Разбор заданий ФИПИ
Войти Начать тренировку

Тип 6. Случайные величины

🎓 ЕГЭ · Профильная математика 📝 55 заданий ∞ без ограничения времени
⚡
Разбор заданий ФИПИ · Профильная математика
55 заданий с проверкой ответов и решениями. Полный доступ ко всем заданиям — после бесплатной регистрации.
← Собрать другой Зарегистрироваться →
ЕГЭ — Профильная математика Тип 6. Случайные величины
🗺 Задания:
из 55
№ 1 · Тип 6 · # 30691 · 2027 · ★★☆☆☆ 1 / 55

В тесте 20 вопросов, на каждый ученик отвечает наугад и угадывает с вероятностью 0,25. Найдите математическое ожидание числа угаданных ответов.

Ответ: 5
Решение.

M(X) = np = 20·0,25 = 5.

Ответ: 5.

Ответ:
№ 2 · Тип 6 · # 30651 · 2027 · ★★☆☆☆ 2 / 55

Случайная величина X принимает значение 1 с вероятностью 0,8 и значение 0 с вероятностью 0,2. Найдите дисперсию X.

Ответ: 0,16
Решение.

M(X) = 0,8, M(X²) = 0,8, D(X) = 0,8 − 0,64 = 0,16.

Ответ: 0,16.

Ответ:
№ 3 · Тип 6 · # 30611 · 2027 · ★★☆☆☆ 3 / 55

Известно, что M(X²) = 13, M(X) = 3. Найдите стандартное отклонение X.

Ответ: 2
Решение.

D(X) = 13 − 9 = 4, σ = 2.

Ответ: 2.

Ответ:
№ 4 · Тип 6 · # 30571 · 2027 · ★★☆☆☆ 4 / 55

Известно, что M(X) = 2, D(X) = 5. Найдите M(X²).

Ответ: 9
Решение.

D(X) = M(X²) − (M(X))², поэтому M(X²) = 5 + 4 = 9.

Ответ: 9.

Ответ:
№ 5 · Тип 6 · # 30531 · 2027 · ★★☆☆☆ 5 / 55

Случайные величины X и Y независимы, D(X) = 2, D(Y) = 3. Найдите D(X − Y).

Ответ: 5
Решение.

Для независимых величин D(X − Y) = D(X) + D(Y) = 5.

Ответ: 5.

Ответ:
№ 6 · Тип 6 · # 30491 · 2027 · ★★☆☆☆ 6 / 55

Известно, что M(X) = 3, M(Y) = −2. Найдите M(2X + Y).

Ответ: 4
Решение.

M(2X + Y) = 2M(X) + M(Y) = 6 − 2 = 4.

Ответ: 4.

Ответ:
№ 7 · Тип 6 · # 30451 · 2027 · ★★☆☆☆ 7 / 55

Стрелок делает 10 выстрелов, вероятность попадания при каждом 0,7. Случайная величина X — число попаданий. Найдите дисперсию X.

Ответ: 2,1
Решение.

D(X) = npq = 10·0,7·0,3 = 2,1.

Ответ: 2,1.

Ответ:
№ 8 · Тип 6 · # 30411 · 2027 · ★★☆☆☆ 8 / 55

Стрелок делает 10 выстрелов, вероятность попадания при каждом 0,7. Случайная величина X — число попаданий. Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 7
Решение.

M(X) = np = 10·0,7 = 7.

Ответ: 7.

Ответ:
№ 9 · Тип 6 · # 30371 · 2027 · ★★☆☆☆ 9 / 55

Монету бросают два раза. Случайная величина X — число выпавших орлов. Найдите дисперсию X.

Ответ: 0,5
Решение.

D(X) = npq = 2·0,5·0,5 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ:
№ 10 · Тип 6 · # 30331 · 2027 · ★★☆☆☆ 10 / 55

Игральный кубик бросают один раз. Случайная величина X — число выпавших очков. Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 3,5
Решение.

M(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6 = 3,5.

Ответ: 3,5.

Ответ:
№ 11 · Тип 6 · # 30291 · 2027 · ★★☆☆☆ 11 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X1234
p0,150,250,350,25

Найдите вероятность события X < 3.

Ответ: 0,4
Решение.

Складываем вероятности подходящих значений: 0,15 + 0,25 = 0,4.

Ответ: 0,4.

Ответ:
№ 12 · Тип 6 · # 30251 · 2027 · ★★☆☆☆ 12 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X48
p0,750,25

Найдите математическое ожидание случайной величины X − 5.

Ответ: 0
Решение.

