Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 2, но не дойдя до отметки 11.
Подходящая дуга составляет 9 часовых промежутков из 12. Вероятность равна .
Подходящая дуга составляет 9 часовых промежутков из 12. Вероятность равна .
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 10.
Подходящая дуга занимает 3 из 12 часовых промежутков. При равномерном положении стрелки вероятность равна .
Подходящая дуга занимает 3 из 12 часовых промежутков. При равномерном положении стрелки вероятность равна .
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8 °C, равна 0,71. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.
.
.
При изготовлении подшипников диаметром 62 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,986. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 61,99 мм или больше чем 62,01 мм.
Это дополнительное событие: .
Это дополнительное событие: .
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 16 шахматистов, среди которых 4 спортсмена из России, в том числе Фёдор Волков. Найдите вероятность того, что в первом туре Фёдор Волков будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Из 15 возможных соперников Фёдора трое представляют Россию. Вероятность равна .
Из 15 возможных соперников Фёдора трое представляют Россию. Вероятность равна .
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 26 шахматистов, среди которых 3 спортсмена из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Соперник Василия равновероятно выбирается из 25 остальных участников. Среди них два шахматиста из России. Вероятность равна .
Соперник Василия равновероятно выбирается из 25 остальных участников. Среди них два шахматиста из России. Вероятность равна .
Из множества натуральных чисел от 56 до 80 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4?
Всего 25 чисел. Кратных 4 семь: 56,60,64,68,72,76,80. Вероятность 7/25=0,28.
Всего 25 чисел. Кратных 4 семь: 56,60,64,68,72,76,80. Вероятность 7/25=0,28.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и меньше 7?
Подходят 0, 2, 4, 6: .
Подходят 0, 2, 4, 6: .
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме «Площадь», равна 0,3. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
.
.
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
События несовместны, поэтому .
События несовместны, поэтому .
Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 11. Найдите объём куба. 
Основание отсечённой призмы занимает площади грани, высота равна ребру куба. Поэтому её объём составляет объёма куба, и объём куба .
Основание отсечённой призмы занимает площади грани, высота равна ребру куба. Поэтому её объём составляет объёма куба, и объём куба .
Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 25. Найдите объём куба. 
Пусть сторона куба . Основание отсечённой призмы — прямоугольный треугольник с катетами , площадь , а высота . Объём призмы . Объём куба .
Пусть сторона куба . Основание отсечённой призмы — прямоугольный треугольник с катетами , площадь , а высота . Объём призмы . Объём куба .
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 19. Найдите объём шара.
Основание конуса является большим кругом шара, высота равна радиусу. Поэтому объём шара в 4 раза больше объёма конуса: .
Основание конуса является большим кругом шара, высота равна радиусу. Поэтому объём шара в 4 раза больше объёма конуса: .
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 188. Найдите объём конуса.
Основание конуса является большим кругом шара, а высота конуса равна радиусу . Поэтому , , и объём конуса .
Основание конуса является большим кругом шара, а высота конуса равна радиусу . Поэтому , , и объём конуса .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса. 
При образующая конуса . Площадь цилиндра , конуса , поэтому площадь конуса в раза меньше: .
При образующая конуса . Площадь цилиндра , конуса , поэтому площадь конуса в раза меньше: .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 162. Найдите объём конуса. 
Объём конуса с теми же основанием и высотой втрое меньше объёма цилиндра: .
Объём конуса с теми же основанием и высотой втрое меньше объёма цилиндра: .
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2,5 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах. 
Площадь основания второго сосуда больше в раза. При том же объёме высота см.
Площадь основания второго сосуда больше в раза. При том же объёме высота см.
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 5. У второго цилиндра высота в 2,5 раза меньше, а радиус основания в 3 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. 
Объём пропорционален квадрату радиуса и высоте: .
Объём пропорционален квадрату радиуса и высоте: .
Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
, значит, .
, значит, .
Радиусы двух шаров равны 7 и 24. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
, значит, .
, значит, .
В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
Прямая параллельна . Треугольник прямоугольный с равными катетами , поэтому искомый угол равен .
Прямая параллельна . Треугольник прямоугольный с равными катетами , поэтому искомый угол равен .
В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
Прямая параллельна . Треугольник прямоугольный с равными катетами , поэтому искомый угол равен .
