Тренажёр: Решение Задач ФИПИ · Математика ЕГЭ — задания с автопроверкой

№ 1 · Тип 7 · # 15143 · ★★☆☆☆ 1 / 54

Найдите значение выражения 6√2 · (cos²(19π/8) − sin²(19π/8)).

Ответ: -6

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

6√2cos(19π/4) = 6√2cos(3π/4) = 6√2 · (−√2/2) = −6.

Ответ: −6.

Ответ:

№ 2 · Тип 7 · # 15142 · ★★☆☆☆ 2 / 54

Найдите значение выражения 4√2 · (cos²(11π/8) − sin²(11π/8)).

Ответ: -4

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

4√2cos(11π/4) = 4√2cos(3π/4) = 4√2 · (−√2/2) = −4.

Ответ: −4.

Ответ:

№ 3 · Тип 7 · # 15141 · ★★☆☆☆ 3 / 54

Найдите значение выражения 9√2 · (cos²(17π/8) − sin²(17π/8)).

Ответ: 9

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

9√2cos(17π/4) = 9√2cos(π/4) = 9√2 · √2/2 = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 4 · Тип 7 · # 15140 · ★★☆☆☆ 4 / 54

Найдите значение выражения 7√2 · (cos²(13π/8) − sin²(13π/8)).

Ответ: -7

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

7√2cos(13π/4) = 7√2cos(5π/4) = 7√2 · (−√2/2) = −7.

Ответ: −7.

Ответ:

№ 5 · Тип 7 · # 15139 · ★★☆☆☆ 5 / 54

Найдите значение выражения 5√2 · (cos²(15π/8) − sin²(15π/8)).

Ответ: 5

Решение.

Используем формулу cos² α − sin² α = cos 2α.

Получаем 5√2cos(15π/4) = 5√2cos(7π/4) = 5√2 · √2/2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ:

№ 6 · Тип 7 · # 15138 · ★★☆☆☆ 6 / 54

Найдите значение выражения √200 − √800 · sin²(9π/8).

Ответ: 10

Решение.

√800 = 2√200, поэтому выражение равно √200(1 − 2sin²(9π/8)).

Получаем √200cos(9π/4) = 10√2 · √2/2 = 10.

Ответ: 10.

Ответ:

№ 7 · Тип 7 · # 15137 · ★★☆☆☆ 7 / 54

Найдите значение выражения √162 − √648 · sin²(7π/8).

Ответ: 9

Решение.

√648 = 2√162, поэтому выражение равно √162(1 − 2sin²(7π/8)).

Получаем √162cos(7π/4) = 9√2 · √2/2 = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 8 · Тип 7 · # 15136 · ★★☆☆☆ 8 / 54

Найдите значение выражения √98 − √392 · sin²(5π/8).

Ответ: -7

Решение.

√392 = 2√98, поэтому выражение равно √98(1 − 2sin²(5π/8)).

Получаем √98cos(5π/4) = 7√2 · (−√2/2) = −7.

Ответ: −7.

Ответ:

№ 9 · Тип 7 · # 15135 · ★★☆☆☆ 9 / 54

Найдите значение выражения √72 − √288 · sin²(3π/8).

Ответ: -6

Решение.

√288 = 2√72, поэтому выражение равно √72(1 − 2sin²(3π/8)).

1 − 2sin² α = cos 2α, значит, получаем √72cos(3π/4) = 6√2 · (−√2/2) = −6.

Ответ: −6.

Ответ:

№ 10 · Тип 7 · # 15134 · ★★☆☆☆ 10 / 54

Найдите значение выражения √32 − √128 · sin²(π/8).

Ответ: 4

Решение.

Заметим, что √128 = 2√32. Тогда

√32 − √128sin²(π/8) = √32(1 − 2sin²(π/8)).

По формуле 1 − 2sin² α = cos 2α получаем √32cos(π/4) = 4√2 · √2/2 = 4.

Ответ: 4.

Ответ:

№ 11 · Тип 7 · # 15133 · ★★☆☆☆ 11 / 54

Найдите значение выражения 24sin(13π/12) · cos(13π/12).

