Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 13 больше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
Однозначное число заменяется на , а двузначное — на .
а) Исходный набор {1, 11, 17} имеет сумму 29; полученный {11, 1, 4} — сумму 16. Разность равна 13, ответ «да».
б) Набор {33, 7} имеет сумму 40, после преобразования {3, 77} — сумму 80. Первая сумма вдвое меньше, ответ «да».
в) Сопоставим однозначные и двузначные числа попарно. Для любой пары справедливо так как это равносильно : слева не более 513, справа не менее 513. Поэтому отношение сумм не больше . Равенство достигается на наборе {1, 91}: суммы равны 92 и 16.
Однозначное число заменяется на , а двузначное — на .
а) Исходный набор {1, 11, 17} имеет сумму 29; полученный {11, 1, 4} — сумму 16. Разность равна 13, ответ «да».
б) Набор {33, 7} имеет сумму 40, после преобразования {3, 77} — сумму 80. Первая сумма вдвое меньше, ответ «да».
в) Сопоставим однозначные и двузначные числа попарно. Для любой пары справедливо так как это равносильно : слева не более 513, справа не менее 513. Поэтому отношение сумм не больше . Равенство достигается на наборе {1, 91}: суммы равны 92 и 16.
Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше 100 и записано с помощью цифр 1, 3, 5, 7 или 9. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на 6 меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.
Однозначное число превращается в , а двузначное — в .
а) Например, исходный набор {5, 15, 37} имеет сумму 57, а полученный {55, 3, 5} — сумму 63. Разность равна 6, ответ «да».
б) Набор {3, 71} имеет сумму 74; после преобразования получаем {33, 4} с суммой 37. Первая сумма вдвое больше, ответ «да».
в) Однозначных и двузначных чисел поровну, поэтому произвольно сопоставим их попарно. Для каждой пары и выполняется , поскольку это равносильно : слева не более 108, справа не менее 108. Суммирование даёт отношение не больше 5. Равенство достигается на исходном наборе {9, 11}: сумма 20 превращается в 100. Максимум 5.
Однозначное число превращается в , а двузначное — в .
а) Например, исходный набор {5, 15, 37} имеет сумму 57, а полученный {55, 3, 5} — сумму 63. Разность равна 6, ответ «да».
б) Набор {3, 71} имеет сумму 74; после преобразования получаем {33, 4} с суммой 37. Первая сумма вдвое больше, ответ «да».
в) Однозначных и двузначных чисел поровну, поэтому произвольно сопоставим их попарно. Для каждой пары и выполняется , поскольку это равносильно : слева не более 108, справа не менее 108. Суммирование даёт отношение не больше 5. Равенство достигается на исходном наборе {9, 11}: сумма 20 превращается в 100. Максимум 5.
Есть 4 камня, каждый массой 100 тонн, 5 камней, каждый массой 25 тонн, и 6 камней, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 50 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 50 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами так, что . Найдите наименьшее такое число , что и .
Общая масса камней тонн.
а) При равенстве трёх групп каждая должна иметь массу 183 тонны. Так как четырёх 100-тонных камней больше, чем групп, хотя бы в одной группе их было бы два, а её масса уже не меньше 200 тонн. Равенство невозможно.
б) Требуемые массы равны 133, 183 и 233 тонны для второй, первой и третьей групп соответственно. Раскладка: 133 = 100+25+2·4; 183 = 100+3·25+2·4; 233 = 2·100+25+2·4. Все камни использованы, ответ «да».
в) Если обе соседние разности не превосходят 16, то при общей массе 549 наибольшая группа имеет массу не более тонн. Но из четырёх 100-тонных камней хотя бы два окажутся в одной группе, масса которой не меньше 200 тонн. Поэтому . Раскладка 200 = 2·100, 183 = 100+3·25+2·4, 166 = 100+2·25+4·4 использует все камни и имеет соседние разности 17. Значит минимум равен 17.
Общая масса камней тонн.
а) При равенстве трёх групп каждая должна иметь массу 183 тонны. Так как четырёх 100-тонных камней больше, чем групп, хотя бы в одной группе их было бы два, а её масса уже не меньше 200 тонн. Равенство невозможно.
