В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, гипотенуза AB равна 10, а sin A = 0,6. Найдите AC.
Так как угол A острый, cos A = √(1 − sin²A) = √(1 − 0,36) = 0,8.
AC = AB · cos A = 10 · 0,8 = 8.
Ответ: 8.
Так как угол A острый, cos A = √(1 − sin²A) = √(1 − 0,36) = 0,8.
AC = AB · cos A = 10 · 0,8 = 8.
Ответ: 8.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 116°, угол ABD равен 41°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
∠ADC = 180° − 116° = 64°.
Вписанные углы ABD и ACD опираются на хорду AD, поэтому ∠ACD = 41°.
∠CAD = 180° − 64° − 41° = 75°.
Ответ: 75.
∠ADC = 180° − 116° = 64°.
Вписанные углы ABD и ACD опираются на хорду AD, поэтому ∠ACD = 41°.
∠CAD = 180° − 64° − 41° = 75°.
Ответ: 75.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 108°, угол ABD равен 35°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 108° = 72°.
Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, значит, ∠ACD = 35°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 72° − 35° = 73°.
Ответ: 73.
Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°, поэтому ∠ADC = 180° − 108° = 72°.
Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, значит, ∠ACD = 35°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 180° − 72° − 35° = 73°.
Ответ: 73.
В треугольнике две стороны равны 15 и 25. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 12. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.
Поэтому 25 · 12 = 15 · h.
h = 25 · 12 : 15 = 20.
Ответ: 20.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту.
Поэтому 25 · 12 = 15 · h.
h = 25 · 12 : 15 = 20.
Ответ: 20.
Площадь параллелограмма равна 252, а две его стороны равны 14 и 21. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма.
Высота, проведённая к стороне 14, равна 252 : 14 = 18.
Высота, проведённая к стороне 21, равна 252 : 21 = 12.
Меньшая высота равна 12.
Ответ: 12.
Высота, проведённая к стороне 14, равна 252 : 14 = 18.
Высота, проведённая к стороне 21, равна 252 : 21 = 12.
Меньшая высота равна 12.
Ответ: 12.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = √19. Найдите cos A.
AB — гипотенуза. По теореме Пифагора AC = √(AB² − BC²) = √(100 − 19) = 9.
cos A = AC/AB = 9/10 = 0,9.
Ответ: 0,9
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания A33A46
AB — гипотенуза. По теореме Пифагора AC = √(AB² − BC²) = √(100 − 19) = 9.
cos A = AC/AB = 9/10 = 0,9.
Ответ: 0,9
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания A33A46
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, поэтому центральный угол AOB = 2·41° = 82°.
Точки B и D — концы диаметра, поэтому лучи OB и OD противоположны.
∠AOD = 180° − 82° = 98°.
Ответ: 98°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 80A34C
Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, поэтому центральный угол AOB = 2·41° = 82°.
Точки B и D — концы диаметра, поэтому лучи OB и OD противоположны.
∠AOD = 180° − 82° = 98°.
Ответ: 98°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 80A34C
Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B (см. рисунок), а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66°. Ответ дайте в градусах.
Радиус OA перпендикулярен касательной AC, поэтому ∠OAC = 90°.
Дуга AB равна 66°, значит центральный угол AOB = 66°. Точки O, B, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AOC = 66°.
В треугольнике AOC: ∠ACO = 180° − 90° − 66° = 24°.
Ответ: 24°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 84E9F2
Радиус OA перпендикулярен касательной AC, поэтому ∠OAC = 90°.
Дуга AB равна 66°, значит центральный угол AOB = 66°. Точки O, B, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AOC = 66°.
В треугольнике AOC: ∠ACO = 180° − 90° − 66° = 24°.
Ответ: 24°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 84E9F2
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = √91. Найдите sin A.
AB — гипотенуза. BC = √(100 − 91) = 3.
sin A = BC/AB = 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания FFBD0F
AB — гипотенуза. BC = √(100 − 91) = 3.
sin A = BC/AB = 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания FFBD0F
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = √51. Найдите sin A.
AB — гипотенуза. BC = √(AB² − AC²) = √(100 − 51) = 7.
sin A = BC/AB = 7/10 = 0,7.
Ответ: 0,7
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 7FA4FB
AB — гипотенуза. BC = √(AB² − AC²) = √(100 − 51) = 7.
sin A = BC/AB = 7/10 = 0,7.
Ответ: 0,7
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 7FA4FB
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98° , угол CAD равен 44° . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.
