а) Решите уравнение [log₂²(sin x) + log₂(sin x)] / (2cos x + √3) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π/2].
Область допустимых значений: sin x > 0 и 2cos x + √3 ≠ 0.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: log₂²(sin x) + log₂(sin x) = 0.
Пусть t = log₂(sin x). Тогда t(t + 1) = 0, поэтому sin x = 1 или sin x = 1/2.
Из sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk. Из sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
При x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен нулю, поэтому эти значения исключаются.
На отрезке [0; 3π/2] остаются π/6 и π/2.
Ответ: а) x = π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k∈Z; б) π/6, π/2
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 638272
Область допустимых значений: sin x > 0 и 2cos x + √3 ≠ 0.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: log₂²(sin x) + log₂(sin x) = 0.
Пусть t = log₂(sin x). Тогда t(t + 1) = 0, поэтому sin x = 1 или sin x = 1/2.
Из sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk. Из sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
При x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен нулю, поэтому эти значения исключаются.
На отрезке [0; 3π/2] остаются π/6 и π/2.
Ответ: а) x = π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k∈Z; б) π/6, π/2
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 638272
а) Решите уравнение [9^(sin 2x) − 3^(2√2·sin x)] / √(11sin x) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].
ОДЗ: 11sin x > 0, то есть sin x > 0.
Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: 9^(sin2x) = 3^(2√2·sin x).
Так как 9 = 3², получаем 3^(2sin2x) = 3^(2√2·sin x), поэтому 2sin2x = 2√2sin x.
4sin x cos x = 2√2sin x. На ОДЗ sin x ≠ 0, поэтому cos x = √2/2.
С учётом sin x > 0 получаем x = π/4 + 2πk, k∈Z.
На отрезке [7π/2; 5π] находится x = 17π/4.
Ответ: а) x = π/4 + 2πk, k∈Z; б) 17π/4
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания FDA042
ОДЗ: 11sin x > 0, то есть sin x > 0.
Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: 9^(sin2x) = 3^(2√2·sin x).
Так как 9 = 3², получаем 3^(2sin2x) = 3^(2√2·sin x), поэтому 2sin2x = 2√2sin x.
4sin x cos x = 2√2sin x. На ОДЗ sin x ≠ 0, поэтому cos x = √2/2.
С учётом sin x > 0 получаем x = π/4 + 2πk, k∈Z.
На отрезке [7π/2; 5π] находится x = 17π/4.
Ответ: а) x = π/4 + 2πk, k∈Z; б) 17π/4
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания FDA042