Две окружности радиусов 6 и 4 касаются внешним образом. Найдите расстояние между их центрами.
При внешнем касании .
Ответ: 10.
При внешнем касании .
Ответ: 10.
Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности (B и C — точки касания). Известно, что . Найдите длину отрезка AC.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Значит, .
Ответ: 12.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Значит, .
Ответ: 12.
Две окружности касаются внутренним образом. Радиус большей окружности равен 9, расстояние между центрами равно 5. Найдите радиус меньшей окружности.
При внутреннем касании , откуда .
Ответ: 4.
При внутреннем касании , откуда .
Ответ: 4.
Радиусы двух окружностей равны и , расстояние между их центрами . Определите взаимное расположение окружностей. В ответе запишите: касаются внешним образом, касаются внутренним образом или пересекаются.
, значит, окружности касаются внутренним образом.
Ответ: касаются внутренним образом.
, значит, окружности касаются внутренним образом.
Ответ: касаются внутренним образом.
Радиусы двух окружностей равны и , расстояние между их центрами . Определите взаимное расположение окружностей. В ответе запишите: касаются внешним образом, касаются внутренним образом или пересекаются.
, значит, окружности касаются внешним образом.
Ответ: касаются внешним образом.
, значит, окружности касаются внешним образом.
Ответ: касаются внешним образом.
Радиусы двух окружностей равны и , расстояние между их центрами . Сколько общих точек имеют эти окружности?
, поэтому меньшая окружность целиком лежит внутри большей и общих точек нет.
Ответ: 0.
, поэтому меньшая окружность целиком лежит внутри большей и общих точек нет.
Ответ: 0.
Радиусы двух окружностей равны и , расстояние между их центрами . Определите взаимное расположение окружностей. В ответе запишите одно слово: пересекаются, касаются или не пересекаются.
, значит, окружности не пересекаются и лежат одна вне другой.
Ответ: не пересекаются.
, значит, окружности не пересекаются и лежат одна вне другой.
Ответ: не пересекаются.
Радиусы двух окружностей равны и , расстояние между их центрами . Определите взаимное расположение окружностей. В ответе запишите одно слово: пересекаются, касаются или не пересекаются.
. Так как , окружности пересекаются.
Ответ: пересекаются.
. Так как , окружности пересекаются.
Ответ: пересекаются.
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Угол B равен 40°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 110.
Ответ: 110.
Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите радиус описанной около него окружности.
Гипотенуза равна . Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому .
Ответ: 6,5.
Гипотенуза равна . Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому .
Ответ: 6,5.
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12, гипотенуза равна 15. Найдите радиус вписанной в него окружности.
Ответ: 3.
Ответ: 3.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8, гипотенуза равна 10. Найдите радиус вписанной в него окружности.
Для прямоугольного треугольника
Ответ: 2.
Для прямоугольного треугольника
Ответ: 2.
Окружность, вписанная в треугольник MKL, касается стороны MK в точке P, стороны KL — в точке Q, стороны LM — в точке R. Известно, что , , . Найдите периметр треугольника MKL.
Ответ: 68.
Ответ: 68.
Окружность, вписанная в треугольник MKL, касается стороны MK в точке P, стороны KL — в точке Q, стороны LM — в точке R. Известно, что , , . Найдите периметр треугольника MKL.
Отрезки касательных из одной вершины равны: . Периметр состоит из шести таких отрезков, попарно равных:
Ответ: 30.
Отрезки касательных из одной вершины равны: . Периметр состоит из шести таких отрезков, попарно равных:
Ответ: 30.
Из точки A проведена касательная AB к окружности с центром O радиуса 5. Известно, что . Найдите расстояние от точки A до центра окружности.
Треугольник ABO прямоугольный: .
Ответ: 13.
Треугольник ABO прямоугольный: .
Ответ: 13.
Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром O. Угол BAC равен 48°. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
AO — биссектриса угла BAC, поэтому . Треугольник ABO прямоугольный, значит, .
Ответ: 66.
AO — биссектриса угла BAC, поэтому . Треугольник ABO прямоугольный, значит, .
Ответ: 66.
Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром O. Угол BOC равен 140°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 40.
Ответ: 40.
Из точки A проведены две касательные к окружности с центром O. Угол между касательными равен 60°, . Найдите радиус окружности.
AO — биссектриса угла между касательными, поэтому . В прямоугольном треугольнике ABO катет OB лежит против угла в 30°:
Ответ: 4.