Прямая параллельна . Треугольник прямоугольный с равными катетами , поэтому искомый угол равен .
В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
При единичной стороне направляющие векторы можно выбрать и . Косинус угла между прямыми равен , значит, угол .
При единичной стороне направляющие векторы можно выбрать и . Косинус угла между прямыми равен , значит, угол .
В кубе найдите угол между прямыми и . Ответ дайте в градусах.
При единичной стороне направляющие векторы можно выбрать и . Косинус угла между прямыми равен , значит, угол .
При единичной стороне направляющие векторы можно выбрать и . Косинус угла между прямыми равен , значит, угол .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро, деля его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. 
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро, деля его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. 
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части. 
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части. 
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2,5. Найдите площадь его поверхности. 
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2,5. Найдите площадь его поверхности. 
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2,5. Найдите площадь его поверхности. 
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Все три измерения равны диаметру сферы 5. Это куб с площадью поверхности .
Куб описан около сферы радиуса 12,5. Найдите объём куба. 
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Куб описан около сферы радиуса 12,5. Найдите объём куба. 
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Куб описан около сферы радиуса 12,5. Найдите объём куба. 
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
Ребро равно диаметру сферы, то есть 25. Объём .
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .
Это треугольная пирамида с основанием площадью и высотой 6. Объём .
Это треугольная пирамида с основанием площадью и высотой 6. Объём .
Объём параллелепипеда равен 60. Найдите объём треугольной пирамиды .
Если рёбра из задают , то векторы к другим вершинам пирамиды . Модуль их определителя вдвое больше объёма параллелепипеда. Объём тетраэдра равен шестой части определителя, то есть .
Если рёбра из задают , то векторы к другим вершинам пирамиды . Модуль их определителя вдвое больше объёма параллелепипеда. Объём тетраэдра равен шестой части определителя, то есть .
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды. 
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. 
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .
Это треугольная пирамида с основанием площадью и высотой 6. Объём .
Это треугольная пирамида с основанием площадью и высотой 6. Объём .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9. 
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Объём параллелепипеда равен 60. Найдите объём треугольной пирамиды .
Если рёбра из задают , то векторы к другим вершинам пирамиды . Модуль их определителя вдвое больше объёма параллелепипеда. Объём тетраэдра равен шестой части определителя, то есть .
Если рёбра из задают , то векторы к другим вершинам пирамиды . Модуль их определителя вдвое больше объёма параллелепипеда. Объём тетраэдра равен шестой части определителя, то есть .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6. 
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды. 
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды. 
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. 
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. 
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9. 
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 9. 
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Площадь треугольника равна одной шестой площади правильного шестиугольника. Высота пирамиды из E равна 9. Поэтому .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6. 
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы , площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6. 
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
Тетраэдр занимает треть объёма призмы: .
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1100 см³ воды и полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 29 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см³. 
Площадь основания сосуда см². Деталь вытесняет объём см³.
Площадь основания сосуда см². Деталь вытесняет объём см³.
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .
Многогранник — треугольная призма с основаниями и . Площадь основания , расстояние между основаниями 9. Объём .
Многогранник — треугольная призма с основаниями и . Площадь основания , расстояние между основаниями 9. Объём .
В прямоугольном параллелепипеде известно, что , , . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки .
Многогранник — треугольная призма с основаниями и . Площадь основания , расстояние между основаниями 9. Объём .
Многогранник — треугольная призма с основаниями и . Площадь основания , расстояние между основаниями 9. Объём .
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 4,5. Найдите объём исходной призмы. 
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 4,5. Найдите объём исходной призмы. 
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 4,5. Найдите объём исходной призмы. 
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Площадь отсечённого треугольного основания составляет четверть исходной, а высота та же. Поэтому объём исходной призмы .
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. 
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. 
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы. 
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Все стороны нового треугольного основания вдвое меньше соответствующих сторон исходного, боковые рёбра те же. Каждая боковая грань имеет вдвое меньшую площадь, поэтому ответ .
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
.
.
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
.
.
Длина окружности основания конуса равна 6, образующая равна 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
.
.
Длина окружности основания цилиндра равна 5, высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Длина окружности основания цилиндра равна 5, высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Длина окружности основания цилиндра равна 5, высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания и высоты: .
