Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из исходных шести граней убираем два квадрата площадью и добавляем четыре внутренние грани площадью . Площадь равна .
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь полной поверхности получившейся фигуры. 
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Из поверхности куба удалены два квадрата площадью , и добавлены четыре внутренние прямоугольные грани площадью . Итог: .
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро, деля его в отношении , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. 
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
У двух полученных пирамид общая высота к плоскости грани, содержащей разделённое ребро. Их основания делятся в отношении , поэтому объёмы также относятся как . Больший объём равен .
От треугольной призмы, объём которой равен 120, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части. 
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Отсечённая пирамида имеет основание, совпадающее с треугольным основанием призмы, и ту же высоту. Её объём составляет треть объёма призмы: . Оставшаяся часть имеет объём .
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 20. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Радиус 16, высота . Площадь осевого треугольника .
Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса. 
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Радиус . Площадь осевого треугольника .
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём пирамиды. 
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Радиус описанной окружности основания равен 3. Высота , площадь основания . Объём .
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды. 
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Основание высоты лежит на стороне прямоугольника, соответствующей вертикальной грани. Расстояния от него до трёх других сторон равны . Значит размеры прямоугольника и , площадь 24. Объём .
Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Апофема правильного шестиугольника равна , поэтому его сторона 2. Площадь боковой поверхности .
Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Сторона квадратного основания равна 6, высота 3. Площадь боковой поверхности .
Найдите корень уравнения .
, значит и .
, значит и .
Найдите корень уравнения .
, поэтому и . Область определения соблюдена.
, поэтому и . Область определения соблюдена.
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
После возведения в квадрат , откуда и . ОДЗ выполняется.
После возведения в квадрат , откуда и . ОДЗ выполняется.
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Возводим обе части в квадрат: . Отсюда , ; это значение удовлетворяет ОДЗ.
Возводим обе части в квадрат: . Отсюда , ; это значение удовлетворяет ОДЗ.
Найдите корень уравнения .
Запишем степени по основанию 2: . Тогда и .
Запишем степени по основанию 2: . Тогда и .
Найдите корень уравнения .
Приведём степени к основанию 2: . Тогда , откуда .
Приведём степени к основанию 2: . Тогда , откуда .
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Из следует или . Корни: ; меньший — −3.
Из следует или . Корни: ; меньший — −3.
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Из следует , то есть . Меньший корень — −2.
Из следует , то есть . Меньший корень — −2.
Найдите корень уравнения .
, значит и .
, значит и .
Найдите корень уравнения .
. Приравниваем показатели: , откуда .
. Приравниваем показатели: , откуда .
Найдите корень уравнения ⁴ = 3.
2 − x = 3⁴ = 81, поэтому x = 2 − 81 = −79.
Ответ: −79.
2 − x = 3⁴ = 81, поэтому x = 2 − 81 = −79.
Ответ: −79.
Найдите корень уравнения ∛(x + 5) = 8.
x + 5 = 8³ = 512, поэтому x = 507.
Ответ: 507.
x + 5 = 8³ = 512, поэтому x = 507.
Ответ: 507.
Найдите корень уравнения log₅(2x + 3) = 2.
2x + 3 = 5² = 25.
2x = 22, x = 11.
Ответ: 11.
2x + 3 = 5² = 25.
2x = 22, x = 11.
Ответ: 11.
Найдите корень уравнения .
Для действительных чисел равенство четвёртых степеней означает или . Первая ветвь невозможна, вторая даёт , .
Для действительных чисел равенство четвёртых степеней означает или . Первая ветвь невозможна, вторая даёт , .
Найдите корень уравнения .
Разность квадратов равна . Поэтому .
Разность квадратов равна . Поэтому .
Найдите корень уравнения .
При ненулевых знаменателях , откуда . Оба знаменателя равны 41.
При ненулевых знаменателях , откуда . Оба знаменателя равны 41.
Найдите корень уравнения .
При получаем , откуда .
При получаем , откуда .
Найдите корень уравнения .
При ненулевых знаменателях , откуда . Оба знаменателя равны 41.
При ненулевых знаменателях , откуда . Оба знаменателя равны 41.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
Найдите корень уравнения .