В вписанном четырёхугольнике противоположные углы дополняют друг друга до 180°: ∠ADC = 180° − 98° = 82°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 82° − 44° = 54°.
Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, поэтому ∠ABD = 54°.
Ответ: 54°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 9C6FBB
В вписанном четырёхугольнике противоположные углы дополняют друг друга до 180°: ∠ADC = 180° − 98° = 82°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 82° − 44° = 54°.
Углы ABD и ACD опираются на одну хорду AD, поэтому ∠ABD = 54°.
Ответ: 54°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 9C6FBB
Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что параллелограмм.
Поэтому S_ABE = (1/2)·(1/2)S_ABCD = 7.
S_BCDE = 28 − 7 = 21.
Ответ: 21
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания F12D1C
Треугольник ABE имеет основание AE, равное половине AD, и ту же высоту, что параллелограмм.
Поэтому S_ABE = (1/2)·(1/2)S_ABCD = 7.
S_BCDE = 28 − 7 = 21.
Ответ: 21
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания F12D1C
В треугольнике ABC сторона AB равна 3√2, угол C равен 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
По расширенной теореме синусов AB = 2R·sin C.
R = AB/(2sin C) = 3√2/[2sin135°] = 3√2/[2·√2/2] = 3.
Ответ: 3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 1DD37A
По расширенной теореме синусов AB = 2R·sin C.
R = AB/(2sin C) = 3√2/[2sin135°] = 3√2/[2·√2/2] = 3.
Ответ: 3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 1DD37A
В треугольнике ABC угол C равен 54°, AD — биссектриса, угол BAD равен 23°. Найдите величину угла ADB. Ответ дайте в градусах.
Так как AD — биссектриса, ∠BAD = ∠CAD = 23°, значит ∠A = 46°.
∠B = 180° − 46° − 54° = 80°.
В треугольнике ABD: ∠ADB = 180° − 23° − 80° = 77°.
Ответ: 77°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 997361
Так как AD — биссектриса, ∠BAD = ∠CAD = 23°, значит ∠A = 46°.
∠B = 180° − 46° − 54° = 80°.
В треугольнике ABD: ∠ADB = 180° − 23° − 80° = 77°.
Ответ: 77°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 997361
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Вписанный четырёхугольник: ∠ADC = 180° − 103° = 77°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 77° − 42° = 61°.
Углы ABD и ACD опираются на хорду AD, поэтому ∠ABD = 61°.
Ответ: 61°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания C7D60A
Вписанный четырёхугольник: ∠ADC = 180° − 103° = 77°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 77° − 42° = 61°.
Углы ABD и ACD опираются на хорду AD, поэтому ∠ABD = 61°.
Ответ: 61°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания C7D60A
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, угол C равен 168°, угол CBD внешний. Найдите величину угла CBD. Ответ дайте в градусах.
Треугольник равнобедренный, поэтому углы при основании равны: (180° − 168°)/2 = 6°.
Внешний угол CBD смежный с внутренним углом ABC.
∠CBD = 180° − 6° = 174°.
Ответ: 174°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 2933FB
Треугольник равнобедренный, поэтому углы при основании равны: (180° − 168°)/2 = 6°.
Внешний угол CBD смежный с внутренним углом ABC.
∠CBD = 180° − 6° = 174°.
Ответ: 174°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 2933FB
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 59°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
∠AOB = 2∠ACB = 118°.
OD — луч, противоположный OB, поэтому ∠AOD = 180° − 118° = 62°.
Ответ: 62°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 8CB50E
∠AOB = 2∠ACB = 118°.
OD — луч, противоположный OB, поэтому ∠AOD = 180° − 118° = 62°.
Ответ: 62°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 8CB50E
В треугольнике ABC угол C равен 90° , AB =5 , BC =4 . Найдите cosA .
AC = √(AB² − BC²) = √(25 − 16) = 3.
cos A = AC/AB = 3/5 = 0,6.
Ответ: 0,6
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 847B0B
AC = √(AB² − BC²) = √(25 − 16) = 3.
cos A = AC/AB = 3/5 = 0,6.
Ответ: 0,6
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 847B0B
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 61° , угол CAD равен 37° . Найдите угол ABC . Ответ дайте в градусах.
Углы CBD и CAD опираются на одну хорду CD, поэтому ∠CBD = 37°.
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 37° = 98°.
Ответ: 98°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 3CF402
Углы CBD и CAD опираются на одну хорду CD, поэтому ∠CBD = 37°.
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 37° = 98°.
Ответ: 98°
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 3CF402