В цилиндрический сосуд налили 1800 см³ воды. Уровень воды оказался равным 15 см. В воду полностью погрузили деталь, после чего уровень воды поднялся на 4 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Площадь основания сосуда равна 1800 : 15 = 120 см².
Объём вытесненной воды, а значит и объём детали, равен 120 · 4 = 480 см³.
Ответ: 480.
Площадь основания сосуда равна 1800 : 15 = 120 см².
Объём вытесненной воды, а значит и объём детали, равен 120 · 4 = 480 см³.
Ответ: 480.
Дана прямая четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Площадь основания ABCD равна 18, а боковое ребро равно 10. Найдите объём пирамиды A₁ABCD.
Основание пирамиды ABCD имеет площадь 18. Высота пирамиды равна боковому ребру призмы 10.
V = 1/3 · 18 · 10 = 60.
Ответ: 60.
Основание пирамиды ABCD имеет площадь 18. Высота пирамиды равна боковому ребру призмы 10.
V = 1/3 · 18 · 10 = 60.
Ответ: 60.
Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Площадь основания ABC равна 15, а боковое ребро равно 8. Найдите объём тетраэдра ABCA₁.
Основанием тетраэдра является треугольник ABC площадью 15, а его высота равна боковому ребру призмы 8.
V = 1/3 · 15 · 8 = 40.
Ответ: 40.
Основанием тетраэдра является треугольник ABC площадью 15, а его высота равна боковому ребру призмы 8.
V = 1/3 · 15 · 8 = 40.
Ответ: 40.
Шар вписан в цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40. Найдите площадь поверхности шара.
Высота цилиндра равна 2r. Его боковая поверхность равна 2πr · 2r = 4πr².
Площадь поверхности шара также равна 4πr².
Следовательно, искомая площадь равна 40.
Ответ: 40.
Высота цилиндра равна 2r. Его боковая поверхность равна 2πr · 2r = 4πr².
Площадь поверхности шара также равна 4πr².
Следовательно, искомая площадь равна 40.
Ответ: 40.
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 54. Найдите площадь поверхности шара.
Пусть радиус шара и цилиндра равен r. Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть 2r.
Полная поверхность цилиндра: 2πr² + 2πr · 2r = 6πr².
Поверхность шара равна 4πr², то есть составляет 4/6 = 2/3 площади полной поверхности цилиндра.
Sшара = 54 · 2/3 = 36.
Ответ: 36.
Пусть радиус шара и цилиндра равен r. Высота цилиндра равна диаметру шара, то есть 2r.
Полная поверхность цилиндра: 2πr² + 2πr · 2r = 6πr².
Поверхность шара равна 4πr², то есть составляет 4/6 = 2/3 площади полной поверхности цилиндра.
Sшара = 54 · 2/3 = 36.
Ответ: 36.
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.
Основание параллелепипеда — квадрат, в который вписан круг радиуса 2. Сторона квадрата равна диаметру: 4.
Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра: 2.
V = 4·4·2 = 32.
Ответ: 32
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания D5AC0C
Основание параллелепипеда — квадрат, в который вписан круг радиуса 2. Сторона квадрата равна диаметру: 4.
Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра: 2.
V = 4·4·2 = 32.
Ответ: 32
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания D5AC0C
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 12. Найдите объём цилиндра.
Объём конуса с теми же основанием и высотой в 3 раза меньше объёма цилиндра: Vкон = (1/3)Vцил.
Vцил = 3·12 = 36.
Ответ: 36
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 841122
Объём конуса с теми же основанием и высотой в 3 раза меньше объёма цилиндра: Vкон = (1/3)Vцил.
Vцил = 3·12 = 36.
Ответ: 36
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 841122
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
Объём цилиндра пропорционален r²h.
V₂/V₁ = (2r)²·(h/3)/(r²h) = 4/3.
V₂ = 15·4/3 = 20.
Ответ: 20
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания F4F51D
Объём цилиндра пропорционален r²h.
V₂/V₁ = (2r)²·(h/3)/(r²h) = 4/3.
V₂ = 15·4/3 = 20.
Ответ: 20
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания F4F51D
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 84√2. Найдите длину образующей конуса.
Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы R, и высота конуса также равна R.
Образующая l = √(R² + R²) = R√2 = 84√2·√2 = 168.
Ответ: 168
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания Dc980A
Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Поэтому радиус основания конуса равен радиусу сферы R, и высота конуса также равна R.
Образующая l = √(R² + R²) = R√2 = 84√2·√2 = 168.
Ответ: 168
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания Dc980A
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, B1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, у которого AB =9, BC =3, BB1 =8.
Многогранник ABCDB₁ — пирамида с прямоугольным основанием ABCD.
Sосн = AB·BC = 9·3 = 27, высота равна BB₁ = 8.
