(x + 3), то есть −4x + 2 = 3x + 9.

x = −1.

Ответ: −1.

0,25 = 2⁻², поэтому 3x − 5 = −2x.

5x = 5, x = 1.

Ответ: 1.

4 = 2², 0,125 = 2⁻³.

2^6x−12 = 2^−6x, поэтому 6x − 12 = −6x.

12x = 12, x = 1.

Ответ: 1.

0,2 = 5⁻¹, 25 = 5².

5^−x+1 = 5^4x+2, поэтому −x + 1 = 4x + 2.

−5x = 1, x = −0,2.

Ответ: −0,2.

2log₅2 = log₅4, поэтому 13 − 3x = 4.

−3x = −9, откуда x = 3. Область определения выполняется.

Ответ: 3.

Решение.

(x + 3)³ = −343 = (−7)³.

x + 3 = −7.

x = −10.

Ответ: −10.

Решение.

(x − 7)³ = 729 = 9³.

x − 7 = 9.

x = 16.

Ответ: 16.

cos y = 0 при y = π/2 + πk, где k — целое число.

π(4x + 1)/2 = π/2 + πk.

4x + 1 = 1 + 2k, поэтому x = k/2.

Наименьший положительный корень получается при k = 1: x = 0,5.

Ответ: 0,5.

1 = log₃3, поэтому правая часть равна log₃(3(1 − 4x)).

5 − 2x = 3 − 12x, откуда 10x = −2 и x = −0,2.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: −0,2.

Правая часть должна быть неотрицательной. Возведём обе части в квадрат:

3 − 2x = (2x + 3)², то есть 2x² + 7x + 3 = 0.

Корни: x = −0,5 и x = −3. Второй корень не удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: −0,5.

Так как 3 = 81^1/4, левая часть равна (2x + 5)^1/4.

(2x + 5)^1/4 = 3, поэтому 2x + 5 = 81.

x = 38.

Ответ: 38.

Так как 4 = 16^1/2, левая часть равна √(3x + 6).

√(3x + 6) = 9, поэтому 3x + 6 = 81.

x = 25.

Ответ: 25.

2^(32y+8)=2^(15−3y). 35y=7. y=0,2.

2^(2x−10)=2^(12x−6). −10x=4. x=−0,4.

5−x²=±4. x²=1→x=±1; x²=9→x=±3. Меньший: −3.

1−x²=−3. x²=4. x=±2. Меньший: −2.

2^(2x−4) = 2^(−3x−1). 5x=3. x=0,6.

2^(−2+6x) = 2^(x+2). 5x=4. x=0,8.

ОДЗ: −12≤x≤0. −x = (x+12)². x²+25x+144=0. x=−9 (подходит), x=−16 (не в ОДЗ).

log₃(x+2)² = log₃(3(4x+8)). (x+2)² = 12x+24. x²−8x−20=0. x=10 или x=−2 (не подходит). Ответ: 10.

Решение.

log₅(5) + log₅(2x + 17) = log₅(x + 1)².

log₅(5(2x + 17)) = log₅(x + 1)².

5(2x + 17) = (x + 1)².

10x + 85 = x² + 2x + 1.

x² − 8x − 84 = 0.

D = 64 + 336 = 400. x = (8 ± 20)/2.

x₁ = 14, x₂ = −6.

ОДЗ: 2x + 17 > 0 ⟹ x > −8,5; x + 1 > 0 ⟹ x > −1.

Подходит только x = 14.

Ответ: 14.

Решение.

64 = 2⁶, поэтому 2⁷⁻⁴ˣ = 2⁶ˣ.

7 − 4x = 6x.

7 = 10x.

x = 0,7.

Ответ: 0,7.

Решение.

16 = 2⁴, поэтому (2⁴)²ˣ = 2⁶ˣ⁻¹².

2⁸ˣ = 2⁶ˣ⁻¹².

8x = 6x − 12.

2x = −12.

x = −6.

Ответ: −6.

Решение.

√(5x) = (5/2)x. Возведём в квадрат:

5x = (25/4)x².

x(5 − 25x/4) = 0.

x = 0 или x = 5 · 4/25 = 4/5 = 0,8.

Проверка: √(5 · 0,8) = √4 = 2; (5/2) · 0,8 = 2 ✓.

Больший корень: 0,8.

Ответ: 0,8.

Решение.

√(15x) = (5/3)x. Возведём обе части в квадрат:

15x = (25/9)x².

x(15 − 25x/9) = 0.

x = 0 или x = 15 · 9/25 = 135/25 = 5,4.

Проверка: √(15 · 5,4) = √81 = 9; (5/3) · 5,4 = 9 ✓.

Больший корень: 5,4.

Ответ: 5,4.

Решение.

Возведем в квадрат, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

Ответ: − 1,5.

Приведём другое решение.

Разложим на множители, используя формулу разности квадратов

Приведём ещё одно решение.

Квадраты двух чисел равны, если сами числа либо равны, либо противоположны:

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 13.

Уравнение равносильно cos(π(x − 3)/3) = √3/2.

π(x − 3)/3 = ±π/6 + 2πk.

x = 3,5 + 6k или x = 2,5 + 6k. Наибольшие отрицательные значения получаются при k = −1: −2,5 и −3,5.

Наибольший отрицательный корень равен −2,5.

Ответ: −2,5.

Область допустимых значений: −5 < x < 1.

log₄(1 − x) = 1/2·log₂(1 − x), поэтому 2log₂(x + 5) = log₂(1 − x).

(x + 5)² = 1 − x. Получаем x² + 11x + 24 = 0, откуда x = −3 или x = −8.

Условию ОДЗ удовлетворяет только x = −3.

Ответ: −3.