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 18,5. Объём параллелепипеда равен 5476. Найдите высоту цилиндра. 
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 18,5. Объём параллелепипеда равен 5476. Найдите высоту цилиндра. 
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 18,5. Объём параллелепипеда равен 5476. Найдите высоту цилиндра. 
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Стороны основания параллелепипеда равны диаметру 37. Высота .
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 8. Найдите объём параллелепипеда. 
Размеры параллелепипеда , объём .
Размеры параллелепипеда , объём .
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 8. Найдите объём параллелепипеда. 
Размеры параллелепипеда , объём .
Размеры параллелепипеда , объём .
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 8. Найдите объём параллелепипеда. 
Размеры параллелепипеда , объём .
Размеры параллелепипеда , объём .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 
, , откуда . Площадь боковой поверхности цилиндра .
, , откуда . Площадь боковой поверхности цилиндра .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса. 
. Образующая конуса , поэтому .
. Образующая конуса , поэтому .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. 
, , откуда . Площадь боковой поверхности цилиндра .
, , откуда . Площадь боковой поверхности цилиндра .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна . Найдите площадь боковой поверхности конуса. 
. Образующая конуса , поэтому .
. Образующая конуса , поэтому .
Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью. 
Коэффициент подобия равен . Площадь сечения равна .
Коэффициент подобия равен . Площадь сечения равна .
Площадь основания конуса равна 56. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 4 и 12, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью. 
Коэффициент подобия равен . Площадь сечения равна .
Коэффициент подобия равен . Площадь сечения равна .
Площадь полной поверхности конуса равна 66. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. 
Линейные размеры отсечённого конуса вдвое меньше. Площадь полной поверхности равна .
Линейные размеры отсечённого конуса вдвое меньше. Площадь полной поверхности равна .
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,25 высоты. Объём жидкости равен 5 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? 
Конус жидкости подобен полному конусу с коэффициентом . Объёмы относятся как . Полный объём мл; долить нужно мл.
Конус жидкости подобен полному конусу с коэффициентом . Объёмы относятся как . Полный объём мл; долить нужно мл.
Площадь полной поверхности конуса равна 66. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. 
Линейные размеры отсечённого конуса вдвое меньше. Площадь полной поверхности равна .
Линейные размеры отсечённого конуса вдвое меньше. Площадь полной поверхности равна .
Объём треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 14. Найдите объём шестиугольной пирамиды. 
Треугольник ABC с двумя соседними сторонами правильного шестиугольника занимает площади его основания. Высота пирамид общая, значит, полный объём .
Треугольник ABC с двумя соседними сторонами правильного шестиугольника занимает площади его основания. Высота пирамид общая, значит, полный объём .
От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды. 
Средняя линия делит основание на треугольник площади площади всего основания. Высота обеих пирамид от общей вершины одна и та же. Поэтому объём отсечённой части .
Средняя линия делит основание на треугольник площади площади всего основания. Высота обеих пирамид от общей вершины одна и та же. Поэтому объём отсечённой части .
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 25. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 
При радиусе шара R радиус цилиндра также R, а высота 2R. Поэтому площадь шара , полная площадь цилиндра .
При радиусе шара R радиус цилиндра также R, а высота 2R. Поэтому площадь шара , полная площадь цилиндра .
Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара. 
У описанного около шара цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому . Объём шара .
У описанного около шара цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому . Объём шара .
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см. 
Объём занятого жидкостью пространства пропорционален высоте уровня. После погружения он равен куб. см. Деталь вытеснила куб. см.
Объём занятого жидкостью пространства пропорционален высоте уровня. После погружения он равен куб. см. Деталь вытеснила куб. см.
В цилиндрический сосуд налили 2100 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см. 
Площадь основания цилиндра равна см². После погружения детали уровень поднялся на 5 см, поэтому объём вытесненной воды, равный объёму детали, составляет см³.
Площадь основания цилиндра равна см². После погружения детали уровень поднялся на 5 см, поэтому объём вытесненной воды, равный объёму детали, составляет см³.
Объём треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 14. Найдите объём шестиугольной пирамиды. 
Треугольник ABC с двумя соседними сторонами правильного шестиугольника занимает площади его основания. Высота пирамид общая, значит, полный объём .