При получаем , откуда .
При получаем , откуда .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
. Оба корня допустимы, меньший −2.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
При x≠−13 получаем . Меньший корень −9.
Найдите корень уравнения .
Меняя основание, получаем , откуда .
Меняя основание, получаем , откуда .
Найдите корень уравнения .
Правая часть равна . Поэтому , .
Правая часть равна . Поэтому , .
Найдите корень уравнения .
Область определения . Из получаем , , что входит в область определения.
Область определения . Из получаем , , что входит в область определения.
Найдите корень уравнения .
Так как , получаем , то есть и .
Так как , получаем , то есть и .
Найдите корень уравнения .
Область определения . Переносим логарифмы: . Значит, , , что входит в область определения.
Область определения . Переносим логарифмы: . Значит, , , что входит в область определения.
Найдите корень уравнения .
Так как , имеем . Поэтому , откуда .
Так как , имеем . Поэтому , откуда .
Найдите корень уравнения .
Меняя основание, получаем , откуда .
Меняя основание, получаем , откуда .
Решите уравнение .
, откуда .
, откуда .
Найдите корень уравнения .
Правая часть равна . Поэтому , .
Правая часть равна . Поэтому , .
Решите уравнение .
, поэтому .
, поэтому .
Найдите корень уравнения .
Так как , получаем , то есть и .
Так как , получаем , то есть и .
Найдите корень уравнения .
На ОДЗ получаем . Отсюда .
На ОДЗ получаем . Отсюда .
Найдите корень уравнения .
Так как , имеем . Поэтому , откуда .
Так как , имеем . Поэтому , откуда .
Найдите корень уравнения .
На ОДЗ уравнение равносильно . Получаем .
На ОДЗ уравнение равносильно . Получаем .
Решите уравнение .
, откуда .
, откуда .
Решите уравнение .
, откуда .
, откуда .
Решите уравнение .
, поэтому .
, поэтому .
Решите уравнение .
, поэтому .
, поэтому .
Найдите корень уравнения .
На ОДЗ получаем . Отсюда .
На ОДЗ получаем . Отсюда .
Найдите корень уравнения .
На ОДЗ получаем . Отсюда .
На ОДЗ получаем . Отсюда .
Найдите корень уравнения .
На ОДЗ уравнение равносильно . Получаем .
На ОДЗ уравнение равносильно . Получаем .
Найдите корень уравнения .
На ОДЗ уравнение равносильно . Получаем .
На ОДЗ уравнение равносильно . Получаем .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
ОДЗ: . Уравнение равносильно , то есть . Корни квадратного уравнения −3 и −8; подходит лишь −3.
ОДЗ: . Уравнение равносильно , то есть . Корни квадратного уравнения −3 и −8; подходит лишь −3.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Так как , получаем , то есть . Корни квадратного уравнения и . При ОДЗ подходит только −0,5.
Так как , получаем , то есть . Корни квадратного уравнения и . При ОДЗ подходит только −0,5.
Найдите корень уравнения .
Так как , уравнение равносильно . Следовательно, .
Так как , уравнение равносильно . Следовательно, .
Найдите корень уравнения .
, . Приравнивая показатели, получаем , то есть .
, . Приравнивая показатели, получаем , то есть .
Найдите корень уравнения .
Из следует и . Значит .
Из следует и . Значит .
Найдите корень уравнения .
Так как , имеем .
, поэтому и .
Так как , имеем .
, поэтому и .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
ОДЗ: . Уравнение равносильно , то есть . Корни квадратного уравнения −3 и −8; подходит лишь −3.
ОДЗ: . Уравнение равносильно , то есть . Корни квадратного уравнения −3 и −8; подходит лишь −3.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Так как , получаем , то есть . Корни квадратного уравнения и . При ОДЗ подходит только −0,5.
Так как , получаем , то есть . Корни квадратного уравнения и . При ОДЗ подходит только −0,5.
Найдите корень уравнения .
Так как , уравнение равносильно . Следовательно, .
Так как , уравнение равносильно . Следовательно, .
Найдите корень уравнения .
, . Приравнивая показатели, получаем , то есть .
, . Приравнивая показатели, получаем , то есть .
