Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.
Первое уравнение равносильно с дополнительным условием . Из второго уравнения после подстановки получаются четыре точки: и . Последняя пара допустима при , первая — при . Ровно два решения есть при .
Первое уравнение равносильно с дополнительным условием . Из второго уравнения после подстановки получаются четыре точки: и . Последняя пара допустима при , первая — при . Ровно два решения есть при .
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.
Первое уравнение после возведения в квадрат даёт при условии , то есть . Подставляя во второе уравнение, получаем . При допустимо ; при имеем . Каждое такое ненулевое x даёт два различных y. Первая пара допустима при , вторая — при . Ровно две точки получаются при .
Первое уравнение после возведения в квадрат даёт при условии , то есть . Подставляя во второе уравнение, получаем . При допустимо ; при имеем . Каждое такое ненулевое x даёт два различных y. Первая пара допустима при , вторая — при . Ровно две точки получаются при .
Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.
Если первое неравенство не имеет решений. При его диск вырождается в точку , но она не удовлетворяет . При диск имеет центр и радиус . Максимум на нём равен . Пересечение с полуплоскостью состоит ровно из одной точки, когда прямая касается диска: . Для равенство невозможно; для имеем , откуда с учётом знака правой части . Напечатанное в таблице ответов значение 5 не удовлетворяет второму неравенству и потому исключено.
Если первое неравенство не имеет решений. При его диск вырождается в точку , но она не удовлетворяет . При диск имеет центр и радиус . Максимум на нём равен . Пересечение с полуплоскостью состоит ровно из одной точки, когда прямая касается диска: . Для равенство невозможно; для имеем , откуда с учётом знака правой части . Напечатанное в таблице ответов значение 5 не удовлетворяет второму неравенству и потому исключено.
Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение.
При первое неравенство не имеет решений. При его круг вырождается в точку , удовлетворяющую второму неравенству, поэтому решение единственно. При первое неравенство задаёт диск с центром и радиусом . Второе задаёт полуплоскость . Их пересечение — единственная точка ровно когда ограничивающая прямая касается диска снаружи, то есть . При это равносильно ; после учёта неотрицательности правой части остаётся . При получаем и то же значение. Ответ: −3 и 1,5.
При первое неравенство не имеет решений. При его круг вырождается в точку , удовлетворяющую второму неравенству, поэтому решение единственно. При первое неравенство задаёт диск с центром и радиусом . Второе задаёт полуплоскость . Их пересечение — единственная точка ровно когда ограничивающая прямая касается диска снаружи, то есть . При это равносильно ; после учёта неотрицательности правой части остаётся . При получаем и то же значение. Ответ: −3 и 1,5.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.
После выделения квадратов первое уравнение превращается в . Это окружность с центром и радиусом . Второе уравнение задаёт четыре луча: из точки вправо по прямым и ; из точки влево по прямым и . Для правых лучей два характерных радиуса: расстояние от O до прямой равно , а до общей начальной точки — . Для левых лучей ближайшая к O точка — их общая вершина на расстоянии 12,5. Подсчёт пересечений даёт четыре различных решения ровно при или . Подстановка даёт четыре промежутка в ответе. Граничные значения исключены из-за касания либо общей вершины двух лучей.
После выделения квадратов первое уравнение превращается в . Это окружность с центром и радиусом . Второе уравнение задаёт четыре луча: из точки вправо по прямым и ; из точки влево по прямым и . Для правых лучей два характерных радиуса: расстояние от O до прямой равно , а до общей начальной точки — . Для левых лучей ближайшая к O точка — их общая вершина на расстоянии 12,5. Подсчёт пересечений даёт четыре различных решения ровно при или . Подстановка даёт четыре промежутка в ответе. Граничные значения исключены из-за касания либо общей вершины двух лучей.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.
Первое уравнение после выделения квадратов задаёт окружность с центром и радиусом . Второе уравнение — четыре луча: и из точки влево, а также и из точки вправо. Для левых лучей расстояния от O до несущих прямых равны и ; расстояние до их общей начальной точки равно . Для правых лучей наименьшее расстояние до O равно расстоянию до точки — . Соответствующие пороги для равны . Подсчёт пересечений окружности с четырьмя лучами даёт ровно два при или . На порогах возникает касание либо совпадение в общей вершине, и число решений уже не равно двум. Записываем симметричные по знаку a интервалы.
Первое уравнение после выделения квадратов задаёт окружность с центром и радиусом . Второе уравнение — четыре луча: и из точки влево, а также и из точки вправо. Для левых лучей расстояния от O до несущих прямых равны и ; расстояние до их общей начальной точки равно . Для правых лучей наименьшее расстояние до O равно расстоянию до точки — . Соответствующие пороги для равны . Подсчёт пересечений окружности с четырьмя лучами даёт ровно два при или . На порогах возникает касание либо совпадение в общей вершине, и число решений уже не равно двум. Записываем симметричные по знаку a интервалы.
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.
Положим . Тогда и . Первое уравнение становится . На функция строго убывает от 5 до −7. При функция строго возрастает от −7 до бесконечности. Две различные точки пересечения горизонтали с графиком существуют ровно при .
Положим . Тогда и . Первое уравнение становится . На функция строго убывает от 5 до −7. При функция строго возрастает от −7 до бесконечности. Две различные точки пересечения горизонтали с графиком существуют ровно при .
Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
Из второго уравнения , и . Первое становится . При получаем — строго возрастающую ветвь со значениями от −3 до 3. При получаем — строго убывающую ветвь со значениями от 3 до минус бесконечности. Горизонтальная прямая уровня a пересекает обе ветви в различных точках тогда и только тогда, когда . При ветви сходятся в одной точке .
Из второго уравнения , и . Первое становится . При получаем — строго возрастающую ветвь со значениями от −3 до 3. При получаем — строго убывающую ветвь со значениями от 3 до минус бесконечности. Горизонтальная прямая уровня a пересекает обе ветви в различных точках тогда и только тогда, когда . При ветви сходятся в одной точке .
Найдите все значения , при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями и , будет больше 6, но не больше 12.
На графике синяя линия — прямая, красная — график функции с модулем. При точки пересечения имеют абсциссы и ; высота между графиками при x=0 равна . Площадь равна , поэтому даёт . При точки пересечения и ; высота равна , площадь . Из получаем . При замкнутой области нет.
На графике синяя линия — прямая, красная — график функции с модулем. При точки пересечения имеют абсциссы и ; высота между графиками при x=0 равна . Площадь равна , поэтому даёт . При точки пересечения и ; высота равна , площадь . Из получаем . При замкнутой области нет.
Найдите все значения , при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями и , будет меньше 7, но не меньше 3.
При графики пересекаются при и . Ограниченная фигура — треугольник с основанием и высотой , поэтому . Условие даёт .
При точки пересечения имеют абсциссы и ; основание треугольника равно , высота — . Поэтому . Из получаем .
При ограниченной фигуры нет. Ответ: .
При графики пересекаются при и . Ограниченная фигура — треугольник с основанием и высотой , поэтому . Условие даёт .
При точки пересечения имеют абсциссы и ; основание треугольника равно , высота — . Поэтому . Из получаем .
При ограниченной фигуры нет. Ответ: .