б) Требуемые массы равны 133, 183 и 233 тонны для второй, первой и третьей групп соответственно. Раскладка: 133 = 100+25+2·4; 183 = 100+3·25+2·4; 233 = 2·100+25+2·4. Все камни использованы, ответ «да».
в) Если обе соседние разности не превосходят 16, то при общей массе 549 наибольшая группа имеет массу не более тонн. Но из четырёх 100-тонных камней хотя бы два окажутся в одной группе, масса которой не меньше 200 тонн. Поэтому . Раскладка 200 = 2·100, 183 = 100+3·25+2·4, 166 = 100+2·25+4·4 использует все камни и имеет соседние разности 17. Значит минимум равен 17.
Есть 2 камня, каждый массой 100 тонн, 6 камней, каждый массой 20 тонн, и 4 камня, каждый массой 4 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на 12 тонн больше суммарной массы второй группы, но на 12 тонн меньше суммарной массы третьей группы?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами так, что . Найдите наименьшее такое число , что и .
Общая масса камней тонн.
а) При массах групп 112, 100 и 124 тонны первая на 12 тонн тяжелее второй и на 12 тонн легче третьей. Это достигается раскладкой: первая группа — пять 20-тонных и три 4-тонных камня; вторая — один 100-тонный камень; третья — один 100-тонный, один 20-тонный и один 4-тонный. Ответ «да».
б) При равных массах каждая группа должна весить 112 тонн. Два 100-тонных камня обязаны оказаться в разных группах; каждому для 112 тонн нужны ещё три 4-тонных камня. Всего таких камней только четыре, поэтому ответ «нет».
в) Все массы кратны 4. Если разности соседних групп могут быть только 0 или 4. При общей массе 336 возможны лишь тройки масс или . Первая невозможна по пункту б). Во второй два 100-тонных камня должны быть в разных группах; уже для наименьших возможных пар масс 108 и 112 потребовалось бы четырёхтонных камней, а есть четыре. Значит . Раскладка масс существует: шесть 20-тонных; один 100-тонный и три 4-тонных; один 100-тонный и один 4-тонный. Здесь обе разности равны 8, значит минимум 8.
Общая масса камней тонн.
а) При массах групп 112, 100 и 124 тонны первая на 12 тонн тяжелее второй и на 12 тонн легче третьей. Это достигается раскладкой: первая группа — пять 20-тонных и три 4-тонных камня; вторая — один 100-тонный камень; третья — один 100-тонный, один 20-тонный и один 4-тонный. Ответ «да».
б) При равных массах каждая группа должна весить 112 тонн. Два 100-тонных камня обязаны оказаться в разных группах; каждому для 112 тонн нужны ещё три 4-тонных камня. Всего таких камней только четыре, поэтому ответ «нет».
в) Все массы кратны 4. Если разности соседних групп могут быть только 0 или 4. При общей массе 336 возможны лишь тройки масс или . Первая невозможна по пункту б). Во второй два 100-тонных камня должны быть в разных группах; уже для наименьших возможных пар масс 108 и 112 потребовалось бы четырёхтонных камней, а есть четыре. Значит . Раскладка масс существует: шесть 20-тонных; один 100-тонный и три 4-тонных; один 100-тонный и один 4-тонный. Здесь обе разности равны 8, значит минимум 8.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает первых, вторых и третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно , а у спортсмена-2 — , то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
— ,
— и ,
— , и .
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше . Найдите наибольшее возможное значение .
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.
Всего за год набирается очков.
а) Пример по этапам в формате (первое, второе, третье место) для спортсменов 1–10: . Спортсмен 1 не был первым ни разу, но восемь раз был вторым и набрал 32 очка — это единственный наивысший результат. Спортсмен 5 набрал 10 очков — единственный наименьший результат. По прошлогоднему лексикографическому правилу у спортсмена 1 единственный наименьший рейтинг, поскольку все остальные хотя бы раз были первыми. Значит ответ «да».
б) Если 10 различных целых сумм очков упорядочены и их попарные расстояния не меньше p, их сумма не меньше . Поскольку сумма равна 150, . Значение 3 достигается: за 10 этапов распределим места так: . Очки спортсменов 1–10 будут ; все расстояния не меньше 3.