Найдите корень уравнения .
Из следует и . Значит .
Из следует и . Значит .
Найдите корень уравнения .
Так как , имеем .
, поэтому и .
Так как , имеем .
, поэтому и .
Найдите корень уравнения .
, откуда , .
, откуда , .
Найдите корень уравнения .
, поэтому , .
, поэтому , .
Найдите корень уравнения .
, откуда .
, откуда .
Найдите корень уравнения .
, поэтому .
, поэтому .
Найдите корень уравнения .
, откуда , .
, откуда , .
Найдите корень уравнения .
, поэтому , .
, поэтому , .
Найдите корень уравнения .
, откуда .
, откуда .
Найдите корень уравнения .
, поэтому .
, поэтому .
Найдите корень уравнения .
, , поэтому , .
, , поэтому , .
Найдите корень уравнения .
Запишем . Получаем , .
Запишем . Получаем , .
Найдите корень уравнения .
, поэтому , .
, поэтому , .
Найдите корень уравнения .
Запишем обе части со основанием 2: . Отсюда , .
Запишем обе части со основанием 2: . Отсюда , .
Найдите корень уравнения .
, откуда , .
, откуда , .
Найдите корень уравнения .
, поэтому , .
, поэтому , .
Найдите корень уравнения .
, откуда .
, откуда .
Найдите корень уравнения .
, поэтому .
, поэтому .
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Аргумент равен или . Отсюда или . Наибольший отрицательный корень равен −4,5.
Аргумент равен или . Отсюда или . Наибольший отрицательный корень равен −4,5.
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Аргумент тангенса равен . Поэтому , . Наибольший отрицательный корень соответствует и равен −1,5.
Аргумент тангенса равен . Поэтому , . Наибольший отрицательный корень соответствует и равен −1,5.
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Аргумент равен или . Отсюда или . Наибольший отрицательный корень равен −4,5.
Аргумент равен или . Отсюда или . Наибольший отрицательный корень равен −4,5.
Решите уравнение . В ответе запишите наименьший положительный корень.
, . Наименьший положительный корень .
, . Наименьший положительный корень .
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Аргумент тангенса равен . Поэтому , . Наибольший отрицательный корень соответствует и равен −1,5.
Аргумент тангенса равен . Поэтому , . Наибольший отрицательный корень соответствует и равен −1,5.
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
, откуда . Наибольший отрицательный корень .
, откуда . Наибольший отрицательный корень .
Решите уравнение . В ответе запишите наименьший положительный корень.
, . Наименьший положительный корень .
, . Наименьший положительный корень .
Решите уравнение . В ответе запишите наименьший положительный корень.
, . Наименьший положительный корень .
, . Наименьший положительный корень .
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
, откуда . Наибольший отрицательный корень .
, откуда . Наибольший отрицательный корень .
Решите уравнение . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
, откуда . Наибольший отрицательный корень .
, откуда . Наибольший отрицательный корень .
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Необходимо . После возведения в квадрат . Корень −9 не подходит, так как правая часть отрицательна. Единственный корень −4.
Необходимо . После возведения в квадрат . Корень −9 не подходит, так как правая часть отрицательна. Единственный корень −4.
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
При обе части неотрицательны. После возведения в квадрат , откуда или . Оба подходят, больший равен 0,8.
При обе части неотрицательны. После возведения в квадрат , откуда или . Оба подходят, больший равен 0,8.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Найдите корень уравнения .
, значит , .
, значит , .
Найдите корень уравнения .
После возведения в квадрат , поэтому , .
После возведения в квадрат , поэтому , .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: . После возведения в квадрат , или 9. Корень 9 не подходит, ответ .
ОДЗ: . После возведения в квадрат , или 9. Корень 9 не подходит, ответ .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Необходимо и . После возведения в квадрат получаем : или . Первый корень не удовлетворяет ОДЗ, ответ .
Необходимо и . После возведения в квадрат получаем : или . Первый корень не удовлетворяет ОДЗ, ответ .
Найдите корень уравнения .
, поэтому .
, поэтому .
Найдите корень уравнения .
, откуда .
, откуда .
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наименьший из корней.
