Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 45° , В1С1= 6 и площадь треугольника АВ1С1 в восемь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
а) Угол A общий для треугольников ABC и AB₁C₁. Из вписанности B, C, B₁, C₁ следует равенство соответствующих углов при B и B₁ (учитывая, что A, B₁, C и A, C₁, B лежат на прямых). Поэтому ΔABC ∼ ΔAB₁C₁.
б) Пусть Sмал — площадь ΔAB₁C₁. Площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 8Sмал, поэтому SABC = 9Sмал. Коэффициент подобия большого и малого треугольников k = 3.
Следовательно, BC = 3·B₁C₁ = 18.
Для нахождения радиуса рассмотрим ΔABB₁. По подобию AB = k·AB₁, а ∠BAB₁ = 45°. Если d = BB₁/AB₁, то по теореме косинусов d = √(k² + 1 − 2kcos45°) = √(10 − 3√2).
По теореме синусов sin∠BB₁A = ksin45°/d. Угол BB₁C дополнительный к нему и имеет тот же синус. В окружности BC = 2R·sin∠BB₁C.
R = B₁C₁·d/(2sin45°) = 3√(20 − 6√2).
Ответ: а) доказано; б) BC = 18, R = 3√(20 − 6√2)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 829956
а) Угол A общий для треугольников ABC и AB₁C₁. Из вписанности B, C, B₁, C₁ следует равенство соответствующих углов при B и B₁ (учитывая, что A, B₁, C и A, C₁, B лежат на прямых). Поэтому ΔABC ∼ ΔAB₁C₁.
б) Пусть Sмал — площадь ΔAB₁C₁. Площадь четырёхугольника BCB₁C₁ равна 8Sмал, поэтому SABC = 9Sмал. Коэффициент подобия большого и малого треугольников k = 3.
Следовательно, BC = 3·B₁C₁ = 18.
Для нахождения радиуса рассмотрим ΔABB₁. По подобию AB = k·AB₁, а ∠BAB₁ = 45°. Если d = BB₁/AB₁, то по теореме косинусов d = √(k² + 1 − 2kcos45°) = √(10 − 3√2).
По теореме синусов sin∠BB₁A = ksin45°/d. Угол BB₁C дополнительный к нему и имеет тот же синус. В окружности BC = 2R·sin∠BB₁C.
R = B₁C₁·d/(2sin45°) = 3√(20 − 6√2).
Ответ: а) доказано; б) BC = 18, R = 3√(20 − 6√2)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 829956
Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С1 и В1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ1С1. б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А= 30° , В1С1= 5 и площадь треугольника АВ1С1 в пять раз меньше площади четырёхугольника ВСВ1С1.
а) Аналогично заданию 21: угол A общий, а равенство остальных углов следует из вписанности четырёхугольника BCB₁C₁. Поэтому ΔABC ∼ ΔAB₁C₁.
б) Пусть Sмал — площадь малого треугольника. Четырёхугольник имеет площадь 5Sмал, значит SABC = 6Sмал и коэффициент подобия k = √6.
BC = k·B₁C₁ = 5√6.
В треугольнике ABB₁ отношение AB/AB₁ = k, а угол A равен 30°. Поэтому BB₁/AB₁ = √(k² + 1 − 2kcos30°) = √(7 − 3√2).
По теореме синусов и формуле хорды, как в задании 21, R = B₁C₁·√(7 − 3√2)/(2sin30°) = 5√(7 − 3√2).
Ответ: а) доказано; б) BC = 5√6, R = 5√(7 − 3√2)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания AA7FF7
а) Аналогично заданию 21: угол A общий, а равенство остальных углов следует из вписанности четырёхугольника BCB₁C₁. Поэтому ΔABC ∼ ΔAB₁C₁.
б) Пусть Sмал — площадь малого треугольника. Четырёхугольник имеет площадь 5Sмал, значит SABC = 6Sмал и коэффициент подобия k = √6.
BC = k·B₁C₁ = 5√6.
В треугольнике ABB₁ отношение AB/AB₁ = k, а угол A равен 30°. Поэтому BB₁/AB₁ = √(k² + 1 − 2kcos30°) = √(7 − 3√2).
По теореме синусов и формуле хорды, как в задании 21, R = B₁C₁·√(7 − 3√2)/(2sin30°) = 5√(7 − 3√2).
Ответ: а) доказано; б) BC = 5√6, R = 5√(7 − 3√2)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания AA7FF7
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M , а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N . Отрезки AM и CN пересекаются в точке P . а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если BC =7 , AD =23 .
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей. Из условий окружностей ∠AMD = 90° и ∠CND = 90°, поэтому AM и CN — высоты треугольника ACD. Их пересечение P — ортоцентр, следовательно, DP ⟂ AC. Но BD ⟂ AC, значит B, P, D лежат на одной прямой.
В равнобедренной трапеции диагонали равны, а боковые стороны равны, поэтому треугольники DBC и ACB равны. Отсюда ∠DBC = ∠ACB. Так как диагонали перпендикулярны, треугольник BOC прямоугольный равнобедренный, и ∠PBC = 45°.
