Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 14. Найдите высоту этой трапеции.
Решение. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты трапеции. Поэтому высота равна
Ответ: 28.
Решение. Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине высоты трапеции. Поэтому высота равна
Ответ: 28.
Вписанный угол окружности равен 35°. Найдите центральный угол, опирающийся на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Решение. Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу:
Ответ: 70.
Решение. Центральный угол вдвое больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу:
Ответ: 70.
Центральный угол окружности равен 80°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Решение. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
Ответ: 40.
Решение. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
Ответ: 40.
В угол величиной вписана окружность, которая касается сторон угла в точках и . — центр окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла:
В четырёхугольнике сумма углов равна :
Ответ: 116.
Решение. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла:
В четырёхугольнике сумма углов равна :
Ответ: 116.
На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 30. Найдите длину большей дуги .
Решение. Большей дуге соответствует центральный угол
Тогда её длина равна:
Ответ: 45.
Решение. Большей дуге соответствует центральный угол
Тогда её длина равна:
Ответ: 45.
На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 28. Найдите длину большей дуги .
Решение. Меньшая дуга соответствует центральному углу . Большая дуга соответствует углу
Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам:
Ответ: 196.
Решение. Меньшая дуга соответствует центральному углу . Большая дуга соответствует углу
Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам:
Ответ: 196.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают :
В треугольнике :
Углы и опираются на одну хорду , значит, они равны.
Ответ: 58.
Решение. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают :
В треугольнике :
Углы и опираются на одну хорду , значит, они равны.
Ответ: 58.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Так как четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы дополняют друг друга до :
В треугольнике :
Углы и являются вписанными и опираются на хорду , поэтому они равны.
Ответ: 41.
Решение. Так как четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы дополняют друг друга до :
В треугольнике :
Углы и являются вписанными и опираются на хорду , поэтому они равны.
Ответ: 41.
В угол величиной вписана окружность, которая касается сторон угла в точках и . — центр окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла:
В четырёхугольнике сумма углов равна :
Ответ: 116.
Решение. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны сторонам угла:
В четырёхугольнике сумма углов равна :
Ответ: 116.
На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 30. Найдите длину большей дуги .
Решение. Большей дуге соответствует центральный угол
Тогда её длина равна:
Ответ: 45.
Решение. Большей дуге соответствует центральный угол
Тогда её длина равна:
Ответ: 45.
На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 28. Найдите длину большей дуги .
Решение. Меньшая дуга соответствует центральному углу . Большая дуга соответствует углу
Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам:
Ответ: 196.
Решение. Меньшая дуга соответствует центральному углу . Большая дуга соответствует углу
Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам:
Ответ: 196.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают :
В треугольнике :
Углы и опираются на одну хорду , значит, они равны.
Ответ: 58.
Решение. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают :
В треугольнике :
Углы и опираются на одну хорду , значит, они равны.
Ответ: 58.
Четырёхугольник вписан в окружность. Угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Так как четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы дополняют друг друга до :
В треугольнике :
Углы и являются вписанными и опираются на хорду , поэтому они равны.
Ответ: 41.
Решение. Так как четырёхугольник вписан в окружность, его противоположные углы дополняют друг друга до :
В треугольнике :
Углы и являются вписанными и опираются на хорду , поэтому они равны.
Ответ: 41.
Угол четырёхугольника , вписанного в окружность, равен 110°. Найдите угол этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°, поэтому
Ответ: 70.
Решение. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°, поэтому
Ответ: 70.
Сторона треугольника проходит через центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол опирается на диаметр, поэтому он прямой. Тогда
Ответ: 27.
Решение. Угол опирается на диаметр, поэтому он прямой. Тогда
Ответ: 27.
Угол трапеции с основаниями и , вписанной в окружность, равен 84°. Найдите угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°: , поэтому
Ответ: 96.
Решение. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°: , поэтому
Ответ: 96.
Угол четырёхугольника , вписанного в окружность, равен 76°. Найдите угол этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение. Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°: , поэтому
Ответ: 104.
Решение. Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180°: , поэтому
Ответ: 104.
Сторона треугольника проходит через центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол — прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно, треугольник — прямоугольный, тогда
Ответ: 39.
Решение. Угол — прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно, треугольник — прямоугольный, тогда
Ответ: 39.
Сторона треугольника проходит через центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно,
Ответ: 20.
