Тип 3. Средние линии. Теорема Фалеса

Медианы треугольника пересекаются в точке M. В каком отношении, считая от вершины, точка M делит каждую медиану? Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Средняя линия трапеции равна 12, меньшее основание равно 7. Найдите большее основание.

Основания трапеции равны 6 и 14. Найдите её среднюю линию.

Средняя линия трапеции равна 10. Найдите сумму её оснований.

Сторона треугольника равна 13. Найдите среднюю линию, параллельную этой стороне.

Средняя линия треугольника равна 6. Найдите сторону, которой она параллельна.

Верно ли, что если параллельные прямые отсекают на одной секущей равные отрезки, то и на любой другой секущей они отсекают равные между собой отрезки? В ответе напишите «да» или «нет».

На одной из сторон угла отложены три равных отрезка, а через их концы проведены параллельные прямые. На второй стороне первый от вершины отрезок равен 7. Найдите отрезок между второй и третьей точками пересечения.

Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через середину боковой стороны. Основания трапеции равны 8 и 14. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции.

В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AB, причём AM : MB = 2 : 3. Через M проведена прямая, параллельная BC; она пересекает AC в точке N. Найдите отношение AN : NC. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел, например 4:7.

На одной стороне угла с вершиной O отложены равные отрезки OA₁ = A₁A₂ = A₂A₃, и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в точках B₁, B₂, B₃. Известно, что OB₁ = 5. Найдите OB₃.

Медиана треугольника равна 12. Найдите расстояние от точки пересечения медиан до противоположной этой медиане вершины.

Медиана AA₁ треугольника равна 18, медианы пересекаются в точке M. Найдите длину отрезка AM.

Периметр треугольника равен 30. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон исходного.

Стороны AB и AC треугольника разделены на 5 равных частей, соответствующие точки соединены отрезками. Во сколько раз отрезок, ближайший к стороне BC, длиннее отрезка, ближайшего к вершине A?

В трапеции ABCD основания равны BC = 6 и AD = 10, диагонали пересекаются в точке O. Найдите отношение BO : OD. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Сторона AB треугольника ABC разделена на четыре равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные AC. Известно, что AC = 16. Найдите длину среднего из трёх получившихся отрезков.

Верно ли, что если в четырёхугольнике отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, параллелен одной из сторон, то этот четырёхугольник обязательно трапеция? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что периметр треугольника, образованного средними линиями, вдвое меньше периметра исходного треугольника? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если средняя линия треугольника равна половине стороны, не параллельной ей, то треугольник равнобедренный? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что прямая, проходящая через середины диагоналей трапеции, параллельна её основаниям? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что прямая, проходящая через середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне? В ответе напишите «да» или «нет».

В трапеции ABCD основания равны BC = 6 и AD = 10, точки E и F — середины диагоналей. Найдите длину отрезка EF.

Основания трапеции равны 6 и 16. Найдите длину отрезка, соединяющего середины её диагоналей.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. Известно, что BM = 6, BN = 10, AC = 13. Найдите периметр четырёхугольника AMNC.

В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны BC. Отрезок AM пересекает диагональ BD в точке P. Найдите отношение BP : PD. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Обе диагонали четырёхугольника равны 8. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах его сторон.

Диагонали четырёхугольника равны 10 и 14. Найдите периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон исходного.

Боковые стороны трапеции с основаниями 6 и 12 разделены на три равные части. Через соответствующие точки проведены отрезки, параллельные основаниям. Найдите тот из них, который ближе к меньшему основанию.

Средняя линия трапеции равна 10, а отрезок, соединяющий середины её диагоналей, равен 2. Найдите большее основание трапеции.

Средняя линия трапеции равна 8, а отрезок, соединяющий середины её диагоналей, равен 3. Найдите меньшее основание трапеции.

В трапеции ABCD основания равны BC = 5 и AD = 13. Средняя линия пересекает диагонали в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

В параллелограмме ABCD точки M и N делят сторону AD на три равные части (AM = MN = ND). Прямые BM и BN пересекают диагональ AC в точках P и Q. Найдите отношение AP : PQ : QC. Ответ запишите в виде трёх чисел через двоеточие.

В треугольнике ABC точка D — середина AB, точка E лежит на BC, причём BE : EC = 1 : 2. Отрезки AE и CD пересекаются в точке P. Найдите отношение CP : PD. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC точка D — середина AB, точка E лежит на BC, причём BE : EC = 1 : 2. Отрезки AE и CD пересекаются в точке P. Найдите отношение AP : PE. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC точка K лежит на AB, причём AK : KB = 1 : 2, а M — середина BC. Прямая KM пересекает прямую AC в точке N. Найдите отношение AN : NC. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC медианы AA₁ = 18 и BB₁ = 36 пересекаются в точке M, причём угол AMB₁ равен 60°. Найдите сторону AC.