Ответ: 6

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

24sin(13π/12)cos(13π/12) = 12sin(13π/6) = 12 · 1/2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ:

№ 12 · Тип 7 · # 15132 · ★★☆☆☆ 12 / 54

Найдите значение выражения 18sin(11π/12) · cos(11π/12).

Ответ: -4,5

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

18sin(11π/12)cos(11π/12) = 9sin(11π/6) = 9 · (−1/2) = −4,5.

Ответ: −4,5.

Ответ:

№ 13 · Тип 7 · # 15131 · ★★☆☆☆ 13 / 54

Найдите значение выражения 16sin(7π/12) · cos(7π/12).

Ответ: -4

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

16sin(7π/12)cos(7π/12) = 8sin(7π/6) = 8 · (−1/2) = −4.

Ответ: −4.

Ответ:

№ 14 · Тип 7 · # 15130 · ★★☆☆☆ 14 / 54

Найдите значение выражения 20sin(5π/12) · cos(5π/12).

Ответ: 5

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

20sin(5π/12)cos(5π/12) = 10sin(5π/6) = 10 · 1/2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ:

№ 15 · Тип 7 · # 15129 · ★★☆☆☆ 15 / 54

Найдите значение выражения 12sin(π/12) · cos(π/12).

Ответ: 3

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

12sin(π/12)cos(π/12) = 6sin(π/6) = 6 · 1/2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ:

№ 16 · Тип 7 · # 15128 · ★★☆☆☆ 16 / 54

Найдите значение выражения 32^0,25 · 4^0,375.

Ответ: 4

Решение.

32 = 2⁵, 4 = 2².

32^0,25 · 4^0,375 = 2^5·0,25 · 2^2·0,375 = 2^1,25+0,75 = 2² = 4.

Ответ: 4.

Ответ:

№ 17 · Тип 7 · # 15127 · ★★☆☆☆ 17 / 54

Найдите значение выражения 25^0,4 · 125^0,4.

Ответ: 25

Решение.

25 = 5², 125 = 5³.

25^0,4 · 125^0,4 = 5^2·0,4 · 5^3·0,4 = 5^0,8+1,2 = 5² = 25.

Ответ: 25.

Ответ:

№ 18 · Тип 7 · # 15126 · ★★☆☆☆ 18 / 54

Найдите значение выражения 27^0,2 · 9^0,7.

Ответ: 9

Решение.

27 = 3³, 9 = 3².

27^0,2 · 9^0,7 = 3^3·0,2 · 3^2·0,7 = 3^0,6+1,4 = 3² = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 19 · Тип 7 · # 15125 · ★★☆☆☆ 19 / 54

Найдите значение выражения 16^0,35 · 8^0,2.

Ответ: 4

Решение.

16 = 2⁴, 8 = 2³.

16^0,35 · 8^0,2 = 2^4·0,35 · 2^3·0,2 = 2^1,4+0,6 = 2² = 4.

Ответ: 4.

Ответ:

№ 20 · Тип 7 · # 15124 · ★★☆☆☆ 20 / 54

Найдите значение выражения 8^0,4 · 32^0,36.

Ответ: 8

Решение.

Представим основания как степени числа 2:

8^0,4 · 32^0,36 = (2³)^0,4 · (2⁵)^0,36 = 2^1,2 · 2^1,8 = 2³ = 8.

Ответ: 8.

Ответ:

№ 21 · Тип 7 · # 15123 · ★★☆☆☆ 21 / 54

Найдите значение выражения 6√2 · (cos²(19π/8) − sin²(19π/8)).

Ответ: -6

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

6√2cos(19π/4) = 6√2cos(3π/4) = 6√2 · (−√2/2) = −6.

Ответ: −6.

Ответ:

№ 22 · Тип 7 · # 15122 · ★★☆☆☆ 22 / 54

Найдите значение выражения 4√2 · (cos²(11π/8) − sin²(11π/8)).

Ответ: -4

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

4√2cos(11π/4) = 4√2cos(3π/4) = 4√2 · (−√2/2) = −4.

Ответ: −4.