Решение. Угол — вписанный, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно,
Ответ: 20.
Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 6.
Решение. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
Ответ: 144.
Решение. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
Ответ: 144.
Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 9.
Решение. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
Ответ: 324.
Решение. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
Ответ: 324.
Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 50.
Решение. Пусть и — соответственно радиус и диаметр окружности, — сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
Ответ: 10000.
Решение. Пусть и — соответственно радиус и диаметр окружности, — сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:
Ответ: 10000.
В окружности с центром в точке проведены диаметры и , угол равен 40°. Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.
Решение. Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым угол .
Ответ: 40.
Решение. Вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым угол .
Ответ: 40.
В окружности с центром в точке проведены диаметры и , угол равен 65°. Найдите величину угла . Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол и угол — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу . Следовательно, они равны.
Ответ: 65.
Решение. Угол и угол — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу . Следовательно, они равны.
Ответ: 65.
Из точки к окружности с центром и радиусом 12 проведена касательная ( — точка касания). Расстояние от точки до центра окружности равно 13. Найдите длину касательной .
Решение. Радиус , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
Ответ: 5.
Решение. Радиус , проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
Ответ: 5.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 60, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.
Решение. Второй острый угол равен , поэтому треугольник равнобедренный, оба катета равны. Длина катета:
Площадь:
Ответ: 900.
Решение. Второй острый угол равен , поэтому треугольник равнобедренный, оба катета равны. Длина катета:
Площадь:
Ответ: 900.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 80, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.
Решение. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому второй острый угол равен . Оба острых угла равны, следовательно, треугольник равнобедренный, и оба катета равны. Длина катета равна
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Ответ: 1600.
Решение. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому второй острый угол равен . Оба острых угла равны, следовательно, треугольник равнобедренный, и оба катета равны. Длина катета равна
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Ответ: 1600.
В окружности с центром отрезки и — диаметры. Величина центрального угла равна 110°. Найдите величину вписанного угла . Ответ дайте в градусах.
Решение. Угол смежный с углом , поэтому . Центральный угол и вписанный угол опираются на одну дугу. Поэтому
Ответ: 35.
Решение. Угол смежный с углом , поэтому . Центральный угол и вписанный угол опираются на одну дугу. Поэтому
Ответ: 35.
Найдите градусную меру центрального , если известно, что — диаметр, а градусная мера равна 22°.
Решение. Треугольник равнобедренный, так как — радиусы. Углы при основании равны: . Тогда
Ответ: 136.
Решение. Треугольник равнобедренный, так как — радиусы. Углы при основании равны: . Тогда
Ответ: 136.
Касательные в точках и к окружности с центром пересекаются под углом 80°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Касательные из одной точки равны, треугольник равнобедренный с углом при вершине 80°. Углы при основании: . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому
Ответ: 40.
Решение. Касательные из одной точки равны, треугольник равнобедренный с углом при вершине 80°. Углы при основании: . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому
Ответ: 40.
Из точки , лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, пересекающая окружность в точках и (точка ближе к ). Известно, что , а . Найдите длину касательной .
Решение. По теореме о касательной и секущей квадрат длины касательной равен произведению длин секущей на её внешнюю часть:
Получаем:
Ответ: 12.
Решение. По теореме о касательной и секущей квадрат длины касательной равен произведению длин секущей на её внешнюю часть:
Получаем:
Ответ: 12.
Касательные в точках и к окружности с центром пересекаются под углом 50°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Касательные из одной точки равны, треугольник равнобедренный с углом при вершине 50°. Углы при основании: . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому
Ответ: 25.
Решение. Касательные из одной точки равны, треугольник равнобедренный с углом при вершине 50°. Углы при основании: . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому
Ответ: 25.
Касательные в точках и к окружности с центром пересекаются под углом 64°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Решение. Касательные, проведённые из одной точки , равны, поэтому , и треугольник равнобедренный. Угол при вершине равен 64°, поэтому углы при основании равны . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому . Тогда
Ответ: 32.
Решение. Касательные, проведённые из одной точки , равны, поэтому , и треугольник равнобедренный. Угол при вершине равен 64°, поэтому углы при основании равны . Радиус перпендикулярен касательной, поэтому . Тогда
Ответ: 32.
На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности.
Решение. Проведём радиус в точку касания. Радиус окружности равен , а . Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём :
Ответ: 30.
Решение. Проведём радиус в точку касания. Радиус окружности равен , а . Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём :
Ответ: 30.