Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение 4^x + (a − 6)·2^x = (2 + 3|a|)·2^x + (a − 6)(3|a| + 2) имеет единственное решение.
Сделаем замену t = 2^x, где t > 0. Тогда 4^x = t².
Уравнение преобразуется к t² + (a − 8 − 3|a|)t − (a − 6)(3|a| + 2) = 0.
Левая часть раскладывается: (t − (3|a| + 2))(t + a − 6) = 0.
Первый корень t₁ = 3|a| + 2 всегда положителен. Второй корень t₂ = 6 − a положителен только при a < 6.
Единственное значение t получается либо при a ≥ 6, либо когда положительные корни совпадают: 6 − a = 3|a| + 2. При a ≥ 0 получаем a = 1, при a < 0 — a = −2.
Так как функция 2^x строго возрастает, каждому положительному t соответствует ровно одно x.
Ответ: {−2; 1} ∪ [6; +∞)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 617476
Сделаем замену t = 2^x, где t > 0. Тогда 4^x = t².
Уравнение преобразуется к t² + (a − 8 − 3|a|)t − (a − 6)(3|a| + 2) = 0.
Левая часть раскладывается: (t − (3|a| + 2))(t + a − 6) = 0.
Первый корень t₁ = 3|a| + 2 всегда положителен. Второй корень t₂ = 6 − a положителен только при a < 6.
Единственное значение t получается либо при a ≥ 6, либо когда положительные корни совпадают: 6 − a = 3|a| + 2. При a ≥ 0 получаем a = 1, при a < 0 — a = −2.
Так как функция 2^x строго возрастает, каждому положительному t соответствует ровно одно x.
Ответ: {−2; 1} ∪ [6; +∞)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 617476
Найдите все значения a, при которых уравнение (x + ln(x + a))² = (x − ln(x + a))² имеет единственное решение на отрезке [0; 1].
ОДЗ: x + a > 0. Разность квадратов даёт 4x·ln(x + a) = 0.
Следовательно, возможны две ветви: x = 0 или ln(x + a) = 0, то есть x = 1 − a.
Корень x = 0 допустим тогда и только тогда, когда a > 0.
Корень x = 1 − a принадлежит [0;1] тогда и только тогда, когда 0 ≤ a ≤ 1.
При a = 0 имеется единственный корень x = 1. При 0 < a < 1 имеются два различных корня. При a = 1 обе ветви дают один и тот же корень x = 0. При a > 1 остаётся только x = 0. При a < 0 корней нет.
Итак, единственное решение получается при a = 0 или a ≥ 1.
Ответ: {0} ∪ [1; +∞)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 8D6C09
ОДЗ: x + a > 0. Разность квадратов даёт 4x·ln(x + a) = 0.
Следовательно, возможны две ветви: x = 0 или ln(x + a) = 0, то есть x = 1 − a.
Корень x = 0 допустим тогда и только тогда, когда a > 0.
Корень x = 1 − a принадлежит [0;1] тогда и только тогда, когда 0 ≤ a ≤ 1.
При a = 0 имеется единственный корень x = 1. При 0 < a < 1 имеются два различных корня. При a = 1 обе ветви дают один и тот же корень x = 0. При a > 1 остаётся только x = 0. При a < 0 корней нет.
Итак, единственное решение получается при a = 0 или a ≥ 1.
Ответ: {0} ∪ [1; +∞)
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 8D6C09