Ответ:

№ 23 · Тип 7 · # 15121 · ★★☆☆☆ 23 / 54

Найдите значение выражения 9√2 · (cos²(17π/8) − sin²(17π/8)).

Ответ: 9

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

9√2cos(17π/4) = 9√2cos(π/4) = 9√2 · √2/2 = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 24 · Тип 7 · # 15120 · ★★☆☆☆ 24 / 54

Найдите значение выражения 7√2 · (cos²(13π/8) − sin²(13π/8)).

Ответ: -7

Решение.

cos² α − sin² α = cos 2α.

7√2cos(13π/4) = 7√2cos(5π/4) = 7√2 · (−√2/2) = −7.

Ответ: −7.

Ответ:

№ 25 · Тип 7 · # 15119 · ★★☆☆☆ 25 / 54

Найдите значение выражения 5√2 · (cos²(15π/8) − sin²(15π/8)).

Ответ: 5

Решение.

Используем формулу cos² α − sin² α = cos 2α.

Получаем 5√2cos(15π/4) = 5√2cos(7π/4) = 5√2 · √2/2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ:

№ 26 · Тип 7 · # 15118 · ★★☆☆☆ 26 / 54

Найдите значение выражения √200 − √800 · sin²(9π/8).

Ответ: 10

Решение.

√800 = 2√200, поэтому выражение равно √200(1 − 2sin²(9π/8)).

Получаем √200cos(9π/4) = 10√2 · √2/2 = 10.

Ответ: 10.

Ответ:

№ 27 · Тип 7 · # 15117 · ★★☆☆☆ 27 / 54

Найдите значение выражения √162 − √648 · sin²(7π/8).

Ответ: 9

Решение.

√648 = 2√162, поэтому выражение равно √162(1 − 2sin²(7π/8)).

Получаем √162cos(7π/4) = 9√2 · √2/2 = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 28 · Тип 7 · # 15116 · ★★☆☆☆ 28 / 54

Найдите значение выражения √98 − √392 · sin²(5π/8).

Ответ: -7

Решение.

√392 = 2√98, поэтому выражение равно √98(1 − 2sin²(5π/8)).

Получаем √98cos(5π/4) = 7√2 · (−√2/2) = −7.

Ответ: −7.

Ответ:

№ 29 · Тип 7 · # 15115 · ★★☆☆☆ 29 / 54

Найдите значение выражения √72 − √288 · sin²(3π/8).

Ответ: -6

Решение.

√288 = 2√72, поэтому выражение равно √72(1 − 2sin²(3π/8)).

1 − 2sin² α = cos 2α, значит, получаем √72cos(3π/4) = 6√2 · (−√2/2) = −6.

Ответ: −6.

Ответ:

№ 30 · Тип 7 · # 15114 · ★★☆☆☆ 30 / 54

Найдите значение выражения √32 − √128 · sin²(π/8).

Ответ: 4

Решение.

Заметим, что √128 = 2√32. Тогда

√32 − √128sin²(π/8) = √32(1 − 2sin²(π/8)).

По формуле 1 − 2sin² α = cos 2α получаем √32cos(π/4) = 4√2 · √2/2 = 4.

Ответ: 4.

Ответ:

№ 31 · Тип 7 · # 15113 · ★★☆☆☆ 31 / 54

Найдите значение выражения 24sin(13π/12) · cos(13π/12).

Ответ: 6

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

24sin(13π/12)cos(13π/12) = 12sin(13π/6) = 12 · 1/2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ:

№ 32 · Тип 7 · # 15112 · ★★☆☆☆ 32 / 54

Найдите значение выражения 18sin(11π/12) · cos(11π/12).

Ответ: -4,5

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

18sin(11π/12)cos(11π/12) = 9sin(11π/6) = 9 · (−1/2) = −4,5.

Ответ: −4,5.

Ответ:

№ 33 · Тип 7 · # 15111 · ★★☆☆☆ 33 / 54

Найдите значение выражения 16sin(7π/12) · cos(7π/12).

Ответ: -4

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

16sin(7π/12)cos(7π/12) = 8sin(7π/6) = 8 · (−1/2) = −4.

Ответ: −4.