Треугольник ABC с двумя соседними сторонами правильного шестиугольника занимает площади его основания. Высота пирамид общая, значит, полный объём .
От треугольной пирамиды, объём которой равен 34, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды. 
Средняя линия делит основание на треугольник площади площади всего основания. Высота обеих пирамид от общей вершины одна и та же. Поэтому объём отсечённой части .
Средняя линия делит основание на треугольник площади площади всего основания. Высота обеих пирамид от общей вершины одна и та же. Поэтому объём отсечённой части .
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 25. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 
При радиусе шара R радиус цилиндра также R, а высота 2R. Поэтому площадь шара , полная площадь цилиндра .
При радиусе шара R радиус цилиндра также R, а высота 2R. Поэтому площадь шара , полная площадь цилиндра .
Цилиндр, объём которого равен 114, описан около шара. Найдите объём шара. 
У описанного около шара цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому . Объём шара .
У описанного около шара цилиндра радиус основания R и высота 2R, поэтому . Объём шара .
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,6 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см. 
Объём занятого жидкостью пространства пропорционален высоте уровня. После погружения он равен куб. см. Деталь вытеснила куб. см.
Объём занятого жидкостью пространства пропорционален высоте уровня. После погружения он равен куб. см. Деталь вытеснила куб. см.
В цилиндрический сосуд налили 2100 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см. 
Площадь основания цилиндра равна см². После погружения детали уровень поднялся на 5 см, поэтому объём вытесненной воды, равный объёму детали, составляет см³.
Площадь основания цилиндра равна см². После погружения детали уровень поднялся на 5 см, поэтому объём вытесненной воды, равный объёму детали, составляет см³.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, C₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 6. 
Многогранник — пирамида с основанием ABDE в нижнем основании призмы и вершиной C₁. Площадь четырёхугольника ABDE равна двум третям площади правильного шестиугольника, то есть 8. Высота пирамиды — боковое ребро призмы 6. Объём .
Многогранник — пирамида с основанием ABDE в нижнем основании призмы и вершиной C₁. Площадь четырёхугольника ABDE равна двум третям площади правильного шестиугольника, то есть 8. Высота пирамиды — боковое ребро призмы 6. Объём .
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 18, а боковое ребро равно 6. 
Искомый многогранник — тетраэдр ABDE₁. В правильном шестиугольнике площадь треугольника ABD составляет треть площади основания, то есть 6. Высота E₁ над плоскостью основания равна боковому ребру 6. Объём .
Искомый многогранник — тетраэдр ABDE₁. В правильном шестиугольнике площадь треугольника ABD составляет треть площади основания, то есть 6. Высота E₁ над плоскостью основания равна боковому ребру 6. Объём .
Шар вписан в цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь поверхности шара. 
При радиусе шара цилиндр имеет радиус и высоту . Боковая поверхность цилиндра равна . Поверхность шара тоже .
При радиусе шара цилиндр имеет радиус и высоту . Боковая поверхность цилиндра равна . Поверхность шара тоже .
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь поверхности шара. 
При радиусе шара цилиндр имеет радиус и высоту . Его полная поверхность . Поверхность шара .
При радиусе шара цилиндр имеет радиус и высоту . Его полная поверхность . Поверхность шара .
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 5 раз больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах. 
При увеличении стороны основания в 5 раз площадь основания возрастает в 25 раз. При прежнем объёме высота слоя жидкости станет см.
При увеличении стороны основания в 5 раз площадь основания возрастает в 25 раз. При прежнем объёме высота слоя жидкости станет см.
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 120 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах. 
При увеличении стороны основания в 4 раза площадь основания призмы возрастает в раз. Объём жидкости прежний, поэтому уровень станет см.
При увеличении стороны основания в 4 раза площадь основания призмы возрастает в раз. Объём жидкости прежний, поэтому уровень станет см.
Дано два шара. Радиус первого шара в 1,8 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? 
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса. Поэтому отношение площадей равно .
Площадь поверхности шара пропорциональна квадрату радиуса. Поэтому отношение площадей равно .
Площадь большого круга шара равна 12. Найдите площадь поверхности шара. 
Большой круг имеет площадь . Площадь сферы .
Большой круг имеет площадь . Площадь сферы .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 72. Найдите объём конуса. 
