Тип 5. Подобие. Пропорциональные отрезки

Найдите sin 30°.

Найдите tg 45°.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 4 и 9. Найдите гипотенузу.

Треугольники подобны с коэффициентом подобия 3. Периметр меньшего треугольника равен 12. Найдите периметр большего.

Две хорды окружности пересекаются. Отрезки одной равны 5 и 10, а один из отрезков другой равен 2. Найдите второй отрезок.

Две хорды окружности пересекаются. Отрезки первой хорды равны 4 и 6, а один из отрезков второй хорды равен 3. Найдите второй отрезок второй хорды.

Семейство прямых, проходящих через одну точку, высекает на двух параллельных прямых отрезки. На первой прямой отрезки равны 4 и 6, на второй первый отрезок равен 10. Найдите второй.

Две параллельные прямые высекают на сторонах угла отрезки. На одной стороне отрезки равны 8 и 6, а на другой первый из соответствующих отрезков равен 12. Найдите второй.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Известно, что AB = 8, AD = 4, DC = 6. Найдите BC.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Известно, что AB = 8, BC = 12, AD = 4. Найдите DC.

Средняя линия отсекает от треугольника меньший треугольник. Найдите отношение площади отсечённого треугольника к площади исходного. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Периметры подобных треугольников относятся как 1 : 2. Найдите отношение их площадей. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Треугольники подобны с коэффициентом подобия 3. Площадь меньшего равна 5. Найдите площадь большего.

Верно ли, что если для четырёх точек выполняется равенство произведений отрезков, отсекаемых на двух прямых, проходящих через одну точку, то эти четыре точки лежат на одной окружности? В ответе напишите «да» или «нет».

Из внешней точки проведены секущая и касательная. Касательная равна 12, внешний отрезок секущей равен 3. Найдите внутренний отрезок секущей.

Из внешней точки проведены секущая и касательная. Внешний отрезок секущей равен 1, внутренний равен 24. Найдите длину касательной.

Из внешней точки проведены секущая и касательная. Внешний отрезок секущей равен 4, внутренний равен 5. Найдите длину касательной.

Верно ли, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если луч делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, то он является биссектрисой угла треугольника? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если три прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны? В ответе напишите «да» или «нет».

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Известно, что AB = 7, BC = 16, DC = 4. Найдите AD.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Известно, что AB = 6, BC = 9, AC = 10. Найдите AD.

Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть равен 2? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что для того, чтобы высота треугольника делила его на два подобных ему треугольника, достаточно, чтобы исходный треугольник был прямоугольным? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если периметры треугольников относятся как 1 : 2, то эти треугольники подобны с коэффициентом 0,5? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный исходному? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что диагональ любой трапеции образует два подобных треугольника? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если два треугольника прямоугольные, то они подобны? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что любые два равносторонних треугольника подобны? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если треугольники равны, то они подобны? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что любые два равнобедренных треугольника, имеющие угол 105°, подобны? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что любые два равнобедренных треугольника, имеющие угол 40°, подобны? В ответе напишите «да» или «нет».

Верно ли, что если три угла одного треугольника равны трём углам другого, то такие треугольники подобны? В ответе напишите «да» или «нет».

Найдите ctg 60°. Если ответ не целый, запишите его в виде дроби с радикалом.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 4 и 9. Найдите эту высоту.

Высота треугольника равна 6, а высота подобного ему треугольника, проведённая к сходственной стороне, равна 15. Найдите отношение площадей этих треугольников. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

Площади подобных треугольников равны 16 и 25. Найдите отношение их периметров. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Отношение площади треугольника ABC к площади треугольника A₁BC₁ равно 9. Найдите cos B. Если ответ не целый, запишите его десятичной дробью.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Известно, что A₁C₁ = 12, AC = 12√2. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Угол B равен 45°, AC = 12. Найдите A₁C₁. Если ответ не целый, запишите его в виде a√b.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Угол B равен 60°, AC = 8. Найдите A₁C₁.

Из внешней точки проведены секущая и касательная. Касательная равна 12, внутренний отрезок секущей равен 18. Найдите внешний отрезок секущей.

Из внешней точки проведены две секущие. У первой внешний отрезок равен 4, внутренний равен 8. У второй внутренний отрезок равен 2. Найдите внешний отрезок второй секущей.

Из внешней точки проведены две секущие. Внешний отрезок первой равен 4, а вся первая секущая равна 10. Внешний отрезок второй равен 5. Найдите внутренний отрезок второй секущей.

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит его на два треугольника. Катеты исходного треугольника равны 30 и 25. Найдите отношение площадей этих двух треугольников (начиная с прилежащего к катету 30). Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В прямоугольном треугольнике катет равен 30, а его проекция на гипотенузу равна 18. Найдите второй катет.

В прямоугольном треугольнике катет равен 30, а его проекция на гипотенузу равна 18. Найдите гипотенузу.

В треугольник ABC вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на AC. Известно, что AC = 12, а высота BH = 8. Найдите сторону квадрата.

В треугольник ABC вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на AC. Известно, что AC = 20, а высота BH = 5. Найдите сторону квадрата.

В треугольник ABC вписан квадрат KLMN так, что сторона LM лежит на AC. Известно, что AC = 24, а высота BH = 8. Найдите сторону квадрата.

Две окружности вписаны в один угол с вершиной C и касаются друг друга внешним образом. Расстояние между их центрами равно 13, а отрезок общей касательной между точками касания со стороной угла равен 12. Найдите бо́льший радиус.

Две окружности вписаны в один угол и касаются друг друга внешним образом. Радиус большей равен 25, а отрезок MN (перпендикуляр к линии центров через точку касания, ограниченный сторонами угла) равен 30. Найдите радиус меньшей окружности.

Две окружности радиусов 4 и 9 вписаны в один угол и касаются друг друга внешним образом в точке T. Через T проведена прямая, перпендикулярная линии центров; она пересекает стороны угла в точках M и N. Найдите MN.

Две окружности вписаны в один угол с вершиной C и касаются друг друга внешним образом. Радиус меньшей равен 6, а расстояние от C до ближайшей точки меньшей окружности равно 2. Найдите радиус большей окружности.

Из точки C проведены две касательные к двум окружностям, вписанным в угол и касающимся друг друга внешним образом. Радиусы окружностей равны 4 и 9. Найдите расстояние от C до центра меньшей окружности.

В треугольнике ABC точка P лежит на AC, причём AP : PC = 2 : 5, а точка Q — на BC, причём BQ : QC = 4 : 7. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке M. Найдите отношение BM : MP. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC точка P лежит на AC, причём AP : PC = 2 : 5, а точка Q — на BC, причём BQ : QC = 4 : 7. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке M. Найдите отношение AM : MQ. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC точка P лежит на AC, причём AP : PC = 2 : 5, а точка Q — на BC, причём BQ : QC = 1 : 2. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке M. Найдите отношение AM : MQ. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC точка P лежит на AC, причём AP : PC = 2 : 5, а точка Q — на BC, причём BQ : QC = 1 : 2. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке M. Найдите отношение BM : MP. Ответ дайте в виде отношения взаимно простых целых чисел.

В треугольнике ABC точка K лежит на стороне AB, точка M — на стороне BC, а прямая KM пересекает продолжение стороны AC в точке L. Известно, что AK = 2, KB = 5, BM = 5, LA = 3, AC = 12. Найдите MC.