Решите неравенство x²·log_{√[5]{243}}(4 − x) ≤ log₃(x² − 8x + 16).
Поскольку √[5]{243} = 3, основание первого логарифма равно 3.
Область допустимых значений: 4 − x > 0, то есть x < 4. При этом x² − 8x + 16 = (4 − x)².
Неравенство принимает вид x²log₃(4 − x) ≤ 2log₃(4 − x), то есть (x² − 2)log₃(4 − x) ≤ 0.
Критические точки: −√2, √2, 3 и граница 4. Логарифм положителен при x < 3, равен нулю при x = 3 и отрицателен при 3 < x < 4.
По методу интервалов получаем [−√2; √2] ∪ [3; 4).
Ответ: [−√2; √2] ∪ [3; 4)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 553848
Поскольку √[5]{243} = 3, основание первого логарифма равно 3.
Область допустимых значений: 4 − x > 0, то есть x < 4. При этом x² − 8x + 16 = (4 − x)².
Неравенство принимает вид x²log₃(4 − x) ≤ 2log₃(4 − x), то есть (x² − 2)log₃(4 − x) ≤ 0.
Критические точки: −√2, √2, 3 и граница 4. Логарифм положителен при x < 3, равен нулю при x = 3 и отрицателен при 3 < x < 4.
По методу интервалов получаем [−√2; √2] ∪ [3; 4).
Ответ: [−√2; √2] ∪ [3; 4)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 553848
Решите неравенство log₈x / log₈(x/64) ≥ 2/log₈x + 3/[log₈²x − log₈(x²)].
Положим t = log₈x. Тогда log₈(x/64) = t − 2, log₈(x²) = 2t. По ОДЗ t ≠ 0 и t ≠ 2.
Получаем t/(t − 2) ≥ 2/t + 3/[t² − 2t].
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: (t − 1)²/[t(t − 2)] ≥ 0.
Числитель неотрицателен и обращается в ноль при t = 1. Дробь неотрицательна при t < 0, при t = 1 и при t > 2.
Возвращаясь к x = 8^t, получаем (0; 1) ∪ {8} ∪ (64; +∞).
Ответ: (0; 1) ∪ {8} ∪ (64; +∞)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 672605
Положим t = log₈x. Тогда log₈(x/64) = t − 2, log₈(x²) = 2t. По ОДЗ t ≠ 0 и t ≠ 2.
Получаем t/(t − 2) ≥ 2/t + 3/[t² − 2t].
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю: (t − 1)²/[t(t − 2)] ≥ 0.
Числитель неотрицателен и обращается в ноль при t = 1. Дробь неотрицательна при t < 0, при t = 1 и при t > 2.
Возвращаясь к x = 8^t, получаем (0; 1) ∪ {8} ∪ (64; +∞).
Ответ: (0; 1) ∪ {8} ∪ (64; +∞)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 672605
Решите неравенство [15^x − 3^(x+1) − 5^(x+1) + 15] / (−x² + 2x) ≥ 0.
Числитель раскладывается на множители: 15^x − 3·3^x − 5·5^x + 15 = (3^x − 5)(5^x − 3).
Знаменатель −x² + 2x = x(2 − x), поэтому x ≠ 0 и x ≠ 2.
Нули числителя: x = log₅3 и x = log₃5. Их порядок: 0 < log₅3 < log₃5 < 2.
По методу интервалов дробь неотрицательна на (0; log₅3] и [log₃5; 2).
Ответ: (0; log₅3] ∪ [log₃5; 2)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 6F97FE
Числитель раскладывается на множители: 15^x − 3·3^x − 5·5^x + 15 = (3^x − 5)(5^x − 3).
Знаменатель −x² + 2x = x(2 − x), поэтому x ≠ 0 и x ≠ 2.
Нули числителя: x = log₅3 и x = log₃5. Их порядок: 0 < log₅3 < log₃5 < 2.
По методу интервалов дробь неотрицательна на (0; log₅3] и [log₃5; 2).
Ответ: (0; log₅3] ∪ [log₃5; 2)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 6F97FE
Решите неравенство [log₃(9x)·log₄(64x)] / [5x² − |x|] ≤ 0.
ОДЗ: x > 0 и 5x² − |x| ≠ 0. При x > 0 знаменатель равен x(5x − 1), поэтому x ≠ 1/5.
Первый логарифм обращается в ноль при x = 1/9, второй — при x = 1/64.
Критические точки расположены так: 0 < 1/64 < 1/9 < 1/5.
По методу интервалов дробь неположительна на (0; 1/64] и [1/9; 1/5).
Ответ: (0; 1/64] ∪ [1/9; 1/5)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 80AEFA
ОДЗ: x > 0 и 5x² − |x| ≠ 0. При x > 0 знаменатель равен x(5x − 1), поэтому x ≠ 1/5.
Первый логарифм обращается в ноль при x = 1/9, второй — при x = 1/64.
Критические точки расположены так: 0 < 1/64 < 1/9 < 1/5.
По методу интервалов дробь неположительна на (0; 1/64] и [1/9; 1/5).
Ответ: (0; 1/64] ∪ [1/9; 1/5)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 80AEFA