Кроме того, CP ⟂ AD и AD ∥ BC, поэтому CP ⟂ BC. Треугольник BCP прямоугольный равнобедренный, значит CB = CP. Прямая AC перпендикулярна BP и проходит через точку C, равноудалённую от B и P, то есть является серединным перпендикуляром к BP. Поэтому AB = AP.
Итак, ABCP — симметричный воздушный змей: AB = AP и CB = CP. Его ось AC является биссектрисой углов A и C; пересечение внутренних биссектрис равноудалено от всех четырёх сторон. Следовательно, в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Обозначим BC = a = 7, AD = b = 23, высоту трапеции — h. Из перпендикулярности диагоналей для симметричной трапеции h = (a + b)/2 = 15.
AB = √[((b − a)/2)² + h²] = √(8² + 15²) = 17. Поэтому стороны четырёхугольника равны 17, 7, 7, 17, его полупериметр s = 24.
Точка P симметрична B относительно AC, поэтому S_ABCP = 2S_ABC = 2·(1/2)·7·15 = 105.
Для вписанной окружности S = rs, значит r = 105/24 = 35/8.
Ответ: а) доказано; б) 35/8
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания B45F0C
а) Пусть O — точка пересечения диагоналей. Из условий окружностей ∠AMD = 90° и ∠CND = 90°, поэтому AM и CN — высоты треугольника ACD. Их пересечение P — ортоцентр, следовательно, DP ⟂ AC. Но BD ⟂ AC, значит B, P, D лежат на одной прямой.
В равнобедренной трапеции диагонали равны, а боковые стороны равны, поэтому треугольники DBC и ACB равны. Отсюда ∠DBC = ∠ACB. Так как диагонали перпендикулярны, треугольник BOC прямоугольный равнобедренный, и ∠PBC = 45°.
Кроме того, CP ⟂ AD и AD ∥ BC, поэтому CP ⟂ BC. Треугольник BCP прямоугольный равнобедренный, значит CB = CP. Прямая AC перпендикулярна BP и проходит через точку C, равноудалённую от B и P, то есть является серединным перпендикуляром к BP. Поэтому AB = AP.
Итак, ABCP — симметричный воздушный змей: AB = AP и CB = CP. Его ось AC является биссектрисой углов A и C; пересечение внутренних биссектрис равноудалено от всех четырёх сторон. Следовательно, в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Обозначим BC = a = 7, AD = b = 23, высоту трапеции — h. Из перпендикулярности диагоналей для симметричной трапеции h = (a + b)/2 = 15.
AB = √[((b − a)/2)² + h²] = √(8² + 15²) = 17. Поэтому стороны четырёхугольника равны 17, 7, 7, 17, его полупериметр s = 24.
Точка P симметрична B относительно AC, поэтому S_ABCP = 2S_ABC = 2·(1/2)·7·15 = 105.
Для вписанной окружности S = rs, значит r = 105/24 = 35/8.
Ответ: а) доказано; б) 35/8
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания B45F0C
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC =12 и BD =6,5.
а) Так как ΔABD равнобедренный с основанием AD, AB = BD. Так как ΔBCD равнобедренный с основанием CD, BC = BD. Следовательно, AB = BC.
В треугольнике ABC углы BAC и ACB равны. Из AD ∥ BC следует ∠CAD = ∠ACB. Значит, ∠BAC = ∠CAD, то есть AC — биссектриса угла BAD.
б) AB = BC = BD = 6,5. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 12. Пусть α = ∠BAC. Тогда cosα = (AC/2)/AB = 6/6,5 = 12/13, поэтому sinα = 5/13.
Угол BAD = 2α. Так как ΔABD равнобедренный с основанием AD, ∠ADB = 2α. Из AD ∥ BC следует ∠DBC = 2α.
В равнобедренном треугольнике BCD с боковыми сторонами 6,5 и углом при вершине 2α основание CD = 2·6,5·sinα = 13·5/13 = 5.
Ответ: а) доказано; б) 5
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 5CBC00
а) Так как ΔABD равнобедренный с основанием AD, AB = BD. Так как ΔBCD равнобедренный с основанием CD, BC = BD. Следовательно, AB = BC.
В треугольнике ABC углы BAC и ACB равны. Из AD ∥ BC следует ∠CAD = ∠ACB. Значит, ∠BAC = ∠CAD, то есть AC — биссектриса угла BAD.
б) AB = BC = BD = 6,5. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC = 12. Пусть α = ∠BAC. Тогда cosα = (AC/2)/AB = 6/6,5 = 12/13, поэтому sinα = 5/13.
Угол BAD = 2α. Так как ΔABD равнобедренный с основанием AD, ∠ADB = 2α. Из AD ∥ BC следует ∠DBC = 2α.
В равнобедренном треугольнике BCD с боковыми сторонами 6,5 и углом при вершине 2α основание CD = 2·6,5·sinα = 13·5/13 = 5.
Ответ: а) доказано; б) 5
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 5CBC00