В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей;
— выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
— к маю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В 2029–2031 годах каждый платёж равен процентам тыс. рублей. Пусть общий платёж в каждом из 2032–2034 годов равен . Для погашения оставшихся 1324 тыс. рублей за три равных платежа при росте долга в раза ежегодно нужно тыс. рублей. Всего тыс. рублей, то есть 1 994 400 рублей.
В 2029–2031 годах каждый платёж равен процентам тыс. рублей. Пусть общий платёж в каждом из 2032–2034 годов равен . Для погашения оставшихся 1324 тыс. рублей за три равных платежа при росте долга в раза ежегодно нужно тыс. рублей. Всего тыс. рублей, то есть 1 994 400 рублей.
В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей;
— выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны;
— к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
В 2030 и 2031 годах выплачиваются только проценты: каждый раз тыс. рублей. Пусть одинаковый платёж 2032–2034 годов равен тыс. рублей. Если после 2032 года остаток , после 2033 года , то , , . Отсюда тыс. рублей. Общая сумма выплат тыс. рублей.
В 2030 и 2031 годах выплачиваются только проценты: каждый раз тыс. рублей. Пусть одинаковый платёж 2032–2034 годов равен тыс. рублей. Если после 2032 года остаток , после 2033 года , то , , . Отсюда тыс. рублей. Общая сумма выплат тыс. рублей.
В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года;
— в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей.
Найдите , если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.
Считаем суммы в тысячах рублей. Пусть — остаток долга перед четвёртым начислением процентов, . Последний платёж даёт . В первые три года основной долг уменьшался на одинаковую величину, поэтому сумма остатков перед четырьмя начислениями равна . Всего процентов уплачено , то есть . Из этого ; совместно с первым уравнением положительное решение . Значит .
Считаем суммы в тысячах рублей. Пусть — остаток долга перед четвёртым начислением процентов, . Последний платёж даёт . В первые три года основной долг уменьшался на одинаковую величину, поэтому сумма остатков перед четырьмя начислениями равна . Всего процентов уплачено , то есть . Из этого ; совместно с первым уравнением положительное решение . Значит .
В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей.
Найдите , если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.
Работаем в тысячах рублей. Пусть ежегодное уменьшение основного долга в первые три года равно , а остаток перед последним начислением процентов — . Положим процентную ставку долей . Последний платёж даёт . Общая сумма процентов равна . Она начислялась на остатки, сумма которых . Поэтому . Из двух уравнений получаем и . Положительный корень , следовательно .
Работаем в тысячах рублей. Пусть ежегодное уменьшение основного долга в первые три года равно , а остаток перед последним начислением процентов — . Положим процентную ставку долей . Последний платёж даёт . Общая сумма процентов равна . Она начислялась на остатки, сумма которых . Поэтому . Из двух уравнений получаем и . Положительный корень , следовательно .
Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
| Вариант 1 | — Каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
|---|---|
| Вариант 2 | — 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2029 года, долг возрастает на 6 % по сравнению с концом предыдущего квартала; — во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; — на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; — к 1 июня 2031 года кредит должен быть полностью погашен. |
По варианту 1 равные платежи P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и всего выплачивается 11,52 млн рублей.
По варианту 2 долг уменьшается за квартал на млн рублей. Сумма остатков перед начислением процентов равна млн. Проценты составляют млн, всего — 11,176 млн. Второй вариант дешевле на млн, то есть 344 000 рублей.
По варианту 1 равные платежи P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и всего выплачивается 11,52 млн рублей.
По варианту 2 долг уменьшается за квартал на млн рублей. Сумма остатков перед начислением процентов равна млн. Проценты составляют млн, всего — 11,176 млн. Второй вариант дешевле на млн, то есть 344 000 рублей.
Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
| Вариант 1 | — Каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами. |
|---|---|
| Вариант 2 | — 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года, долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего квартала; — во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; — на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; — к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен. |
По варианту 1 два равных платежа P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и общая выплата млн рублей.
По варианту 2 основной долг уменьшается на млн за квартал. Проценты начисляются на остатки млн, сумма которых млн. Все проценты составят млн, общая выплата — млн. Вариант 2 выгоднее на млн, или 146 000 рублей.
По варианту 1 два равных платежа P (в млн рублей) удовлетворяют . Отсюда и общая выплата млн рублей.
По варианту 2 основной долг уменьшается на млн за квартал. Проценты начисляются на остатки млн, сумма которых млн. Все проценты составят млн, общая выплата — млн. Вариант 2 выгоднее на млн, или 146 000 рублей.
В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22 % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года;
— к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?
Основной долг каждый год уменьшается на рублей. Перед начислением процентов в январе 2033 года долг составляет рублей. Выплата 2033 года: рублей. Последняя выплата: рублей. Разность рублей.
Основной долг каждый год уменьшается на рублей. Перед начислением процентов в январе 2033 года долг составляет рублей. Выплата 2033 года: рублей. Последняя выплата: рублей. Разность рублей.
В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17 % по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года;
— к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?
Ежегодная равная часть основного долга равна рублей. В 2030 году перед начислением процентов остаётся рублей, поэтому платёж . Перед последним начислением в 2035 году остаётся рублей; платёж . Разность рублей.
Ежегодная равная часть основного долга равна рублей. В 2030 году перед начислением процентов остаётся рублей, поэтому платёж . Перед последним начислением в 2035 году остаётся рублей; платёж . Разность рублей.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 324 000 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Пусть исходный долг , платёж , коэффициент начисления . Приведённая стоимость четырёх равных платежей: . При сумма в скобках равна , поэтому рублей.
Пусть исходный долг , платёж , коэффициент начисления . Приведённая стоимость четырёх равных платежей: . При сумма в скобках равна , поэтому рублей.
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить 312 500 рублей.
Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?
Пусть сумма кредита равна , коэффициент ежегодного увеличения долга , а платёж рублей. После четырёх начислений и четырёх платежей долг равен нулю:
.
Следовательно, рублей.
Пусть сумма кредита равна , коэффициент ежегодного увеличения долга , а платёж рублей. После четырёх начислений и четырёх платежей долг равен нулю:
.
Следовательно, рублей.