Необходимо . После возведения в квадрат получаем , . Корень 2 нарушает условие , корень 6 подходит: .
Необходимо . После возведения в квадрат получаем , . Корень 2 нарушает условие , корень 6 подходит: .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите наибольший из корней.
Необходимо . Возведение в квадрат даёт , . Корень 2 не подходит, корень −5 даёт . Единственный корень −5.
Необходимо . Возведение в квадрат даёт , . Корень 2 не подходит, корень −5 даёт . Единственный корень −5.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Необходимо . После возведения в квадрат . Корень −9 не подходит, так как правая часть отрицательна. Единственный корень −4.
Необходимо . После возведения в квадрат . Корень −9 не подходит, так как правая часть отрицательна. Единственный корень −4.
Найдите корень уравнения .
, значит , .
, значит , .
Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
При обе части неотрицательны. После возведения в квадрат , откуда или . Оба подходят, больший равен 0,8.
При обе части неотрицательны. После возведения в квадрат , откуда или . Оба подходят, больший равен 0,8.
Найдите корень уравнения .
После возведения в квадрат , поэтому , .
После возведения в квадрат , поэтому , .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Необходимо x≤0. Квадрат уравнения даёт . Подходит только x=−8.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
ОДЗ: . После возведения в квадрат , или 9. Корень 9 не подходит, ответ .
ОДЗ: . После возведения в квадрат , или 9. Корень 9 не подходит, ответ .
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Необходимо x≤0. После возведения в квадрат даёт x=−9 или 1. Значение 1 не подходит, единственный корень −9.
Решите уравнение . Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Необходимо и . После возведения в квадрат получаем : или . Первый корень не удовлетворяет ОДЗ, ответ .
Необходимо и . После возведения в квадрат получаем : или . Первый корень не удовлетворяет ОДЗ, ответ .
Найдите корень уравнения .
, значит , .
, значит , .
Найдите корень уравнения .
, поэтому .
, поэтому .
Найдите корень уравнения .
После возведения в квадрат , поэтому , .
После возведения в квадрат , поэтому , .
Найдите корень уравнения .
, откуда .
, откуда .
Решите уравнение log2(x−1)=3.
По определению логарифма x−1=2³=8, откуда x=9.
Ответ: 9.
По определению логарифма x−1=2³=8, откуда x=9.
Ответ: 9.
Решите уравнение 5x−1=125.
125=5³, поэтому x−1=3 и x=4.
Ответ: 4.
125=5³, поэтому x−1=3 и x=4.
Ответ: 4.
Решите уравнение log₉(32x − 1) = 3.
Так как 9 = 3², то log₉(32x − 1) = (2x − 1)/2.
(2x − 1)/2 = 3.
2x − 1 = 6, поэтому x = 3,5.
Ответ: 3,5.
Так как 9 = 3², то log₉(32x − 1) = (2x − 1)/2.
(2x − 1)/2 = 3.
2x − 1 = 6, поэтому x = 3,5.
Ответ: 3,5.
Решите уравнение log₄(26x + 4) = 8.
Так как 4 = 2², то log₄(26x + 4) = (6x + 4)/2.
3x + 2 = 8.
3x = 6, поэтому x = 2.
Ответ: 2.
Так как 4 = 2², то log₄(26x + 4) = (6x + 4)/2.
3x + 2 = 8.
3x = 6, поэтому x = 2.
Ответ: 2.
Найдите корень уравнения 0,252x−1 = 8x+3.
0,25 = 2⁻², 8 = 2³.
−2(2x − 1) = 3(x + 3), то есть −4x + 2 = 3x + 9.
x = −1.
Ответ: −1.
0,25 = 2⁻², 8 = 2³.
−2(2x − 1) = 3(x + 3), то есть −4x + 2 = 3x + 9.
x = −1.
Ответ: −1.
Найдите корень уравнения 23x−5 = 0,25x.
0,25 = 2⁻², поэтому 3x − 5 = −2x.
5x = 5, x = 1.
Ответ: 1.
0,25 = 2⁻², поэтому 3x − 5 = −2x.
5x = 5, x = 1.
Ответ: 1.
Найдите корень уравнения 43x−6 = 0,1252x.
4 = 2², 0,125 = 2⁻³.
26x−12 = 2−6x, поэтому 6x − 12 = −6x.
12x = 12, x = 1.
Ответ: 1.
4 = 2², 0,125 = 2⁻³.
26x−12 = 2−6x, поэтому 6x − 12 = −6x.
12x = 12, x = 1.
Ответ: 1.
Найдите корень уравнения 0,2x−1 = 252x+1.
0,2 = 5⁻¹, 25 = 5².
5−x+1 = 54x+2, поэтому −x + 1 = 4x + 2.
−5x = 1, x = −0,2.
Ответ: −0,2.
0,2 = 5⁻¹, 25 = 5².
5−x+1 = 54x+2, поэтому −x + 1 = 4x + 2.
−5x = 1, x = −0,2.
Ответ: −0,2.
Найдите корень уравнения log₅(13 − 3x) = 2log₅2.
2log₅2 = log₅4, поэтому 13 − 3x = 4.
−3x = −9, откуда x = 3. Область определения выполняется.
Ответ: 3.
2log₅2 = log₅4, поэтому 13 − 3x = 4.
−3x = −9, откуда x = 3. Область определения выполняется.
Ответ: 3.
Найдите корень уравнения (x + 3)³ = −343.
Решение.
(x + 3)³ = −343 = (−7)³.
x + 3 = −7.
x = −10.
Ответ: −10.
Решение.
(x + 3)³ = −343 = (−7)³.
x + 3 = −7.
x = −10.
Ответ: −10.
Найдите корень уравнения (x − 7)³ = 729.
Решение.
(x − 7)³ = 729 = 9³.
x − 7 = 9.
x = 16.
Ответ: 16.
Решение.
(x − 7)³ = 729 = 9³.
x − 7 = 9.
x = 16.
Ответ: 16.
Решите уравнение cos(π(4x + 1)/2) = 0. В ответе запишите наименьший положительный корень.
cos y = 0 при y = π/2 + πk, где k — целое число.
π(4x + 1)/2 = π/2 + πk.
4x + 1 = 1 + 2k, поэтому x = k/2.
Наименьший положительный корень получается при k = 1: x = 0,5.
Ответ: 0,5.
cos y = 0 при y = π/2 + πk, где k — целое число.
π(4x + 1)/2 = π/2 + πk.
4x + 1 = 1 + 2k, поэтому x = k/2.
Наименьший положительный корень получается при k = 1: x = 0,5.
Ответ: 0,5.
Решите уравнение = 2x + 3.
Правая часть должна быть неотрицательной. Возведём обе части в квадрат:
3 − 2x = (2x + 3)², то есть 2x² + 7x + 3 = 0.
Корни: x = −0,5 и x = −3. Второй корень не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: −0,5.
Правая часть должна быть неотрицательной. Возведём обе части в квадрат:
3 − 2x = (2x + 3)², то есть 2x² + 7x + 3 = 0.
Корни: x = −0,5 и x = −3. Второй корень не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: −0,5.
Найдите корень уравнения √(5x) = 2½x. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
√(5x) = (5/2)x. Возведём в квадрат:
5x = (25/4)x².
x(5 − 25x/4) = 0.
x = 0 или x = 5 · 4/25 = 4/5 = 0,8.
Проверка: √(5 · 0,8) = √4 = 2; (5/2) · 0,8 = 2 ✓.
Больший корень: 0,8.
Ответ: 0,8.
Решение.
√(5x) = (5/2)x. Возведём в квадрат:
5x = (25/4)x².
x(5 − 25x/4) = 0.
x = 0 или x = 5 · 4/25 = 4/5 = 0,8.
Проверка: √(5 · 0,8) = √4 = 2; (5/2) · 0,8 = 2 ✓.
Больший корень: 0,8.
Ответ: 0,8.
Найдите корень уравнения √(15x) = 1⅔x. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решение.
√(15x) = (5/3)x. Возведём обе части в квадрат:
15x = (25/9)x².
x(15 − 25x/9) = 0.
x = 0 или x = 15 · 9/25 = 135/25 = 5,4.
Проверка: √(15 · 5,4) = √81 = 9; (5/3) · 5,4 = 9 ✓.