При общих основании и высоте объём конуса втрое меньше объёма цилиндра: .
При общих основании и высоте объём конуса втрое меньше объёма цилиндра: .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 48. Найдите объём цилиндра. 
При одинаковых основании и высоте объём цилиндра втрое больше объёма конуса: .
При одинаковых основании и высоте объём цилиндра втрое больше объёма конуса: .
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 81. Найдите объём конуса.
При одинаковых основании и высоте объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра.
81/3 = 27.
Ответ: 27.
При одинаковых основании и высоте объём конуса в 3 раза меньше объёма цилиндра.
81/3 = 27.
Ответ: 27.
Длина окружности основания цилиндра равна 5, а высота равна 6. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
S = 5·6 = 30.
Ответ: 30.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
S = 5·6 = 30.
Ответ: 30.
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсечённой треугольной призмы равен 6. Найдите объём исходной призмы.
Отсечённый треугольник подобен основанию исходной призмы с коэффициентом 1/2.
Его площадь составляет (1/2)² = 1/4 площади исходного основания. Высоты призм одинаковы, поэтому объём отсечённой призмы равен 1/4 объёма исходной.
V = 6·4 = 24.
Ответ: 24.
Отсечённый треугольник подобен основанию исходной призмы с коэффициентом 1/2.
Его площадь составляет (1/2)² = 1/4 площади исходного основания. Высоты призм одинаковы, поэтому объём отсечённой призмы равен 1/4 объёма исходной.
V = 6·4 = 24.
Ответ: 24.
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 36. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Отсечённый треугольник подобен основанию исходной призмы с коэффициентом 1/2.
Его периметр в 2 раза меньше, а высота призмы не изменяется. Поэтому площадь боковой поверхности также уменьшается в 2 раза.
36/2 = 18.
Ответ: 18.
Отсечённый треугольник подобен основанию исходной призмы с коэффициентом 1/2.
Его периметр в 2 раза меньше, а высота призмы не изменяется. Поэтому площадь боковой поверхности также уменьшается в 2 раза.
36/2 = 18.
Ответ: 18.
Площадь основания прямой призмы равна 18, а её высота равна 8. Внутри призмы построена пирамида с тем же основанием и вершиной в плоскости второго основания. Найдите объём пирамиды.
Высота пирамиды равна высоте призмы.
V = 1/3·18·8 = 48.
Ответ: 48.
Высота пирамиды равна высоте призмы.
V = 1/3·18·8 = 48.
Ответ: 48.
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 80. Найдите объём цилиндра.
Объём шара составляет 2/3 объёма описанного цилиндра.
Vцил = 80·3/2 = 120.
Ответ: 120.
Объём шара составляет 2/3 объёма описанного цилиндра.
Vцил = 80·3/2 = 120.
Ответ: 120.
Длина окружности основания конуса равна 8, а образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна S = πrl.
Так как длина окружности основания C = 2πr, то S = C·l/2.
S = 8·5/2 = 20.
Ответ: 20.
Площадь боковой поверхности конуса равна S = πrl.
Так как длина окружности основания C = 2πr, то S = C·l/2.
S = 8·5/2 = 20.
Ответ: 20.
Площадь основания конуса равна 81. Плоскость, параллельная основанию, проходит через середину высоты конуса. Найдите площадь полученного сечения.
Линейные размеры сечения в 2 раза меньше линейных размеров основания.
Площадь уменьшается в 2² = 4 раза: 81/4 = 20,25.
Ответ: 20,25.
Линейные размеры сечения в 2 раза меньше линейных размеров основания.
Площадь уменьшается в 2² = 4 раза: 81/4 = 20,25.
Ответ: 20,25.
В цилиндрическом сосуде находится 8 см³ воды. После полного погружения детали уровень жидкости увеличился в 1,75 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Объём воды пропорционален высоте её уровня. После погружения общий объём под уровнем жидкости стал равен 1,75·8 = 14 см³.
Объём детали: 14 − 8 = 6 см³.
Ответ: 6.
Объём воды пропорционален высоте её уровня. После погружения общий объём под уровнем жидкости стал равен 1,75·8 = 14 см³.
Объём детали: 14 − 8 = 6 см³.
Ответ: 6.
В цилиндрический сосуд налили 1800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равен 15 см. В воду полностью погрузили деталь, после чего уровень жидкости поднялся на 4 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Площадь основания сосуда S = 1800/15 = 120 см².
Объём вытесненной воды равен объёму детали: V = 120·4 = 480 см³.
Ответ: 480.
Площадь основания сосуда S = 1800/15 = 120 см².
Объём вытесненной воды равен объёму детали: V = 120·4 = 480 см³.
Ответ: 480.
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания цилиндра равен 3, высота цилиндра равна 8. Основание параллелепипеда — квадрат. Найдите объём параллелепипеда.
Сторона квадратного основания параллелепипеда равна диаметру цилиндра: 2·3 = 6.
V = 6·6·8 = 288.
Ответ: 288.
Сторона квадратного основания параллелепипеда равна диаметру цилиндра: 2·3 = 6.
V = 6·6·8 = 288.
Ответ: 288.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 5 раз больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Площадь увеличивается в 25 раз. h = 180/25 = 7,2.
Площадь увеличивается в 25 раз. h = 180/25 = 7,2.
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 120 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Площадь увеличивается в 16 раз. h = 120/16 = 7,5.
Площадь увеличивается в 16 раз. h = 120/16 = 7,5.
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 60. Найдите площадь поверхности шара.
Для цилиндра, описанного около шара, Sцил = 6πr², а Sшара = 4πr².
Sшара = 60·4/6 = 40.
Ответ: 40.
Для цилиндра, описанного около шара, Sцил = 6πr², а Sшара = 4πr².
Sшара = 60·4/6 = 40.
Ответ: 40.
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь сферы равна 4πr². Полная поверхность описанного цилиндра равна 2πr² + 2πr·2r = 6πr².
Следовательно, площадь цилиндра в 6/4 = 1,5 раза больше: 48·1,5 = 72.
Ответ: 72.
Площадь сферы равна 4πr². Полная поверхность описанного цилиндра равна 2πr² + 2πr·2r = 6πr².
Следовательно, площадь цилиндра в 6/4 = 1,5 раза больше: 48·1,5 = 72.
Ответ: 72.
Цилиндр объёмом 150 описан около шара. Найдите объём шара.
Радиус цилиндра равен радиусу шара r, а высота цилиндра равна 2r.
Vцил = 2πr³, Vшара = 4πr³/3, поэтому Vшара = 2/3·Vцил = 100.
Ответ: 100.
Радиус цилиндра равен радиусу шара r, а высота цилиндра равна 2r.
Vцил = 2πr³, Vшара = 4πr³/3, поэтому Vшара = 2/3·Vцил = 100.
Ответ: 100.
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 32. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Пусть радиус шара равен r. Тогда радиус цилиндра равен r, а высота цилиндра равна 2r.
Площадь поверхности шара равна 4πr² = 32.
Полная поверхность цилиндра: 2πr² + 2πr·2r = 6πr².
6πr² = 6/4·32 = 48.
Ответ: 48.
Пусть радиус шара равен r. Тогда радиус цилиндра равен r, а высота цилиндра равна 2r.
Площадь поверхности шара равна 4πr² = 32.
Полная поверхность цилиндра: 2πr² + 2πr·2r = 6πr².
6πr² = 6/4·32 = 48.
Ответ: 48.
Цилиндр объёмом 135 описан около шара. Найдите объём шара.
Если радиус шара равен r, то радиус цилиндра равен r, а его высота равна 2r.
Vцил = 2πr³, Vшара = 4πr³/3.
Vшара/Vцил = 2/3, поэтому Vшара = 135·2/3 = 90.
Ответ: 90.
Если радиус шара равен r, то радиус цилиндра равен r, а его высота равна 2r.
Vцил = 2πr³, Vшара = 4πr³/3.
Vшара/Vцил = 2/3, поэтому Vшара = 135·2/3 = 90.
Ответ: 90.
Даны два шара. Радиус первого шара в 1,8 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
S₁/S₂ = (R₁/R₂)² = 1,8² = 3,24.
S₁/S₂ = (R₁/R₂)² = 1,8² = 3,24.
Площадь большого круга шара равна 12. Найдите площадь поверхности шара.
S_пов = 4πr² = 4·(πr²) = 4·12 = 48.
S_пов = 4πr² = 4·(πr²) = 4·12 = 48.
Площадь полной поверхности конуса равна 84. Параллельно основанию проведено сечение, проходящее через середину высоты. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом 1/2.
Площади поверхностей относятся как квадраты коэффициента подобия: 84·(1/2)² = 21.
Ответ: 21.
Отсечённый конус подобен исходному с коэффициентом 1/2.
Площади поверхностей относятся как квадраты коэффициента подобия: 84·(1/2)² = 21.
Ответ: 21.
Площадь основания конуса равна 100. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении 2 : 3, считая от вершины. Найдите площадь полученного сечения.
Расстояние от вершины до сечения составляет 2/5 высоты конуса, поэтому радиус сечения равен 2/5 радиуса основания.
Площадь сечения равна 100·(2/5)² = 16.
Ответ: 16.
Расстояние от вершины до сечения составляет 2/5 высоты конуса, поэтому радиус сечения равен 2/5 радиуса основания.
Площадь сечения равна 100·(2/5)² = 16.
Ответ: 16.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 72. Найдите объём конуса.
V_кон = V_цил/3 = 72/3 = 24.
V_кон = V_цил/3 = 72/3 = 24.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 48. Найдите объём цилиндра.
V_цил = 3·V_кон = 3·48 = 144.
V_цил = 3·V_кон = 3·48 = 144.
Объём треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 14. Вершины A, B и C являются последовательными вершинами основания. Найдите объём шестиугольной пирамиды.
Треугольник ABC занимает 1/6 площади правильного шестиугольника ABCDEF.
Пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объёмы относятся как площади оснований.
VSABCDEF = 14·6 = 84.
Ответ: 84.
Треугольник ABC занимает 1/6 площади правильного шестиугольника ABCDEF.
Пирамиды имеют общую высоту, поэтому их объёмы относятся как площади оснований.
VSABCDEF = 14·6 = 84.
Ответ: 84.
Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 10, а высота равна 12.
Апофема основания = 5. Апофема пирамиды = = 13. S_бок = 4·½·10·13 = 260. S_полн = 100+260 = 360.
Апофема основания = 5. Апофема пирамиды = = 13. S_бок = 4·½·10·13 = 260. S_полн = 100+260 = 360.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 9, AD = 8, AA₁ = 10.
V = AB · AD · AA₁ = 9 · 8 · 10 = 720.
V = AB · AD · AA₁ = 9 · 8 · 10 = 720.
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 3. Найдите площадь его поверхности.
Решение.
Прямоугольный параллелепипед описан вокруг сферы ⟹ сфера касается всех граней ⟹ все рёбра равны 2R = 6 ⟹ это куб.
S = 6a² = 6 · 36 = 216.
Ответ: 216.
Решение.
Прямоугольный параллелепипед описан вокруг сферы ⟹ сфера касается всех граней ⟹ все рёбра равны 2R = 6 ⟹ это куб.
S = 6a² = 6 · 36 = 216.
Ответ: 216.
Куб вписан в шар радиуса 4,5. Найдите объём куба.
Решение.
Диагональ куба = диаметр шара = 2R = 9.
Диагональ куба с ребром a: d = a.
a = 9 ⟹ a = 9.
V = a³ = 729.
Ответ: 729.
Решение.
Диагональ куба = диаметр шара = 2R = 9.
Диагональ куба с ребром a: d = a.
a = 9 ⟹ a = 9.
V = a³ = 729.
Ответ: 729.
Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 2 раза, а образующая увеличится в 7 раз?
Решение.
S = πrl.
S′ = π · (r/2) · (7l) = 7πrl/2 = 3,5 · πrl.
S′/S = 3,5.
Ответ: 3,5.
Решение.
S = πrl.
S′ = π · (r/2) · (7l) = 7πrl/2 = 3,5 · πrl.
S′/S = 3,5.
Ответ: 3,5.
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 5 раз, а образующая увеличится в 2 раза?
Решение.
S = πrl.
S′ = π · (r/5) · (2l) = 2πrl/5.
S/S′ = (πrl) / (2πrl/5) = 5/2 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Решение.
S = πrl.
S′ = π · (r/5) · (2l) = 2πrl/5.
S/S′ = (πrl) / (2πrl/5) = 5/2 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Первая цилиндрическая кружка в два раза выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Решение.
Пусть h₂ — высота второй кружки, r₁ — радиус первой.
h₁ = 2h₂, r₂ = 2,5 · r₁.
V₁ = πr₁²h₁ = πr₁² · 2h₂.
V₂ = πr₂²h₂ = π(2,5r₁)²h₂ = 6,25πr₁²h₂.
V₂/V₁ = 6,25πr₁²h₂ / (2πr₁²h₂) = 6,25/2 = 3,125.
Ответ: 3,125.
Решение.
Пусть h₂ — высота второй кружки, r₁ — радиус первой.
h₁ = 2h₂, r₂ = 2,5 · r₁.
V₁ = πr₁²h₁ = πr₁² · 2h₂.
V₂ = πr₂²h₂ = π(2,5r₁)²h₂ = 6,25πr₁²h₂.
V₂/V₁ = 6,25πr₁²h₂ / (2πr₁²h₂) = 6,25/2 = 3,125.
Ответ: 3,125.
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 102. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
Решение.
V₁ = πr²h = 102.
V₂ = π(r/2)²·(3h) = π · r²/4 · 3h = (3/4)πr²h = (3/4) · 102 = 76,5.
Ответ: 76,5.
Решение.
V₁ = πr²h = 102.
V₂ = π(r/2)²·(3h) = π · r²/4 · 3h = (3/4)πr²h = (3/4) · 102 = 76,5.
Ответ: 76,5.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ площадь основания равна 15, а боковое ребро равно 9. Найдите объём многогранника с вершинами A, B, D, E, C₁.
Многогранник является пирамидой с вершиной C₁ и основанием ABDE в плоскости нижнего основания призмы.
Четырёхугольник ABDE занимает 2/3 площади правильного шестиугольника, поэтому SABDE = 15·2/3 = 10.
Высота пирамиды равна боковому ребру призмы: h = 9.
V = 1/3·10·9 = 30.
Ответ: 30.
Многогранник является пирамидой с вершиной C₁ и основанием ABDE в плоскости нижнего основания призмы.
Четырёхугольник ABDE занимает 2/3 площади правильного шестиугольника, поэтому SABDE = 15·2/3 = 10.
Высота пирамиды равна боковому ребру призмы: h = 9.
V = 1/3·10·9 = 30.
Ответ: 30.
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Пусть радиус и высота равны r. Тогда образующая конуса l = r.
Sцил.бок = 2πr², Sкон.бок = πr².
Отношение равно /2, поэтому Sкон.бок = 24·/2 = 24.
Ответ: 24.
Пусть радиус и высота равны r. Тогда образующая конуса l = r.
Sцил.бок = 2πr², Sкон.бок = πr².
Отношение равно /2, поэтому Sкон.бок = 24·/2 = 24.
Ответ: 24.
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A₁, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 6, AD = 9, AA₁ = 7.
Решение.
Объём параллелепипеда: V = 6 · 9 · 7 = 378.
Половина параллелепипеда (призма ABCA₁B₁C₁): V/2 = 189.
Из призмы вычтем тетраэдр CA₁B₁C₁:
V(тетраэдра) = (1/6)|det[C₁C, C₁A₁, C₁B₁]|.
В координатах: C₁C = (0, 0, −7), C₁A₁ = (−6, −9, 0), C₁B₁ = (0, −9, 0).
det = (−7) · ((−6)(−9) − (−9) · 0) = (−7)(54) = −378.
V(тетраэдра) = 378/6 = 63.
V(многогранника) = 189 − 63 = 126.
Ответ: 126.
Решение.
Объём параллелепипеда: V = 6 · 9 · 7 = 378.
Половина параллелепипеда (призма ABCA₁B₁C₁): V/2 = 189.
Из призмы вычтем тетраэдр CA₁B₁C₁:
V(тетраэдра) = (1/6)|det[C₁C, C₁A₁, C₁B₁]|.
В координатах: C₁C = (0, 0, −7), C₁A₁ = (−6, −9, 0), C₁B₁ = (0, −9, 0).
det = (−7) · ((−6)(−9) − (−9) · 0) = (−7)(54) = −378.
V(тетраэдра) = 378/6 = 63.
V(многогранника) = 189 − 63 = 126.
Ответ: 126.