M(X) = 5. M(X − 5) = 1·M(X) − 5 = 0.

Ответ: 0.

Ответ:
№ 13 · Тип 6 · # 30211 · 2027 · ★★☆☆☆ 13 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X1234
p0,10,20,30,4

Найдите дисперсию X.

Ответ: 1
Решение.

M(X) = 3, M(X²) = 10, D(X) = M(X²) − (M(X))² = 10 − 9 = 1.

Ответ: 1.

Ответ:
№ 14 · Тип 6 · # 30171 · 2027 · ★★☆☆☆ 14 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X1234
p0,10,20,30,4

Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 3
Решение.

M(X) = 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,3 + 4·0,4 = 3.

Ответ: 3.

Ответ:
№ 15 · Тип 6 · # 30131 · 2027 · ★★☆☆☆ 15 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X012
p0,35?0,25

Найдите пропущенную вероятность.

Ответ: 0,4
Решение.

Сумма вероятностей равна 1: 1 − (0,35 + 0,25) = 0,4.

Ответ: 0,4.

Ответ:
№ 16 · Тип 6 · # 30091 · 2027 · ★★☆☆☆ 16 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X02
p0,50,5

Найдите дисперсию случайной величины 3X.

Ответ: 9
Решение.

D(X) = 1, D(3X) = 3²·D(X) = 9.

Ответ: 9.

Ответ:
№ 17 · Тип 6 · # 30051 · 2027 · ★★☆☆☆ 17 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X102030
p0,50,30,2

Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 17
Решение.

M(X) = 10·0,5 + 20·0,3 + 30·0,2 = 17.

Ответ: 17.

Ответ:
№ 18 · Тип 6 · # 30011 · 2027 · ★★☆☆☆ 18 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X15
p0,50,5

Найдите стандартное отклонение X.

Ответ: 2
Решение.

M(X) = 3, M(X²) = 13, D(X) = 4, σ = √D(X) = 2.

Ответ: 2.

Ответ:
№ 19 · Тип 6 · # 29971 · 2027 · ★★☆☆☆ 19 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X0123
p0,10,30,40,2

Найдите вероятность события X ≥ 2.

Ответ: 0,6
Решение.

Складываем вероятности подходящих значений: 0,4 + 0,2 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ:
№ 20 · Тип 6 · # 29931 · 2027 · ★★☆☆☆ 20 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X-203
p0,20,50,3

Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 0,5
Решение.

M(X) = -2·0,2 + 0·0,5 + 3·0,3 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ:
№ 21 · Тип 6 · # 29891 · 2027 · ★★☆☆☆ 21 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X123
p0,30,40,3

Найдите математическое ожидание случайной величины 2X + 1.

Ответ: 5
Решение.

M(X) = 2. M(2X + 1) = 2·M(X) + 1 = 5.

Ответ: 5.

Ответ:
№ 22 · Тип 6 · # 29871 · 2027 · ★★☆☆☆ 22 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X1234
p0,1?0,30,4

Найдите пропущенную вероятность.

Ответ: 0,2
Решение.

Сумма вероятностей равна 1: 1 − (0,1 + 0,3 + 0,4) = 0,2.

Ответ: 0,2.

Ответ:
№ 23 · Тип 6 · # 29811 · 2027 · ★★☆☆☆ 23 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X04
p0,50,5

Найдите стандартное отклонение X.

Ответ: 2
Решение.

M(X) = 2, M(X²) = 8, D(X) = 4, σ = √D(X) = 2.

Ответ: 2.

Ответ:
№ 24 · Тип 6 · # 29791 · 2027 · ★★☆☆☆ 24 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X13
p0,50,5

Найдите дисперсию X.

Ответ: 1
Решение.

M(X) = 2, M(X²) = 5, D(X) = M(X²) − (M(X))² = 5 − 4 = 1.

Ответ: 1.

Ответ:
№ 25 · Тип 6 · # 29731 · 2027 · ★★☆☆☆ 25 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X025
p0,30,50,2

Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 2
Решение.

M(X) = 0·0,3 + 2·0,5 + 5·0,2 = 2.

Ответ: 2.

Ответ:
№ 26 · Тип 6 · # 29691 · 2027 · ★★☆☆☆ 26 / 55

В лотерее билет выигрывает 100 рублей с вероятностью 0,05 и 10 рублей с вероятностью 0,2, в остальных случаях выигрыша нет. Найдите математическое ожидание выигрыша (в рублях) на один билет.

Ответ: 7
Решение.

M = 100·0,05 + 10·0,2 + 0·0,75 = 5 + 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ:
№ 27 · Тип 6 · # 29671 · 2027 · ★★☆☆☆ 27 / 55

Дисперсия случайной величины X равна 1,5. Найдите дисперсию случайной величины 2X + 7.

