В правильной пирамиде SABC на стороне BC основания ABC и боковом ребре AS отметили соответственно точки P и K такие, что BP : PC = AK : KS = 2 : 1. Через точки P и K параллельно прямой AC провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разделила пирамиду SABC.
Пусть плоскость пересекает AB в E и CS в N. Из её параллельности AC следует , причём и . По симметрии правильной пирамиды относительно плоскости через B,S и середину AC боковые стороны секущей трапеции равны: . Значит трапеция EPNK равнобедренная.
В аффинных координатах плоскость имеет уравнение . Объём части, содержащей A и C, составляет объёма пирамиды, а второй части — . Искомое отношение .
Пусть плоскость пересекает AB в E и CS в N. Из её параллельности AC следует , причём и . По симметрии правильной пирамиды относительно плоскости через B,S и середину AC боковые стороны секущей трапеции равны: . Значит трапеция EPNK равнобедренная.
В аффинных координатах плоскость имеет уравнение . Объём части, содержащей A и C, составляет объёма пирамиды, а второй части — . Искомое отношение .
В правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно прямой AB провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость α разделила пирамиду SABC на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка A, если AB = 6, AS = .
Обозначим пересечения секущей плоскости с BC и SA через F и M. Из параллельности AB следуют , , . При этом и . В правильной пирамиде равные соответствующие отрезки дают , значит трапеция EFMN равнобедренная.
Площадь равностороннего основания при стороне 6 равна . Высота пирамиды , весь объём . В аффинных координатах сторона плоскости с вершиной A задаётся , , . Отношение объёмов равно . Следовательно, искомый объём .
Обозначим пересечения секущей плоскости с BC и SA через F и M. Из параллельности AB следуют , , . При этом и . В правильной пирамиде равные соответствующие отрезки дают , значит трапеция EFMN равнобедренная.
Площадь равностороннего основания при стороне 6 равна . Высота пирамиды , весь объём . В аффинных координатах сторона плоскости с вершиной A задаётся , , . Отношение объёмов равно . Следовательно, искомый объём .
В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна , а боковое ребро AA₁ равно . На рёбрах AA₁, BB₁ и A₁C₁ соответственно отмечены точки N, K и P так, что AN : NA₁ = B₁K : KB = C₁P : PA₁ = 2 : 1. Плоскость KNP пересекает ребро B₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра B₁C₁.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.
Разделим все координаты на и выберем при высоте призмы 3. Тогда . Уравнение плоскости KNP: . Точка ребра B₁C₁ имеет вид ; подстановка даёт — F середина ребра.
Плоскость CNK: . Для расстояние в масштабированных координатах равно . Возвращая множитель масштаба , получаем 2,5.
Разделим все координаты на и выберем при высоте призмы 3. Тогда . Уравнение плоскости KNP: . Точка ребра B₁C₁ имеет вид ; подстановка даёт — F середина ребра.
Плоскость CNK: . Для расстояние в масштабированных координатах равно . Возвращая множитель масштаба , получаем 2,5.
В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна 4, а боковое ребро AA₁ равно 6. На рёбрах BB₁, CC₁ и A₁B₁ соответственно отмечены точки N, K и P так, что CK : KC₁ = B₁N : NB = B₁P : PA₁ = 1 : 2. Плоскость KNP пересекает ребро A₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра A₁C₁.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости ANK.
Возьмём и верхние вершины при . Из отношений получаем . Плоскость KNP имеет уравнение . Точки ребра A₁C₁ имеют вид . Подстановка в уравнение плоскости даёт ; F — середина ребра.
Следовательно, . Плоскость ANK задаётся уравнением . Расстояние от F до неё равно .
Возьмём и верхние вершины при . Из отношений получаем . Плоскость KNP имеет уравнение . Точки ребра A₁C₁ имеют вид . Подстановка в уравнение плоскости даёт ; F — середина ребра.
Следовательно, . Плоскость ANK задаётся уравнением . Расстояние от F до неё равно .
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 3 : 1, CF : FS = 3 : 13.
а) Докажите, что прямая AS параллельна плоскости FNK.
б) Найдите объём пирамиды SFNK, если AB = AS = 8.
Положим . По данным отношениям . Точка — проекция F на основание — лежит на прямой KN, поскольку равна . Плоскость FNK поэтому вертикальна и содержит направление AS; сама прямая AS не лежит в этой плоскости, так что .
Объём пирамиды SFNK равен .
