В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD =1 :2 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Обозначим через P и K точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AB и CD. Тогда TP ∥ BD, TK ∥ AC, а противоположные стороны сечения попарно параллельны.
В правильной треугольной пирамиде проекция D на основание — центр O равностороннего треугольника ABC. Прямая AC перпендикулярна BO и DO, следовательно, AC ⟂ плоскости BOD и AC ⟂ BD. Поэтому соседние стороны сечения, параллельные AC и BD, перпендикулярны. Сечение — прямоугольник.
Так как AT:TD = 1:2, то AT/AD = 1/3 и DT/DA = 2/3. Из подобия треугольников ATP и ADB: TP = BD/3 = 3. Из подобия DTK и DAC: TK = (2/3)AC = 10/3.
Площадь прямоугольника равна 3·10/3 = 10.
Ответ: а) доказано; б) 10
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 149319
Обозначим через P и K точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AB и CD. Тогда TP ∥ BD, TK ∥ AC, а противоположные стороны сечения попарно параллельны.
В правильной треугольной пирамиде проекция D на основание — центр O равностороннего треугольника ABC. Прямая AC перпендикулярна BO и DO, следовательно, AC ⟂ плоскости BOD и AC ⟂ BD. Поэтому соседние стороны сечения, параллельные AC и BD, перпендикулярны. Сечение — прямоугольник.
Так как AT:TD = 1:2, то AT/AD = 1/3 и DT/DA = 2/3. Из подобия треугольников ATP и ADB: TP = BD/3 = 3. Из подобия DTK и DAC: TK = (2/3)AC = 10/3.
Площадь прямоугольника равна 3·10/3 = 10.
Ответ: а) доказано; б) 10
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 149319
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известно, что AB =2. Плоскость α проходит через вершины A1 и B и середину M ребра CC1. а) Докажите, что сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.
Сечение проходит по треугольнику A₁BM. Введём координаты: A(0;0;0), B(2;0;0), C(1;√3;0), A₁(0;0;h), M(1;√3;h/2).
A₁M² = 1² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4. Аналогично BM² = (−1)² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4.
Следовательно, A₁M = BM, и сечение является равнобедренным треугольником.
Площадь треугольника A₁BM равна половине модуля векторного произведения A₁B и A₁M: S = (1/2)√(3h² + 12).
По условию (1/2)√(3h² + 12) = 6. Отсюда 3h² + 12 = 144, h² = 44, h = 2√11.
Ответ: а) доказано; б) 2√11
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 727800
Сечение проходит по треугольнику A₁BM. Введём координаты: A(0;0;0), B(2;0;0), C(1;√3;0), A₁(0;0;h), M(1;√3;h/2).
A₁M² = 1² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4. Аналогично BM² = (−1)² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4.
Следовательно, A₁M = BM, и сечение является равнобедренным треугольником.
Площадь треугольника A₁BM равна половине модуля векторного произведения A₁B и A₁M: S = (1/2)√(3h² + 12).
По условию (1/2)√(3h² + 12) = 6. Отсюда 3h² + 12 = 144, h² = 44, h = 2√11.
Ответ: а) доказано; б) 2√11
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 727800
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD =2 :1 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Обозначим вершины сечения так, чтобы одна сторона через T была параллельна BD, а другая — AC. Как и в задании 3, AC ⟂ BD, поэтому параллелограмм сечения является прямоугольником.
AT:TD = 2:1, поэтому AT/AD = 2/3, DT/DA = 1/3.
Сторона, параллельная BD, равна (2/3)BD = 10/3. Сторона, параллельная AC, равна (1/3)AC = 2.
Площадь сечения: (10/3)·2 = 20/3.
Ответ: а) доказано; б) 20/3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 30ED04
Обозначим вершины сечения так, чтобы одна сторона через T была параллельна BD, а другая — AC. Как и в задании 3, AC ⟂ BD, поэтому параллелограмм сечения является прямоугольником.
AT:TD = 2:1, поэтому AT/AD = 2/3, DT/DA = 1/3.
Сторона, параллельная BD, равна (2/3)BD = 10/3. Сторона, параллельная AC, равна (1/3)AC = 2.
Площадь сечения: (10/3)·2 = 20/3.
Ответ: а) доказано; б) 20/3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 30ED04