Больший корень: 5,4.
Ответ: 5,4.
Решение.
√(15x) = (5/3)x. Возведём обе части в квадрат:
15x = (25/9)x².
x(15 − 25x/9) = 0.
x = 0 или x = 15 · 9/25 = 135/25 = 5,4.
Проверка: √(15 · 5,4) = √81 = 9; (5/3) · 5,4 = 9 ✓.
Больший корень: 5,4.
Ответ: 5,4.
Найдите корень уравнения = x + 12. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
ОДЗ: −12≤x≤0. −x = (x+12)². x²+25x+144=0. x=−9 (подходит), x=−16 (не в ОДЗ).
ОДЗ: −12≤x≤0. −x = (x+12)². x²+25x+144=0. x=−9 (подходит), x=−16 (не в ОДЗ).
Найдите корень уравнения log₃(5 − 2x) = log₃(1 − 4x) + 1.
1 = log₃3, поэтому правая часть равна log₃(3(1 − 4x)).
5 − 2x = 3 − 12x, откуда 10x = −2 и x = −0,2.
Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: −0,2.
1 = log₃3, поэтому правая часть равна log₃(3(1 − 4x)).
5 − 2x = 3 − 12x, откуда 10x = −2 и x = −0,2.
Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: −0,2.
Найдите корень уравнения 3log₈₁(2x + 5) = 3.
Так как 3 = 811/4, левая часть равна (2x + 5)1/4.
(2x + 5)1/4 = 3, поэтому 2x + 5 = 81.
x = 38.
Ответ: 38.
Так как 3 = 811/4, левая часть равна (2x + 5)1/4.
(2x + 5)1/4 = 3, поэтому 2x + 5 = 81.
x = 38.
Ответ: 38.
Найдите корень уравнения 4log₁₆(3x + 6) = 9.
Так как 4 = 161/2, левая часть равна .
= 9, поэтому 3x + 6 = 81.
x = 25.
Ответ: 25.
Так как 4 = 161/2, левая часть равна .
= 9, поэтому 3x + 6 = 81.
x = 25.
Ответ: 25.
Найдите корень уравнения 1 + log₅(2x + 17) = 2log₅(x + 1). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Решение.
log₅(5) + log₅(2x + 17) = log₅(x + 1)².
log₅(5(2x + 17)) = log₅(x + 1)².
5(2x + 17) = (x + 1)².
10x + 85 = x² + 2x + 1.
x² − 8x − 84 = 0.
D = 64 + 336 = 400. x = (8 ± 20)/2.
x₁ = 14, x₂ = −6.
ОДЗ: 2x + 17 > 0 ⟹ x > −8,5; x + 1 > 0 ⟹ x > −1.
Подходит только x = 14.
Ответ: 14.
Решение.
log₅(5) + log₅(2x + 17) = log₅(x + 1)².
log₅(5(2x + 17)) = log₅(x + 1)².
5(2x + 17) = (x + 1)².
10x + 85 = x² + 2x + 1.
x² − 8x − 84 = 0.
D = 64 + 336 = 400. x = (8 ± 20)/2.
x₁ = 14, x₂ = −6.
ОДЗ: 2x + 17 > 0 ⟹ x > −8,5; x + 1 > 0 ⟹ x > −1.
Подходит только x = 14.
Ответ: 14.
Найдите корень уравнения 27−4x = 64x.
Решение.
64 = 2⁶, поэтому 2⁷⁻⁴ˣ = 2⁶ˣ.
7 − 4x = 6x.
7 = 10x.
x = 0,7.
Ответ: 0,7.
Решение.
64 = 2⁶, поэтому 2⁷⁻⁴ˣ = 2⁶ˣ.
7 − 4x = 6x.
7 = 10x.
x = 0,7.
Ответ: 0,7.
Найдите корень уравнения 162x = 26x−12.
Решение.
16 = 2⁴, поэтому (2⁴)²ˣ = 2⁶ˣ⁻¹².
2⁸ˣ = 2⁶ˣ⁻¹².
8x = 6x − 12.
2x = −12.
x = −6.
Ответ: −6.
Решение.