Ответ: 6
Решение.

D(2X + 7) = 2²·D(X) = 4·1,5 = 6.

Ответ: 6.

Ответ:
№ 28 · Тип 6 · # 29651 · 2027 · ★★☆☆☆ 28 / 55

Монету бросают два раза. Случайная величина X — число выпавших орлов. Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 1
Решение.

Для биномиального распределения M(X) = np = 2·0,5 = 1.

Ответ: 1.

Ответ:
№ 29 · Тип 6 · # 29631 · 2027 · ★★☆☆☆ 29 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X06
p0,50,5

Найдите стандартное отклонение X.

Ответ: 3
Решение.

M(X) = 3, M(X²) = 18, D(X) = 9, σ = √D(X) = 3.

Ответ: 3.

Ответ:
№ 30 · Тип 6 · # 29611 · 2027 · ★★☆☆☆ 30 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X012
p0,250,50,25

Найдите дисперсию X.

Ответ: 0,5
Решение.

M(X) = 1, M(X²) = 1,5, D(X) = M(X²) − (M(X))² = 1,5 − 1 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ:
№ 31 · Тип 6 · # 29591 · 2027 · ★★☆☆☆ 31 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X-11
p0,50,5

Найдите дисперсию X.

Ответ: 1
Решение.

M(X) = 0, M(X²) = 1, D(X) = M(X²) − (M(X))² = 1 − 0 = 1.

Ответ: 1.

Ответ:
№ 32 · Тип 6 · # 29571 · 2027 · ★★☆☆☆ 32 / 55

Случайная величина X задана таблицей распределения.

X123
p0,20,50,3

Найдите математическое ожидание X.

Ответ: 2,1
Решение.

M(X) = 1·0,2 + 2·0,5 + 3·0,3 = 2,1.

Ответ: 2,1.

Ответ:
№ 33 · Тип 6 · # 28328 · 2027 · ★★★☆☆ 33 / 55

Проводится 10 независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с вероятностью 0,3. Случайная величина — число наступлений события . Найдите дисперсию .

Ответ: 2,1
Решение.

Для схемы Бернулли = 10·0,3·0,7 = 2,1.

Ответ:
№ 34 · Тип 6 · # 28327 · 2027 · ★★★☆☆ 34 / 55

Проводится 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с вероятностью 0,2. Случайная величина — число наступлений события . Найдите дисперсию .

Ответ: 0,8
Решение.

Для схемы Бернулли = 5·0,2·0,8 = 0,8.

Ответ:
№ 35 · Тип 6 · # 28326 · 2027 · ★★★☆☆ 35 / 55

Проводится 4 независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с вероятностью 0,5. Случайная величина — число наступлений события . Найдите дисперсию .

Ответ: 1
Решение.

Для схемы Бернулли = 4·0,5·0,5 = 1.

Ответ:
№ 36 · Тип 6 · # 28325 · 2027 · ★★★☆☆ 36 / 55

Стрелок делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина — число попаданий. Найдите математическое ожидание .

Ответ: 2
Решение.

Для схемы Бернулли = 5·0,4 = 2.

Ответ:
№ 37 · Тип 6 · # 28324 · 2027 · ★★★☆☆ 37 / 55

Стрелок делает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25. Случайная величина — число попаданий. Найдите математическое ожидание .

Ответ: 1
Решение.

Для схемы Бернулли = 4·0,25 = 1.

Ответ:
№ 38 · Тип 6 · # 28323 · 2027 · ★★★☆☆ 38 / 55

Монету подбрасывают 3 раза. Вероятность выпадения орла при каждом броске равна 0,5. Случайная величина — число выпавших орлов. Найдите математическое ожидание .

Ответ: 1,5
Решение.

Для схемы Бернулли = 3·0,5 = 1,5.

Ответ:
№ 39 · Тип 6 · # 28322 · 2027 · ★★★☆☆ 39 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X234
p0,20,20,6

Найдите стандартное отклонение .

Ответ: 0,8
Решение.
0,220,230,64M(X) = 3,4

1) Математическое ожидание: M(X) = 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,6 = 0,4 + 0,6 + 2,4 = 3,4.

2) M(X²) = 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,6 = 0,8 + 1,8 + 9,6 = 12,2.

3) Дисперсия: D(X) = M(X²) − (M(X))² = 12,2 − 11,56 = 0,64.