Положим . По данным отношениям . Точка — проекция F на основание — лежит на прямой KN, поскольку равна . Плоскость FNK поэтому вертикальна и содержит направление AS; сама прямая AS не лежит в этой плоскости, так что .
Объём пирамиды SFNK равен .
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 1 : 2, CF : FS = 2 : 7.
а) Докажите, что плоскости ABC и FNK перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB = AS = 6.
Возьмём координаты . По данным отношениям . Проекция F на основание имеет координаты и лежит на прямой KN с уравнением . Следовательно, FNK содержит вертикальную прямую и перпендикулярна горизонтальной плоскости ABC.
Объём пирамиды AFNK равен .
Возьмём координаты . По данным отношениям . Проекция F на основание имеет координаты и лежит на прямой KN с уравнением . Следовательно, FNK содержит вертикальную прямую и перпендикулярна горизонтальной плоскости ABC.
Объём пирамиды AFNK равен .
В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 4 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями AFF₁ и α, если AB = 4, AA₁ = 15.
Пусть сторона правильного шестиугольника равна . Возьмём ; высота призмы равна 15. Тогда . Для плоскости α направляющие векторы и . Подстановка точки показывает, что ; это середина B₁C₁.
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к плоскости AFF₁ пропорциональна . При модуль скалярного произведения равен 120, произведение длин нормалей равно . Поэтому косинус искомого угла равен и угол равен 30°.
Пусть сторона правильного шестиугольника равна . Возьмём ; высота призмы равна 15. Тогда . Для плоскости α направляющие векторы и . Подстановка точки показывает, что ; это середина B₁C₁.
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к плоскости AFF₁ пропорциональна . При модуль скалярного произведения равен 120, произведение длин нормалей равно . Поэтому косинус искомого угла равен и угол равен 30°.
В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 3 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в такой точке N, что B₁N : NC₁ = 1 : 2.
б) Найдите угол между плоскостями EFF₁ и α, если AB = √10, AA₁ = 4.
Поместим основание в плоскость z=0 и обозначим сторону правильного шестиугольника через . Возьмём ; высота . Тогда , , а направляющий вектор DF₁ равен . Второй вектор плоскости α: . На прямой B₁C₁ точка плоскости имеет параметры . Это треть от B₁ к C₁, поэтому .
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к грани EFF₁ направлена по оси y. При отношение модуля y-компоненты к длине нормали равно . Косинус угла между плоскостями равен , значит угол 60°.
Поместим основание в плоскость z=0 и обозначим сторону правильного шестиугольника через . Возьмём ; высота . Тогда , , а направляющий вектор DF₁ равен . Второй вектор плоскости α: . На прямой B₁C₁ точка плоскости имеет параметры . Это треть от B₁ к C₁, поэтому .
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к грани EFF₁ направлена по оси y. При отношение модуля y-компоненты к длине нормали равно . Косинус угла между плоскостями равен , значит угол 60°.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O. Прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём CF = 2FB.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : AS.
Аффинный разбор. Возьмём A за начало и обозначим радиус-векторы B, C, S через . Тогда , , а из получаем . Поскольку O лежит на прямой SC и прямая OE проходит через F, сравнение коэффициентов даёт . Прямая OD пересекает AS в , следовательно . Кроме того, . Параметры и лежат между 0 и 1, значит именно отрезки DE и PF пересекаются.
Аффинный разбор. Возьмём A за начало и обозначим радиус-векторы B, C, S через . Тогда , , а из получаем . Поскольку O лежит на прямой SC и прямая OE проходит через F, сравнение коэффициентов даёт . Прямая OD пересекает AS в , следовательно . Кроме того, . Параметры и лежат между 0 и 1, значит именно отрезки DE и PF пересекаются.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 2. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O. Прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём BF = FC.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : PS.
Введём аффинные координаты с началом в : , , . Тогда , .
Так как — середина и лежит на , сравнение коэффициентов в представлении точки прямой даёт . Пересечение с имеет координату ; следовательно, .
На отрезке при параметре и на отрезке при параметре получается одна и та же точка с коэффициентами . Значит, и пересекаются.
Ответ: .
Введём аффинные координаты с началом в : , , . Тогда , .
Так как — середина и лежит на , сравнение коэффициентов в представлении точки прямой даёт . Пересечение с имеет координату ; следовательно, .
На отрезке при параметре и на отрезке при параметре получается одна и та же точка с коэффициентами . Значит, и пересекаются.
Ответ: .