в) Пусть пять меньших результатов дают в сумме B. Тогда разность средних верхней и нижней пятёрок равна . Если пятый по возрастанию результат не меньше 15, а остальные пять различных результатов — не меньше 16, 17, 18, 19, 20. Их сумма не меньше 90; общая сумма оказалась бы не меньше 151, что невозможно. Значит и разность средних не меньше 6. Равенство достижимо: этапы дают результаты . У нижней пятёрки сумма 60, а разность средних равна 6.
Всего за год набирается очков.
а) Пример по этапам в формате (первое, второе, третье место) для спортсменов 1–10: . Спортсмен 1 не был первым ни разу, но восемь раз был вторым и набрал 32 очка — это единственный наивысший результат. Спортсмен 5 набрал 10 очков — единственный наименьший результат. По прошлогоднему лексикографическому правилу у спортсмена 1 единственный наименьший рейтинг, поскольку все остальные хотя бы раз были первыми. Значит ответ «да».
б) Если 10 различных целых сумм очков упорядочены и их попарные расстояния не меньше p, их сумма не меньше . Поскольку сумма равна 150, . Значение 3 достигается: за 10 этапов распределим места так: . Очки спортсменов 1–10 будут ; все расстояния не меньше 3.
в) Пусть пять меньших результатов дают в сумме B. Тогда разность средних верхней и нижней пятёрок равна . Если пятый по возрастанию результат не меньше 15, а остальные пять различных результатов — не меньше 16, 17, 18, 19, 20. Их сумма не меньше 90; общая сумма оказалась бы не меньше 151, что невозможно. Значит и разность средних не меньше 6. Равенство достижимо: этапы дают результаты . У нижней пятёрки сумма 60, а разность средних равна 6.
Каждый год в соревнованиях, состоящих из 10 этапов, участвует 10 спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает первых, вторых и третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам 10 этапов каждому спортсмену присваивается очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-1 количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно , а у спортсмена-2 — , то рейтинг спортсмена-1 был выше рейтинга спортсмена-2 в следующих случаях:
— ,
— и ,
— , и .
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования (10 этапов) с участием 10 спортсменов, где каждому из них будут присваиваться очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения и такие, что . Найдите все пары , при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла .
Суммарно за 10 этапов набирают очков. Обозначим спортсменов числами 1–10. Один достижимый набор результатов по спортсменам 1–10: . Его можно получить за 10 этапов, назначив победителя, второго и третьего соответственно так: . Очки спортсменов по номерам: . Все различны и располагаются в том же порядке, что и тройки мест при лексикографическом сравнении. Поэтому а) да.
б) В этом примере две наименьшие суммы — 0 и 12, разность равна 12. Если разность была бы хотя бы 13, при наименьшем результате остальные девять различных результатов не меньше . Их общая сумма с m не меньше — противоречие. Значит максимум равен 12.
в) При новых коэффициентах суммарное число очков . Число спортсменов с ненулевым результатом может быть любым целым . Поэтому целое среднее получается ровно для делителей N из этого диапазона. Перебор возможных сумм показывает наибольшее количество таких делителей — шесть — только при или . При подходят пары ; при — .
Суммарно за 10 этапов набирают очков. Обозначим спортсменов числами 1–10. Один достижимый набор результатов по спортсменам 1–10: . Его можно получить за 10 этапов, назначив победителя, второго и третьего соответственно так: . Очки спортсменов по номерам: . Все различны и располагаются в том же порядке, что и тройки мест при лексикографическом сравнении. Поэтому а) да.
б) В этом примере две наименьшие суммы — 0 и 12, разность равна 12. Если разность была бы хотя бы 13, при наименьшем результате остальные девять различных результатов не меньше . Их общая сумма с m не меньше — противоречие. Значит максимум равен 12.
в) При новых коэффициентах суммарное число очков . Число спортсменов с ненулевым результатом может быть любым целым . Поэтому целое среднее получается ровно для делителей N из этого диапазона. Перебор возможных сумм показывает наибольшее количество таких делителей — шесть — только при или . При подходят пары ; при — .
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на k карточках есть только синяя и зелёная отметки, на k карточках — только синяя и красная отметки, на k карточках только красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось 37. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
Обозначим через S₁₂, S₁₅, S₂₀ классы чисел, кратных соответственно 12, 15, 20, но не 60, а через T — кратные 60. Первые три класса имеют ровно две отметки; T имеет три.
а) Среди чисел меньше 200 кратных 12 — 16, 15 — 13, 20 — 9, а кратных 60 — 3. По формуле включений и исключений допустимых чисел . Можно взять все 32 и дополнить набор числами побольше.
б) Пусть в каждом из трёх двухцветных классов по k чисел, а трёхцветных — t. Тогда . Если то и 19-е число в S₂₀ равно 560, поэтому максимум не меньше 560. Если то девятое кратное 60 равно 540. При первые 18 чисел каждого двухцветного класса и первые шесть чисел T имеют максимум 520. Следовательно, минимум 520.
в) Синяя отметка при ровно двух отметках означает принадлежность S₁₂ или S₂₀. До 371 включительно таких чисел 36, а остальные допустимые числа можно дополнить лишь до 60 карточек; 37 синесодержащих двухцветных чисел здесь невозможны. Число 372 — 37-е в объединении S₁₂ и S₂₀; кроме них до 372 есть как минимум 23 числа из S₁₅ и T. Поэтому минимум максимума 372.
Обозначим через S₁₂, S₁₅, S₂₀ классы чисел, кратных соответственно 12, 15, 20, но не 60, а через T — кратные 60. Первые три класса имеют ровно две отметки; T имеет три.
а) Среди чисел меньше 200 кратных 12 — 16, 15 — 13, 20 — 9, а кратных 60 — 3. По формуле включений и исключений допустимых чисел . Можно взять все 32 и дополнить набор числами побольше.
б) Пусть в каждом из трёх двухцветных классов по k чисел, а трёхцветных — t. Тогда . Если то и 19-е число в S₂₀ равно 560, поэтому максимум не меньше 560. Если то девятое кратное 60 равно 540. При первые 18 чисел каждого двухцветного класса и первые шесть чисел T имеют максимум 520. Следовательно, минимум 520.
в) Синяя отметка при ровно двух отметках означает принадлежность S₁₂ или S₂₀. До 371 включительно таких чисел 36, а остальные допустимые числа можно дополнить лишь до 60 карточек; 37 синесодержащих двухцветных чисел здесь невозможны. Число 372 — 37-е в объединении S₁₂ и S₂₀; кроме них до 372 есть как минимум 23 числа из S₁₅ и T. Поэтому минимум максимума 372.
Есть 60 карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше 1. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на 3 — красную, если на 4 — синюю, если на 5 — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше 200?
б) Получилось, что на 20 карточках есть синяя и зелёная отметки, на 20 карточках есть синяя и красная отметки, на 20 карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на 45 карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.
Отметки соответствуют делимости ровно двумя из чисел 3, 4, 5. Получаются три непересекающихся класса: красная+синяя — кратные 12, но не 5; красная+зелёная — кратные 15, но не 4; синяя+зелёная — кратные 20, но не 3.
а) Среди чисел от 2 до 199 кратных 12 ровно 16, из них кратных 60 — 3; кратных 15 — 13, из них кратных 60 — 3; кратных 20 — 9, из них кратных 60 — 3. Итого допустимых чисел меньше 200. Их все можно включить в 60 карточек.
б) Двадцатые наименьшие числа в трёх классах соответственно 288, 390 и 580. Нельзя взять по 20 из каждого класса при максимуме меньше 580, а первые 20 каждого класса дают максимум 580.
в) Синяя отметка стоит у чисел из первого и третьего классов. 45-е по величине число в их объединении — 444; среди чисел без синей отметки 15-е — 285. Значит нижняя граница максимума равна и достигается выбором этих наименьших чисел.
Отметки соответствуют делимости ровно двумя из чисел 3, 4, 5. Получаются три непересекающихся класса: красная+синяя — кратные 12, но не 5; красная+зелёная — кратные 15, но не 4; синяя+зелёная — кратные 20, но не 3.
а) Среди чисел от 2 до 199 кратных 12 ровно 16, из них кратных 60 — 3; кратных 15 — 13, из них кратных 60 — 3; кратных 20 — 9, из них кратных 60 — 3. Итого допустимых чисел меньше 200. Их все можно включить в 60 карточек.
б) Двадцатые наименьшие числа в трёх классах соответственно 288, 390 и 580. Нельзя взять по 20 из каждого класса при максимуме меньше 580, а первые 20 каждого класса дают максимум 580.
в) Синяя отметка стоит у чисел из первого и третьего классов. 45-е по величине число в их объединении — 444; среди чисел без синей отметки 15-е — 285. Значит нижняя граница максимума равна и достигается выбором этих наименьших чисел.
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «0», если Митя 45 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−35»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−40», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?
а) Да: 27 раз выпадает 2, 18 раз — 3. Тогда сделано 45 бросков, а смещение .
б) Пусть чётных и нечётных бросков по . Один чётный и один нечётный результат дают смещение не меньше −3, поэтому . Смещение пары нечётно, следовательно для нечётного итога −35 число пар k тоже нечётно; минимум . Двенадцать пар (2,5) и одна пара (6,5) дают , всего 26 бросков.
в) Пусть — число выпадений грани j, а чётных и нечётных бросков по . Смещение равно . Четыре указанных количества — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Для смещения −40 нужно . Равенство достигается при : чётных и нечётных исходов по 22, все шесть количеств положительны и попарно различны, а смещение равно −40. Следовательно, минимум — 44 броска.
а) Да: 27 раз выпадает 2, 18 раз — 3. Тогда сделано 45 бросков, а смещение .
б) Пусть чётных и нечётных бросков по . Один чётный и один нечётный результат дают смещение не меньше −3, поэтому . Смещение пары нечётно, следовательно для нечётного итога −35 число пар k тоже нечётно; минимум . Двенадцать пар (2,5) и одна пара (6,5) дают , всего 26 бросков.
в) Пусть — число выпадений грани j, а чётных и нечётных бросков по . Смещение равно . Четыре указанных количества — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Для смещения −40 нужно . Равенство достигается при : чётных и нечётных исходов по 22, все шесть количеств положительны и попарно различны, а смещение равно −40. Следовательно, минимум — 44 броска.
На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «−50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «−55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?
а) Да. Например, 20 раз может выпасть грань 1 и 10 раз грань 3. Тогда смещение равно .
б) Пусть чётные и нечётные результаты выпали по раз. Максимальное смещение влево за одну пару бросков равно , поэтому . Кроме того, итоговое смещение и имеют одинаковую чётность, значит должно быть чётным. Минимально , то есть 36 бросков. Пример: семнадцать раз выпадает 5, один раз 1 и восемнадцать раз 2; смещение .
в) В печатной таблице ответов указан результат 58. Однако проверка условия даёт контрпример уже для 54 бросков: количества выпадений граней 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны соответственно 1, 21, 3, 4, 23, 2. Все шесть чисел положительны и попарно различны, чётных и нечётных исходов по 27, а смещение равно . Следовательно, значение 58 в источнике требует редакционной проверки; математически достижимо 54.
Для доказательства минимальности в пункте (в) обозначим через число выпадений грани , а через — число чётных (оно равно числу нечётных) исходов. Смещение равно . Четыре количества в добавке — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Из смещения −55 следует , то есть . Приведённый пример с достигает границы: минимально 54 броска.
а) Да. Например, 20 раз может выпасть грань 1 и 10 раз грань 3. Тогда смещение равно .
б) Пусть чётные и нечётные результаты выпали по раз. Максимальное смещение влево за одну пару бросков равно , поэтому . Кроме того, итоговое смещение и имеют одинаковую чётность, значит должно быть чётным. Минимально , то есть 36 бросков. Пример: семнадцать раз выпадает 5, один раз 1 и восемнадцать раз 2; смещение .
в) В печатной таблице ответов указан результат 58. Однако проверка условия даёт контрпример уже для 54 бросков: количества выпадений граней 1, 2, 3, 4, 5, 6 равны соответственно 1, 21, 3, 4, 23, 2. Все шесть чисел положительны и попарно различны, чётных и нечётных исходов по 27, а смещение равно . Следовательно, значение 58 в источнике требует редакционной проверки; математически достижимо 54.
Для доказательства минимальности в пункте (в) обозначим через число выпадений грани , а через — число чётных (оно равно числу нечётных) исходов. Смещение равно . Четыре количества в добавке — различные положительные целые числа, поэтому добавка не меньше . Из смещения −55 следует , то есть . Приведённый пример с достигает границы: минимально 54 броска.