4) Стандартное отклонение: σ = √D(X) = √0,64 = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ:
№ 40 · Тип 6 · # 28321 · 2027 · ★★★☆☆ 40 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X123
p0,60,20,2

Найдите стандартное отклонение .

Ответ: 0,8
Решение.

= 1,6, = 0,64, = 0,8.

Ответ:
№ 41 · Тип 6 · # 28320 · 2027 · ★★★☆☆ 41 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X145
p0,10,20,7

Найдите стандартное отклонение .

Ответ: 1,2
Решение.

= 4,4, = 1,44, = 1,2.

Ответ:
№ 42 · Тип 6 · # 28319 · 2027 · ★★★☆☆ 42 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения, в которой одна вероятность стёрта.

X147
p0,30,4?

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 4
Решение.

Сумма вероятностей равна 1, значит пропущенная вероятность равна 0,3. Тогда = 4.

Ответ:
№ 43 · Тип 6 · # 28318 · 2027 · ★★★☆☆ 43 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения, в которой одна вероятность стёрта.

X248
p0,350,25?

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 4,9
Решение.

Сумма вероятностей равна 1, значит пропущенная вероятность равна 0,4. Тогда = 4,9.

Ответ:
№ 44 · Тип 6 · # 28317 · 2027 · ★★★☆☆ 44 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения, в которой одна вероятность стёрта.

X3678
p0,3?0,350,2

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 5,85
Решение.

Сумма вероятностей равна 1, значит пропущенная вероятность равна 0,15. Тогда = 5,85.

Ответ:
№ 45 · Тип 6 · # 28316 · 2027 · ★★★☆☆ 45 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения, в которой одна вероятность стёрта.

X0258
p0,50,1?0,1

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 2,5
Решение.

Сумма вероятностей равна 1, значит пропущенная вероятность равна 0,3. Тогда = 2,5.

Ответ:
№ 46 · Тип 6 · # 28315 · 2027 · ★★★☆☆ 46 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X045
p0,30,30,4

Найдите дисперсию .

Ответ: 4,56
Решение.

= 3,2. = 14,8. = 4,56.

Ответ:
№ 47 · Тип 6 · # 28314 · 2027 · ★★★☆☆ 47 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X045
p0,10,80,1

Найдите дисперсию .

Ответ: 1,61
Решение.

= 3,7. = 15,3. = 1,61.

Ответ:
№ 48 · Тип 6 · # 28313 · 2027 · ★★★☆☆ 48 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X016
p0,20,20,6

Найдите дисперсию .

Ответ: 7,36
Решение.

= 3,8. = 21,8. = 7,36.

Ответ:
№ 49 · Тип 6 · # 28312 · 2027 · ★★★☆☆ 49 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X456
p0,20,50,3

Найдите дисперсию .

Ответ: 0,49
Решение.

= 5,1. = 26,5. = 0,49.

Ответ:
№ 50 · Тип 6 · # 28311 · 2027 · ★★★☆☆ 50 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X-2-116
p0,150,750,050,05

Найдите математическое ожидание .

Ответ: -0,7
Решение.

: -2·0,15 + -1·0,75 + 1·0,05 + 6·0,05 = -0,7.

Ответ:
№ 51 · Тип 6 · # 28310 · 2027 · ★★★☆☆ 51 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X-3024
p0,20,10,20,5

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 1,8
Решение.

: -3·0,2 + 0·0,1 + 2·0,2 + 4·0,5 = 1,8.

Ответ:
№ 52 · Тип 6 · # 28309 · 2027 · ★★★☆☆ 52 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X0347
p0,30,30,150,25

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 3,25
Решение.

: 0·0,3 + 3·0,3 + 4·0,15 + 7·0,25 = 3,25.

Ответ:
№ 53 · Тип 6 · # 28308 · 2027 · ★★★☆☆ 53 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X-2137
p0,30,10,450,15

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 1,9
Решение.

: -2·0,3 + 1·0,1 + 3·0,45 + 7·0,15 = 1,9.

Ответ:
№ 54 · Тип 6 · # 28307 · 2027 · ★★★☆☆ 54 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X-1126
p0,20,30,10,4

Найдите математическое ожидание .

Ответ: 2,7
Решение.

: -1·0,2 + 1·0,3 + 2·0,1 + 6·0,4 = 2,7.

Ответ:
№ 55 · Тип 6 · # 28306 · 2027 · ★★★☆☆ 55 / 55

Случайная величина задана таблицей распределения.

X-3-22
p0,30,350,35

Найдите математическое ожидание .

Ответ: -0,9
Решение.

: -3·0,3 + -2·0,35 + 2·0,35 = -0,9.

Ответ: