В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если , то .
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Обозначим сторону квадрата , и . Тогда площадь четырёхугольника EBFP равна . Отсекается треугольник у D: если бы он был у B, равенство его площади площади EBFP привело бы к и вырождению четырёхугольника. У D площадь треугольника равна , следовательно . При имеем и .
Из следует , а . Поскольку и , их отношение .
Обозначим сторону квадрата , и . Тогда площадь четырёхугольника EBFP равна . Отсекается треугольник у D: если бы он был у B, равенство его площади площади EBFP привело бы к и вырождению четырёхугольника. У D площадь треугольника равна , следовательно . При имеем и .
Из следует , а . Поскольку и , их отношение .
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если , то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Пусть сторона квадрата , , а . Тогда при и . Так как EBFP — невырожденный четырёхугольник, отсечён треугольник у вершины D, а не у B: в последнем случае равенство площадей дало бы и точки E,P,F лежали бы на одной прямой. У D отсечён треугольник площади . По условию . Если то , то есть . Поэтому и .
Из получаем , а из имеем . Площадь , . Их отношение равно .
Пусть сторона квадрата , , а . Тогда при и . Так как EBFP — невырожденный четырёхугольник, отсечён треугольник у вершины D, а не у B: в последнем случае равенство площадей дало бы и точки E,P,F лежали бы на одной прямой. У D отсечён треугольник площади . По условию . Если то , то есть . Поэтому и .
Из получаем , а из имеем . Площадь , . Их отношение равно .
В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 24, ∠BAC = 60°.
Средняя линия NP параллельна AC и отстоит от неё на половину высоты треугольника. Вписанная окружность касается обеих параллельных прямых, расстояние между ними равно , где — её радиус. Значит . Из равенств площади следует , поэтому периметр равен .
При периметре 24 имеем . Если , то . По теореме косинусов при : , откуда . Тогда .
Средняя линия NP параллельна AC и отстоит от неё на половину высоты треугольника. Вписанная окружность касается обеих параллельных прямых, расстояние между ними равно , где — её радиус. Значит . Из равенств площади следует , поэтому периметр равен .
При периметре 24 имеем . Если , то . По теореме косинусов при : , откуда . Тогда .
В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 28, ∠BAC = 120°.
Отрезок NP — средняя линия треугольника, параллельная AC; расстояние между NP и AC равно половине высоты из B. Вписанная окружность касается и AC, и NP, поэтому это расстояние равно ; значит . Площадь треугольника одновременно равна и при полупериметре s. Отсюда и периметр равен .
При периметре 28 получаем . Пусть . По теореме косинусов при угле A=120°: , откуда . Площадь .
Отрезок NP — средняя линия треугольника, параллельная AC; расстояние между NP и AC равно половине высоты из B. Вписанная окружность касается и AC, и NP, поэтому это расстояние равно ; значит . Площадь треугольника одновременно равна и при полупериметре s. Отсюда и периметр равен .
При периметре 28 получаем . Пусть . По теореме косинусов при угле A=120°: , откуда . Площадь .
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что .
б) Найдите , если .
Пусть , а — единичные векторы вдоль AB и AD. Биссектриса AK даёт ; её продолжение пересекает DC в . Так как AC делит угол KAD пополам, она образует с AB угол . Из разложения следует . Поэтому . Но и ; значит .
При имеем и . Тогда и . Следовательно, .
Пусть , а — единичные векторы вдоль AB и AD. Биссектриса AK даёт ; её продолжение пересекает DC в . Так как AC делит угол KAD пополам, она образует с AB угол . Из разложения следует . Поэтому . Но и ; значит .
При имеем и . Тогда и . Следовательно, .
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что .
б) Найдите , если .
Пусть . Введём единичные векторы вдоль AB и вдоль AD. Поскольку AK — биссектриса, ; аналогично . Вектор образует с AB угол . Из формулы разложения по двум направлениям . Поэтому . Между тем и . Отсюда .
Если то и . Тогда , а . Следовательно, .
Пусть . Введём единичные векторы вдоль AB и вдоль AD. Поскольку AK — биссектриса, ; аналогично . Вектор образует с AB угол . Из формулы разложения по двум направлениям . Поэтому . Между тем и . Отсюда .
Если то и . Тогда , а . Следовательно, .
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка E — середина стороны BC. Через точку B перпендикулярно прямой AB и через точку E перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке K.
а) Докажите, что AK = KD.
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки K до прямой AD равно длине отрезка EC и ∠ADC = 110°.
Расположим . Тогда , а из следует . Условие даёт . Поэтому и .
В равнобедренном треугольнике AKD расстояние от K до основания AD равно половине основания, так что треугольник прямоугольный равнобедренный. Для данного расположения точек отсюда и . Значит направлен под углом 315° к AB. Поскольку луч DA направлен под углом 250° к AB. Искомый угол .
Расположим . Тогда , а из следует . Условие даёт . Поэтому и .
В равнобедренном треугольнике AKD расстояние от K до основания AD равно половине основания, так что треугольник прямоугольный равнобедренный. Для данного расположения точек отсюда и . Значит направлен под углом 315° к AB. Поскольку луч DA направлен под углом 250° к AB. Искомый угол .
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка E — середина стороны BC. Через точку B перпендикулярно прямой AB и через точку E перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке K.
а) Докажите, что AK = KD.
б) Найдите угол BAD, если расстояние от точки K до прямой AD равно длине отрезка EC и ∠CED = 58°.
Положим . Тогда . Так как , . Условие даёт . Подстановка в формулы расстояний показывает ; значит .
Пусть . По условию расстояние от K до AD равно . В равнобедренном треугольнике AKD высота к основанию AD равна половине основания, следовательно он прямоугольный равнобедренный. Для расположения точек на чертеже ; поскольку , . Тогда направлен под углом 135° к AB, а . Поэтому и .
Положим . Тогда . Так как , . Условие даёт . Подстановка в формулы расстояний показывает ; значит .
Пусть . По условию расстояние от K до AD равно . В равнобедренном треугольнике AKD высота к основанию AD равна половине основания, следовательно он прямоугольный равнобедренный. Для расположения точек на чертеже ; поскольку , . Тогда направлен под углом 135° к AB, а . Поэтому и .
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP = 6 и PK = 8.
а) Из равенства касательных, проведённых из A, следует . Так как в ромбе , треугольники AFP и ABD подобны, поэтому .
б) Пусть сторона ромба равна , угол A равен . Обозначим , . Из координат точек касания: , . Значит , откуда , . Тогда и площадь .
а) Из равенства касательных, проведённых из A, следует . Так как в ромбе , треугольники AFP и ABD подобны, поэтому .
б) Пусть сторона ромба равна , угол A равен . Обозначим , . Из координат точек касания: , . Значит , откуда , . Тогда и площадь .
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP = 12 и PK = 5.
а) Обозначим единичные векторы вдоль сторон и через и , а сторону ромба через . Из равенства касательных, проведённых из точки , имеем . Поэтому , а . Следовательно, .
б) Пусть угол . Тогда , а . Для касательных к вписанной окружности и . Отсюда , значит .
Диагональ .
а) Обозначим единичные векторы вдоль сторон и через и , а сторону ромба через . Из равенства касательных, проведённых из точки , имеем . Поэтому , а . Следовательно, .
б) Пусть угол . Тогда , а . Для касательных к вписанной окружности и . Отсюда , значит .
Диагональ .