Ответ:

№ 34 · Тип 7 · # 15110 · ★★☆☆☆ 34 / 54

Найдите значение выражения 20sin(5π/12) · cos(5π/12).

Ответ: 5

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

20sin(5π/12)cos(5π/12) = 10sin(5π/6) = 10 · 1/2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ:

№ 35 · Тип 7 · # 15109 · ★★☆☆☆ 35 / 54

Найдите значение выражения 12sin(π/12) · cos(π/12).

Ответ: 3

Решение.

Используем формулу 2sin α cos α = sin 2α.

12sin(π/12)cos(π/12) = 6sin(π/6) = 6 · 1/2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ:

№ 36 · Тип 7 · # 15108 · ★★☆☆☆ 36 / 54

Найдите значение выражения 32^0,25 · 4^0,375.

Ответ: 4

Решение.

32 = 2⁵, 4 = 2².

32^0,25 · 4^0,375 = 2^5·0,25 · 2^2·0,375 = 2^1,25+0,75 = 2² = 4.

Ответ: 4.

Ответ:

№ 37 · Тип 7 · # 15107 · ★★☆☆☆ 37 / 54

Найдите значение выражения 25^0,4 · 125^0,4.

Ответ: 25

Решение.

25 = 5², 125 = 5³.

25^0,4 · 125^0,4 = 5^2·0,4 · 5^3·0,4 = 5^0,8+1,2 = 5² = 25.

Ответ: 25.

Ответ:

№ 38 · Тип 7 · # 15106 · ★★☆☆☆ 38 / 54

Найдите значение выражения 27^0,2 · 9^0,7.

Ответ: 9

Решение.

27 = 3³, 9 = 3².

27^0,2 · 9^0,7 = 3^3·0,2 · 3^2·0,7 = 3^0,6+1,4 = 3² = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 39 · Тип 7 · # 15105 · ★★☆☆☆ 39 / 54

Найдите значение выражения 16^0,35 · 8^0,2.

Ответ: 4

Решение.

16 = 2⁴, 8 = 2³.

16^0,35 · 8^0,2 = 2^4·0,35 · 2^3·0,2 = 2^1,4+0,6 = 2² = 4.

Ответ: 4.

Ответ:

№ 40 · Тип 7 · # 15104 · ★★☆☆☆ 40 / 54

Найдите значение выражения 8^0,4 · 32^0,36.

Ответ: 8

Решение.

Представим основания как степени числа 2:

8^0,4 · 32^0,36 = (2³)^0,4 · (2⁵)^0,36 = 2^1,2 · 2^1,8 = 2³ = 8.

Ответ: 8.

Ответ:

№ 41 · Тип 7 · # 15103 · ★★☆☆☆ 41 / 54

Найдите значение выражения 6√2 · (cos²(23π/8) − sin²(23π/8)).

Ответ: 6

Решение.

Используем формулу cos²α − sin²α = cos 2α.

Получаем 6√2 · cos(23π/4).

cos(23π/4) = cos(7π/4) = √2/2.

6√2 · √2/2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ:

№ 42 · Тип 7 · # 15102 · ★★☆☆☆ 42 / 54

Найдите значение выражения √50 − √200 · sin²(3π/4).

Ответ: 0

Решение.

√50 = 5√2, √200 = 10√2, sin²(3π/4) = (√2/2)² = 1/2.

5√2 − 10√2 · 1/2 = 5√2 − 5√2 = 0.

Ответ: 0.

Ответ:

№ 43 · Тип 7 · # 15101 · ★★☆☆☆ 43 / 54

Найдите значение выражения 7sin(π/6) · cos(π/3).

Ответ: 1,75

Решение.

sin(π/6) = 1/2, cos(π/3) = 1/2.

7 · 1/2 · 1/2 = 7/4 = 1,75.

Ответ: 1,75.

Ответ:

№ 44 · Тип 7 · # 15100 · ★★☆☆☆ 44 / 54

Найдите значение выражения 9^0,25 · 27^0,5.

Ответ: 9

Решение.

9 = 3², 27 = 3³.

9^0,25 · 27^0,5 = 3^0,5 · 3^1,5 = 3² = 9.

Ответ: 9.

Ответ:

№ 45 · Тип 7 · # 15099 · ★★☆☆☆ 45 / 54

Найдите значение выражения 8^0,4 · 32^0,36.

Ответ: 8

Решение.

8 = 2³, 32 = 2⁵.

8^0,4 · 32^0,36 = 2^3·0,4 · 2^5·0,36 = 2^1,2+1,8 = 2³ = 8.

Ответ: 8.

Ответ:

№ 46 · Тип 7 · # 14688 · ★★☆☆☆ 46 / 54

Найдите значение выражения 6√3·cos²(11π/12) − 3√3.

Ответ: 4,5

Решение.

cos²(11π/12) = cos²(π/12) = (2 + √3)/4.

6√3·(2 + √3)/4 − 3√3 = 9/2 = 4,5.

Ответ: 4,5

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 9302BE

Ответ:

№ 47 · Тип 7 · # 14680 · ★★☆☆☆ 47 / 54

Найдите значение выражения log₇32 / log₇2.

Ответ: 5

Решение.

По формуле перехода к новому основанию log₇32 / log₇2 = log₂32 = 5.

Ответ: 5

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 424680

Ответ:

№ 48 · Тип 7 · # 14669 · ★★☆☆☆ 48 / 54

Найдите значение выражения log₃162 − log₃2.

Ответ: 4

Решение.

log₃162 − log₃2 = log₃(162/2) = log₃81 = 4.

Ответ: 4

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 2D68F1

Ответ:

№ 49 · Тип 7 · # 14650 · ★★☆☆☆ 49 / 54

Найдите значение выражения (14^6,4 · 7^(−5,4)) / 2^4,4.

Ответ: 28

Решение.

14 = 2·7, поэтому 14^6,4 = 2^6,4·7^6,4.

Выражение равно 2^(6,4−4,4)·7^(6,4−5,4) = 2²·7 = 28.

Ответ: 28

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 330712

Ответ:

№ 50 · Тип 7 · # 14649 · ★★☆☆☆ 50 / 54

Найдите значение выражения 2sin136° / (sin68°·sin22°).

Ответ: 4

Решение.

sin136° = sin44° = 2sin22°cos22°, а sin68° = cos22°.

Выражение равно 2·2sin22°cos22°/(cos22°sin22°) = 4.

Ответ: 4

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 2D494A

Ответ:

№ 51 · Тип 7 · # 14645 · ★★☆☆☆ 51 / 54

Найдите значение выражения 6·log_{√[6]{13}}13.

Ответ: 36

Решение.

√[6]{13} = 13^(1/6), поэтому log_{13^(1/6)}13 = 6.

6·6 = 36.

Ответ: 36

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 3F52B8

Ответ:

№ 52 · Тип 7 · # 14614 · ★★☆☆☆ 52 / 54

Найдите значение выражения log₂6,4 + log₂10.

Ответ: 6

Решение.

log₂6,4 + log₂10 = log₂(6,4·10) = log₂64 = 6.

Ответ: 6

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 110B03

Ответ:

№ 53 · Тип 7 · # 14603 · ★★☆☆☆ 53 / 54

Найдите значение выражения 2√3·cos²(13π/12) − √3.

Ответ: 1,5

Решение.

Используем формулу cos²α = (1 + cos2α)/2.

cos²(13π/12) = cos²(π/12) = (1 + cos(π/6))/2 = (2 + √3)/4.

Тогда 2√3·(2 + √3)/4 − √3 = 3/2.

Ответ: 1,5

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 133372

Ответ:

№ 54 · Тип 7 · # 14594 · ★★☆☆☆ 54 / 54

Найдите значение выражения 4√3·cos²(23π/12) − 4√3·sin²(23π/12).

Ответ: 6

Решение.

Вынесем 4√3: 4√3(cos²α − sin²α) = 4√3cos2α, где α = 23π/12.

Получаем 4√3cos(23π/6) = 4√3cos(−π/6) = 4√3·√3/2 = 6.

Ответ: 6

Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 818625

Ответ:

Тип 7. Вычисления и преобразования

Параметры печати