V = (1/3)·27·8 = 72.
Ответ: 72
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 29FE0E
Многогранник ABCDB₁ — пирамида с прямоугольным основанием ABCD.
Sосн = AB·BC = 9·3 = 27, высота равна BB₁ = 8.
V = (1/3)·27·8 = 72.
Ответ: 72
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 29FE0E
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Средняя линия отсекает треугольник с линейным коэффициентом подобия 1/2, поэтому площадь его основания составляет 1/4 исходной.
Объём отсечённой призмы равен 52/4 = 13.
Ответ: 13
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 5C9973
Средняя линия отсекает треугольник с линейным коэффициентом подобия 1/2, поэтому площадь его основания составляет 1/4 исходной.
Объём отсечённой призмы равен 52/4 = 13.
Ответ: 13
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 5C9973
Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Пусть радиус шара равен R. У описанного вокруг него цилиндра радиус основания R, высота 2R.
Vцил = 2πR³, Vшара = (4/3)πR³. Поэтому Vцил/Vшара = 3/2.
Vцил = 18·3/2 = 27.
Ответ: 27
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 6D5AF2
Пусть радиус шара равен R. У описанного вокруг него цилиндра радиус основания R, высота 2R.
Vцил = 2πR³, Vшара = (4/3)πR³. Поэтому Vцил/Vшара = 3/2.
Vцил = 18·3/2 = 27.
Ответ: 27
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 6D5AF2
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 3√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Пусть радиус основания равен r. По условию высота h = r, поэтому образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.
Sбок. конуса = πrl = πr²√2 = 3√2, откуда πr² = 3.
Sбок. цилиндра = 2πrh = 2πr² = 6.
Ответ: 6
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 135723
Пусть радиус основания равен r. По условию высота h = r, поэтому образующая конуса l = √(r² + h²) = r√2.
Sбок. конуса = πrl = πr²√2 = 3√2, откуда πr² = 3.
Sбок. цилиндра = 2πrh = 2πr² = 6.
Ответ: 6
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 135723
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5√2 . Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Пусть h = r. Тогда образующая конуса l = r√2.
Sбок. цилиндра = 2πr² = 5√2, значит πr² = 5√2/2.
Sбок. конуса = πrl = πr²√2 = (5√2/2)·√2 = 5.
Ответ: 5
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 37164B
Пусть h = r. Тогда образующая конуса l = r√2.
Sбок. цилиндра = 2πr² = 5√2, значит πr² = 5√2/2.
Sбок. конуса = πrl = πr²√2 = (5√2/2)·√2 = 5.
Ответ: 5
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 37164B
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB =8, BC =7, AA1 =6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.
Многогранник ABCA₁B₁C₁ — треугольная призма.
Площадь её основания ABC равна половине площади прямоугольника ABCD: S = 8·7/2 = 28.
V = 28·6 = 168.
Ответ: 168
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания ADF4FE
Многогранник ABCA₁B₁C₁ — треугольная призма.
Площадь её основания ABC равна половине площади прямоугольника ABCD: S = 8·7/2 = 28.
V = 28·6 = 168.
Ответ: 168
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания ADF4FE
Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен 84, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Средняя линия отсекает от треугольного основания треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.
Отношение площадей оснований равно (1/2)² = 1/4. Высота призмы не меняется, поэтому объёмы относятся так же.
V = 84/4 = 21.
Ответ: 21
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 6F27B9
Средняя линия отсекает от треугольного основания треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.
Отношение площадей оснований равно (1/2)² = 1/4. Высота призмы не меняется, поэтому объёмы относятся так же.
V = 84/4 = 21.
Ответ: 21
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 6F27B9
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B , C , A1 , B1 , C1 .
Объём всей призмы равен V = Sосн·h = 4·6 = 24.
От призмы отсечён тетраэдр ABCA₁. Его основание ABC имеет площадь 4, а высота равна 6, поэтому Vтетр = (1/3)·4·6 = 8.
Искомый объём: 24 − 8 = 16.
Ответ: 16
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 370392
Объём всей призмы равен V = Sосн·h = 4·6 = 24.
От призмы отсечён тетраэдр ABCA₁. Его основание ABC имеет площадь 4, а высота равна 6, поэтому Vтетр = (1/3)·4·6 = 8.
Искомый объём: 24 − 8 = 16.
Ответ: 16
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 370392
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A , B , C , C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.
Многогранник ABCC₁ — тетраэдр с основанием ABC площадью 6 и высотой, равной боковому ребру призмы 9.
V = (1/3)·6·9 = 18.
Ответ: 18
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания BE03FA
Многогранник ABCC₁ — тетраэдр с основанием ABC площадью 6 и высотой, равной боковому ребру призмы 9.
V = (1/3)·6·9 = 18.
Ответ: 18
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания BE03FA