AO — биссектриса угла между касательными, поэтому . В прямоугольном треугольнике ABO катет OB лежит против угла в 30°:
Ответ: 4.
Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром O. Угол OAB равен 25°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, то есть AO — биссектриса угла BAC. Значит, .
Ответ: 50.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, образуют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, то есть AO — биссектриса угла BAC. Значит, .
Ответ: 50.
Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром O. Угол BOC равен 110°. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.
Углы ABO и ACO прямые, поэтому .
Ответ: 70.
Углы ABO и ACO прямые, поэтому .
Ответ: 70.
Из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром O (B и C — точки касания). Угол BAC равен 60°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
В четырёхугольнике ABOC углы при точках касания прямые. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому
Ответ: 120.
В четырёхугольнике ABOC углы при точках касания прямые. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому
Ответ: 120.
Прямая AK касается окружности с центром O в точке K. Радиус окружности равен 7, . Найдите угол AOK. Ответ дайте в градусах.
Треугольник OKA прямоугольный, (катет OK вдвое меньше гипотенузы). Тогда .
Ответ: 60.
Треугольник OKA прямоугольный, (катет OK вдвое меньше гипотенузы). Тогда .
Ответ: 60.
Прямая AK касается окружности с центром O в точке K. Радиус окружности равен 5, . Найдите угол OAK. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике OKA катет OK равен половине гипотенузы OA, значит, он лежит против угла в 30°.
Ответ: 30.
В прямоугольном треугольнике OKA катет OK равен половине гипотенузы OA, значит, он лежит против угла в 30°.
Ответ: 30.
Прямая AK касается окружности с центром O радиуса 4 в точке K. Угол OAK равен 30°. Найдите длину отрезка OA.
В прямоугольном треугольнике OKA катет OK лежит против угла в 30°, значит, он равен половине гипотенузы: .
Ответ: 8.
В прямоугольном треугольнике OKA катет OK лежит против угла в 30°, значит, он равен половине гипотенузы: .
Ответ: 8.
Из точки A проведена касательная AK к окружности с центром O. Известно, что , . Найдите радиус окружности.
Радиус OK — катет прямоугольного треугольника OKA:
Ответ: 7.
Радиус OK — катет прямоугольного треугольника OKA:
Ответ: 7.
Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с центром O в точке K. Радиус окружности равен 9, . Найдите длину отрезка OA.
Треугольник OKA прямоугольный (), OA — гипотенуза:
Ответ: 15.
Треугольник OKA прямоугольный (), OA — гипотенуза:
Ответ: 15.
Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с центром O в точке K. Радиус окружности равен 6, . Найдите длину отрезка AK.
По свойству касательной , поэтому треугольник OKA прямоугольный с гипотенузой OA. По теореме Пифагора:
Ответ: 8.
По свойству касательной , поэтому треугольник OKA прямоугольный с гипотенузой OA. По теореме Пифагора:
Ответ: 8.
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Углы A и B равны соответственно 50° и 60°. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
, тогда .
Ответ: 125.
, тогда .
Ответ: 125.
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Углы A и C равны соответственно 35° и 20°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
. Луч BO — биссектриса угла B, поэтому .
Ответ: 62,5.
. Луч BO — биссектриса угла B, поэтому .
Ответ: 62,5.
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Угол AOC равен 110°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Так как , то и .
Ответ: 40.
Так как , то и .
Ответ: 40.
Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Угол A равен 30°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
Точка O — пересечение биссектрис. В треугольнике BOC:
Полезно запомнить формулу .
Ответ: 105.
Точка O — пересечение биссектрис. В треугольнике BOC:
Полезно запомнить формулу .
Ответ: 105.
В треугольник MKL вписана окружность, касающаяся стороны MK в точке P. Известно, что , , . Найдите длину отрезка KP.
Отрезок касательной из вершины K равен полупериметру минус противолежащая сторона:
Ответ: 6.
Отрезок касательной из вершины K равен полупериметру минус противолежащая сторона:
Ответ: 6.
В треугольник MKL вписана окружность, касающаяся стороны MK в точке P. Известно, что , , . Найдите длину отрезка MP.
Обозначим отрезки касательных из вершин: отрезок из L равен . Тогда . Сложив, получим , откуда
Ответ: 3.
Обозначим отрезки касательных из вершин: отрезок из L равен . Тогда . Сложив, получим , откуда
Ответ: 3.