16 = 2⁴, поэтому (2⁴)²ˣ = 2⁶ˣ⁻¹².
2⁸ˣ = 2⁶ˣ⁻¹².
8x = 6x − 12.
2x = −12.
x = −6.
Ответ: −6.
Найдите корень уравнения 16^(8y+2) = 8^(5−y).
2^(32y+8)=2^(15−3y). 35y=7. y=0,2.
2^(32y+8)=2^(15−3y). 35y=7. y=0,2.
Найдите корень уравнения 4^(x−5) = 8^(4x−2).
2^(2x−10)=2^(12x−6). −10x=4. x=−0,4.
2^(2x−10)=2^(12x−6). −10x=4. x=−0,4.
Найдите корень уравнения (5−x²)⁴ = 256. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
5−x²=±4. x²=1→x=±1; x²=9→x=±3. Меньший: −3.
5−x²=±4. x²=1→x=±1; x²=9→x=±3. Меньший: −3.
Найдите корень уравнения (1−x²)³ = −27. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
1−x²=−3. x²=4. x=±2. Меньший: −2.
1−x²=−3. x²=4. x=±2. Меньший: −2.
Найдите корень уравнения 4^(x−2) = (1/2)^(3x+1).
2^(2x−4) = 2^(−3x−1). 5x=3. x=0,6.
2^(2x−4) = 2^(−3x−1). 5x=3. x=0,6.
Найдите корень уравнения (1/4)^(1−3x) = 2^(x+2).
2^(−2+6x) = 2^(x+2). 5x=4. x=0,8.
2^(−2+6x) = 2^(x+2). 5x=4. x=0,8.
Найдите корень уравнения 2log₃(x+2) = 1 + log₃(4x+8). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
log₃(x+2)² = log₃(3(4x+8)). (x+2)² = 12x+24. x²−8x−20=0. x=10 или x=−2 (не подходит). Ответ: 10.
log₃(x+2)² = log₃(3(4x+8)). (x+2)² = 12x+24. x²−8x−20=0. x=10 или x=−2 (не подходит). Ответ: 10.
Решите уравнение 
Решение.
Возведем в квадрат, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: 
Ответ:
Приведём другое решение.
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов 
Приведём ещё одно решение.
Квадраты двух чисел равны, если сами числа либо равны, либо противоположны:
Решение.
Возведем в квадрат, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
Ответ:
Приведём другое решение.
Разложим на множители, используя формулу разности квадратов
Приведём ещё одно решение.
Квадраты двух чисел равны, если сами числа либо равны, либо противоположны:
Найдите корень уравнения: 
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 13.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 13.
Решите уравнение log₂(x + 5) = log₄(1 − x). Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите наименьший из них.
Область допустимых значений: −5 < x < 1.
log₄(1 − x) = 1/2·log₂(1 − x), поэтому 2log₂(x + 5) = log₂(1 − x).
(x + 5)² = 1 − x. Получаем x² + 11x + 24 = 0, откуда x = −3 или x = −8.
Условию ОДЗ удовлетворяет только x = −3.
Ответ: −3.
Область допустимых значений: −5 < x < 1.
log₄(1 − x) = 1/2·log₂(1 − x), поэтому 2log₂(x + 5) = log₂(1 − x).
(x + 5)² = 1 − x. Получаем x² + 11x + 24 = 0, откуда x = −3 или x = −8.
Условию ОДЗ удовлетворяет только x = −3.
Ответ: −3.
Решите уравнение cos(π(2x − 6)/6) = /2. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.
Уравнение равносильно cos(π(x − 3)/3) = /2.
π(x − 3)/3 = ±π/6 + 2πk.
x = 3,5 + 6k или x = 2,5 + 6k. Наибольшие отрицательные значения получаются при k = −1: −2,5 и −3,5.
Наибольший отрицательный корень равен −2,5.
Ответ: −2,5.
Уравнение равносильно cos(π(x − 3)/3) = /2.
π(x − 3)/3 = ±π/6 + 2πk.
x = 3,5 + 6k или x = 2,5 + 6k. Наибольшие отрицательные значения получаются при k = −1: −2,5 и −3,5.
Наибольший отрицательный корень равен −2,5.
Ответ: −2,5.