Тип 4. Площади. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен 8. Найдите гипотенузу.

Медиана делит треугольник площади 1 на две части. Найдите площадь каждой из них.

Основания трапеции равны 4 и 10, высота равна 6. Найдите площадь трапеции.

В параллелограмме ABCD сторона AB = 8, а высота, проведённая к стороне CD, равна 10. Найдите площадь параллелограмма.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите его площадь.

Сторона треугольника равна 12, а проведённая к ней высота равна 5. Найдите площадь треугольника.

Площадь прямоугольника равна 160, одна из его сторон равна 10. Найдите другую сторону.

Стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите его площадь.

Диаметр окружности равен 10. На расстоянии 3 от центра проведена хорда, перпендикулярная этому диаметру. Найдите длину хорды.

Радиус окружности равен 13, хорда удалена от центра на 5. Найдите длину хорды.

Стороны треугольника равны 9, 41 и 40. Является ли он прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Стороны треугольника равны 30, 16 и 34. Является ли он прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Стороны треугольника равны 10, 17 и 15. Является ли он прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Стороны треугольника равны 24, 10 и 26. Является ли он прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Стороны треугольника равны 8, 12 и 10. Является ли он прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Стороны треугольника равны 10, 6 и 8. Является ли он прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Катет прямоугольного треугольника равен 9, гипотенуза равна 41. Найдите второй катет.

Катет прямоугольного треугольника равен 21, гипотенуза равна 35. Найдите второй катет.

Катет прямоугольного треугольника равен 10, гипотенуза равна 26. Найдите второй катет.

Катет прямоугольного треугольника равен 30, гипотенуза равна 34. Найдите второй катет.

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 30. Найдите гипотенузу.

Диагонали дельтоида равны 10 и 14. Найдите его площадь.

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите площадь ромба.

Вычислите площадь треугольника со сторонами 8, 15 и 17.

Площадь трапеции равна 120, высота равна 10, одно из оснований равно 8. Найдите второе основание.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Площадь параллелограмма равна 80. Найдите площадь треугольника ABO.

Площадь треугольника равна 30, одна из его сторон равна 12. Найдите высоту, проведённую к этой стороне.

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Площадь прямоугольника равна 48. Найдите площадь треугольника ABO.

Площадь треугольника равна 48, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите периметр треугольника.

Периметр треугольника, описанного около окружности радиуса 3, равен 32. Найдите площадь треугольника.

Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите радиус вписанной окружности.

Стороны треугольника равны 8, 15 и 17. Найдите радиус вписанной окружности.

Стороны треугольника равны 10, 10 и 12. Найдите радиус вписанной окружности.

Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус вписанной окружности.

Стороны треугольника равны 6, 8 и 10. Найдите радиус вписанной окружности.

Две окружности радиусов 2 и 8 касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной.

Верно ли, что если две стороны прямоугольного треугольника равны 6 и 8, то третья сторона равна 10? В ответе напишите «да» или «нет».

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 5 и 12. Найдите площадь трапеции.

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 15 и 20. Найдите площадь трапеции.

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8. Найдите площадь этого треугольника.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите проекцию меньшего катета на гипотенузу.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Катет прямоугольного треугольника равен 6, а гипотенуза равна 12. Найдите второй катет. Если ответ не целый, запишите его в виде a√b.

Вычислите площадь треугольника со сторонами 10, 10 и 12.

Вычислите площадь треугольника со сторонами 13, 14 и 15.

Площадь треугольника ABC равна 1, точка M — точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника ABM.

Площадь треугольника ABC равна 1. Точка K лежит на стороне AC, причём AK : KC = 1 : 3. Найдите площадь треугольника ABK.

Площадь треугольника ABC равна 1. Точки K и T делят сторону AC на три равные части. Найдите площадь треугольника BKT.

В параллелограмме ABCD сторона AB = 12, высота к стороне AB равна 6, а высота к стороне AD равна 8. Найдите сторону AD.

Стороны параллелограмма равны 8 и 12, а высота, проведённая к меньшей стороне, равна 9. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

В прямоугольнике ABCD точка M — середина стороны AD. Площадь прямоугольника равна 96. Найдите площадь треугольника AMC.

Все треугольники, описанные около одной и той же окружности, имеют площади, относящиеся как их периметры. Верно ли это утверждение? В ответе напишите «да» или «нет».

В треугольнике ABC известно, что AB = BC = 10 и AC = 16. Окружность построена на стороне AB как на диаметре и пересекает AC в точке K. Найдите длину отрезка BK.

Стороны треугольника равны 8, 15 и 17. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся стороны 17.

Стороны треугольника равны 6, 8 и 10. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся стороны 10.

Стороны треугольника равны 6, 8 и 10. Найдите радиус вневписанной окружности, касающейся стороны 6.

В квадрат вписана окружность, а около квадрата описана окружность. Найдите отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной. Ответ дайте в виде отношения, например 1:2.

Две хорды окружности длиной 8 и 15 имеют общий конец, а радиус окружности равен 8,5. Является ли отрезок, соединяющий другие концы хорд, диаметром? В ответе напишите «да» или «нет».

В окружности радиуса 30 проведены две параллельные хорды длиной 36 и 48, лежащие по одну сторону от центра. Найдите расстояние между хордами.

В окружности радиуса 15 проведены две параллельные хорды длиной 18 и 24, лежащие по разные стороны от центра. Найдите расстояние между хордами.

Две окружности касаются внешним образом. Радиус одной из них равен 25, а длина общей внешней касательной равна 20. Найдите радиус второй окружности.

Две окружности касаются внешним образом. Радиус одной из них равен 9, а длина общей внешней касательной равна 30. Найдите радиус второй окружности.

Две окружности радиусов 2 и 8 касаются внешним образом, MN — общая внешняя касательная. Найдите площадь трапеции OMNQ, где O и Q — центры окружностей.

Две окружности с центрами O и Q и радиусами 4 и 9 касаются внешним образом, MN — их общая внешняя касательная (M и N — точки касания). Найдите площадь четырёхугольника OMNQ.

Две окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной (отрезка между точками касания).

Верно ли, что треугольник со сторонами 19, 180 и 181 прямоугольный? В ответе напишите «да» или «нет».

Сторона ромба равна 26, а одна из его диагоналей равна 20. Найдите площадь ромба.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL, причём AB = 5 и BC = 8. Найдите отношение площадей треугольников ABL и CBL. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Площадь треугольника ABC равна 1. Точка P лежит на AB, точка Q — на AC, причём AP : PB = 1 : 2 и AQ : QC = 1 : 2. Найдите площадь треугольника APQ.

Площадь треугольника ABC равна 1, BB₁ — медиана, точка M — середина отрезка BB₁. Найдите площадь треугольника ABM.

В трапеции ABCD основания равны BC = 3 и AD = 11, а площадь треугольника ABC равна 6. Найдите площадь трапеции.

Две параллельные хорды окружности имеют длины 40 и 48 и лежат по разные стороны от центра. Расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.

Медианы AE = 12 и CD = 9 треугольника ABC пересекаются в точке M, причём AC = 10. Найдите площадь треугольника ABC.

Медианы треугольника, проведённые к двум его сторонам, равны 12 и 22,5, а сторона, не содержащая оснований этих медиан, равна 17. Найдите площадь треугольника.

Сколько существует прямоугольных треугольников с целыми сторонами, один из катетов которых равен 20?

Сколько существует прямоугольных треугольников с целыми сторонами, один из катетов которых равен 15?

Сколько существует прямоугольных треугольников с целыми сторонами, один из катетов которых равен 10?

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 15 и 20. Найдите высоту трапеции.

Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 15 и 20. Найдите её среднюю линию.