Тип 13. Задание 13

🎓 ЕГЭ · Математика (профильный уровень) 📝 10 заданий ∞ без ограничения времени

⚡

Разбор заданий ФИПИ · Математика (профильный уровень)

10 заданий с проверкой ответов и решениями. Полный доступ ко всем заданиям — после бесплатной регистрации.

← Собрать другой Зарегистрироваться →

ЕГЭ — Математика (профильный уровень) Тип 13. Задание 13

🗺 Задания:

Перейти к № из 10

№ 1 · Тип 13 · # 21467 · 2025 · ★★★☆☆ 1 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) -0,8; log₃2/3; 0,8; б) 0,8

Решение.

ОДЗ: или . Корень первого множителя — . Для второго положим : откуда либо . Последний даёт вне ОДЗ; даёт . Из найденных корней на находится только .

Ответ:

№ 2 · Тип 13 · # 21448 · 2025 · ★★★☆☆ 2 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) -0,5; 0,5; log₂6/3; б) -0,5; 0,5; log₂6/3

Решение.

ОДЗ квадратного корня: , то есть . Первый множитель равен нулю при . Во втором положим ; получаем , откуда либо . Значение даёт вне ОДЗ, а даёт . Все три допустимых корня лежат на отрезке .

Ответ:

№ 3 · Тип 13 · # 21429 · 2025 · ★★★☆☆ 3 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) -π/6+2πk; -5π/6+2πn, k,n∈Z; б) 11π/6; 19π/6; 23π/6

Решение.

Знаменатель равен , так что . Числитель . После сокращения получаем или . Корень нарушает ОДЗ; остаётся . Следовательно, либо , где . На указанном отрезке находятся .

Ответ:

№ 4 · Тип 13 · # 21410 · 2025 · ★★★☆☆ 4 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) 2π/3+2πk; -2π/3+2πn, k,n∈Z; б) -8π/3; -4π/3; -2π/3

Решение.

ОДЗ: , то есть . По формулам и исходное уравнение равносильно при соблюдении ОДЗ. С получаем ; нарушает ОДЗ, остаётся . Значит или . На отрезке лежат .

Ответ:

№ 5 · Тип 13 · # 21391 · 2025 · ★★★☆☆ 5 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) ±√5; ±5√5; б) -√5; √5; 5√5

Решение.

ОДЗ: . Положим . Тогда и . Уравнение принимает вид и даёт или . Значит либо . Из них указанному отрезку принадлежат .

Ответ:

№ 6 · Тип 13 · # 21372 · 2025 · ★★★☆☆ 6 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) ±2√2; ±√[6]{0,5}; б) -√[6]{0,5}; √[6]{0,5}; 2√2

Решение.

Область определения: . Положим . Тогда и . Уравнение становится ; его корни и . Отсюда либо . На указанном отрезке лежат три корня: .

Ответ:

№ 7 · Тип 13 · # 21353 · 2025 · ★★★☆☆ 7 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) π/2+πn; π/6+πk; -π/6+πm, n,k,m∈Z; б) 19π/6; 7π/2; 23π/6

Решение.

Тождество при , даёт произведение косинусов . Уравнение равносильно . Значит или . Все решения: , , при целых n, k, m. На отрезке остаются .

Ответ:

№ 8 · Тип 13 · # 21334 · 2025 · ★★★☆☆ 8 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) π/2+πn, n∈Z; π/4+πk/2, k∈Z; б) -11π/4; -5π/2; -9π/4

Решение.

Используем тождество . При , произведение двух синусов равно . Уравнение сводится к . Следовательно, либо . Все корни: и при целых n, k. На остаются .

Ответ:

№ 9 · Тип 13 · # 21315 · 2025 · ★★★☆☆ 9 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) 2π+4πn, n∈Z; 2π/3+4πk, k∈Z; -2π/3+4πm, m∈Z; б) 2π; 10π/3; 14π/3

Решение.

Используем и . Получаем . При имеем , то есть или . Отсюда либо . На остаются .

Ответ:

№ 10 · Тип 13 · # 21296 · 2025 · ★★★☆☆ 10 / 10

а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ: а) π+2πn, n∈Z; π/3+4πk, k∈Z; 5π/3+4πm, m∈Z; б) -11π/3; -3π; -7π/3; -π

Решение.

а) Используем тождество при , а также . Получаем .

. Отсюда три серии решений: ; ; .

б) Отбирая корни на , получаем .

Ответ: