Тип 14. Уравнения повышенной сложности

Пусть . После деления на уравнение равносильно . Первый множитель не равен нулю при , значит . Получаем . Для заданного отрезка .

Пусть . Деление на даёт . Первый множитель не может быть нулём при , поэтому . Получаем . На заданном отрезке .

Пусть . После деления на уравнение равносильно . Первый множитель не равен нулю при , значит . Получаем . Для заданного отрезка .

Пусть . После деления на уравнение равносильно . Первый множитель не равен нулю при , значит . Получаем . Для заданного отрезка .

Пусть . Деление на даёт . Первый множитель не может быть нулём при , поэтому . Получаем . На заданном отрезке .

Пусть . Деление на даёт . Первый множитель не может быть нулём при , поэтому . Получаем . На заданном отрезке .

ОДЗ: . Пусть . Тогда , поэтому или . Получаем или , то есть или . Отбор даёт перечисленные пять корней.

ОДЗ: . При имеем . Уравнение даёт , то есть или . Отбор на указанном отрезке даёт и .

ОДЗ: . Пусть . Тогда , поэтому или . Получаем или , то есть или . Отбор даёт перечисленные пять корней.

ОДЗ: . При имеем . Уравнение даёт , то есть или . Отбор на указанном отрезке даёт и .

Первый множитель равен нулю при , то есть или . Во втором , поэтому и . Отсюда или . На заданном отрезке остаются .

Первый множитель обращается в нуль при , откуда . Во втором множителе , поэтому и . Отсюда , . На данном отрезке остаются и .

Правая часть равна . Переносим влево и выносим : . При получаем . Иначе, положив , решаем ; допустимый корень . Отсюда или . На отрезке лежат .

Правая часть равна . После переноса . При имеем . Иначе с решаем : допустим только (второй корень больше 1). Отсюда или . На заданном отрезке лежат .

Используем . Левая часть равна . Поэтому либо : , или при целых параметрах. На отрезке остаются .

Используем . Исходное уравнение преобразуется:

, то есть .

Отсюда , либо , либо , где параметры целые.

На отрезке остаются корни .

Первый множитель равен нулю при , то есть или . Во втором , поэтому и . Отсюда или . На заданном отрезке остаются .

Первый множитель обращается в нуль при , откуда . Во втором множителе , поэтому и . Отсюда , . На данном отрезке остаются и .

Правая часть равна . Переносим влево и выносим : . При получаем . Иначе, положив , решаем ; допустимый корень . Отсюда или . На отрезке лежат .

Правая часть равна . После переноса . При имеем . Иначе с решаем : допустим только (второй корень больше 1). Отсюда или . На заданном отрезке лежат .

Используем . Левая часть равна . Поэтому либо : , или при целых параметрах. На отрезке остаются .

Используем . Исходное уравнение преобразуется:

, то есть .

Отсюда , либо , либо , где параметры целые.

На отрезке остаются корни .

ОДЗ: или . Корень первого множителя — . Для второго положим : откуда либо . Последний даёт вне ОДЗ; даёт . Из найденных корней на находится только .

ОДЗ квадратного корня: , то есть . Первый множитель равен нулю при . Во втором положим ; получаем , откуда либо . Значение даёт вне ОДЗ, а даёт . Все три допустимых корня лежат на отрезке .

Знаменатель равен , так что . Числитель . После сокращения получаем или . Корень нарушает ОДЗ; остаётся . Следовательно, либо , где . На указанном отрезке находятся .

ОДЗ: , то есть . По формулам и исходное уравнение равносильно при соблюдении ОДЗ. С получаем ; нарушает ОДЗ, остаётся . Значит или . На отрезке лежат .

ОДЗ: . Положим . Тогда и . Уравнение принимает вид и даёт или . Значит либо . Из них указанному отрезку принадлежат .

Область определения: . Положим . Тогда и . Уравнение становится ; его корни и . Отсюда либо . На указанном отрезке лежат три корня: .

Тождество при , даёт произведение косинусов . Уравнение равносильно . Значит или . Все решения: , , при целых n, k, m. На отрезке остаются .

Используем тождество . При , произведение двух синусов равно . Уравнение сводится к . Следовательно, либо . Все корни: и при целых n, k. На остаются .

Используем и . Получаем . При имеем , то есть или . Отсюда либо . На остаются .

а) Используем тождество при , а также . Получаем .

. Отсюда три серии решений: ; ; .

б) Отбирая корни на , получаем .

а) Область определения: . Положим . Тогда , . Подстановка в напечатанное уравнение даёт , поэтому . Получаем и .
б) Из следует , поэтому ; при этом . Для второго корня , поэтому . Оба корня принадлежат отрезку .
Примечание: ответы и из таблицы соответствуют коэффициенту 16, а не напечатанному коэффициенту 4 перед вторым логарифмом. В ответ включены корни исходного уравнения.

Область определения: . При имеем , . Получаем , откуда или . Значит, или . На указанном отрезке лежит только .

Область определения . Первый множитель даёт , допустим только . Второй множитель обращается в ноль при , то есть . Допустим . На отрезке лежит только .

При введём . Тогда и . Получаем , откуда . Это не даёт корней из печатного ключа. Примечание: для напечатанного уравнения ответы и , оба лежат на отрезке . Значения и из ключа соответствовали бы коэффициенту 16 вместо 4 перед вторым логарифмом.

Область определения . Первый множитель даёт , допустим только . Второй множитель обращается в ноль при , то есть . Допустим . На отрезке лежит только .

Область определения: . При имеем , . Получаем , откуда или . Значит, или . На указанном отрезке лежит только .

а) Область определения: . Положим . Тогда , . Подстановка в напечатанное уравнение даёт , поэтому . Получаем и .
б) Из следует , поэтому ; при этом . Для второго корня , поэтому . Оба корня принадлежат отрезку .
Примечание: ответы и из таблицы соответствуют коэффициенту 16, а не напечатанному коэффициенту 4 перед вторым логарифмом. В ответ включены корни исходного уравнения.

При положим . Получаем , или . Корни дают . На заданном отрезке лежит только 0,5.

Область определения: . При имеем , . Получаем , откуда или . Значит, или . На указанном отрезке лежит только .

ОДЗ: . Пусть . Получаем , то есть . Корни и , поэтому или . В заданном отрезке лежит только .

При положим . Получаем , или . Корни дают . На заданном отрезке лежит только 0,5.

При положим . Получаем , или . Корни дают . На заданном отрезке лежит только 0,5.

ОДЗ: . Пусть . Получаем , то есть . Корни и , поэтому или . В заданном отрезке лежит только .

ОДЗ: . Пусть . Получаем , то есть . Корни и , поэтому или . В заданном отрезке лежит только .

Первый множитель даёт . Второй равен , откуда . На отрезке лежат и .

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

На ОДЗ делим на и положим . Уравнение имеет корни 2 и 3. Поэтому или . На заданном отрезке лежит только первый корень.

При делим на и вводим . Уравнение даёт или 3. Поэтому либо , либо . Оба корня лежат на .

Разделим на и положим . Получаем , то есть . Корни и дают и . Оба лежат на заданном отрезке.

После деления на и замены получаем . Отсюда , или . Следовательно, или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

Первый множитель даёт . Второй равен , откуда . На отрезке лежат и .

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

Разделив на , положим . Получаем , откуда t=5/2 или 4. Значит x=1 или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

На ОДЗ делим на и положим . Уравнение имеет корни 2 и 3. Поэтому или . На заданном отрезке лежит только первый корень.

Разделим на и положим . Получаем , откуда или . Поэтому x=−2 или −1; в заданном отрезке лежит только −1.

При делим на и вводим . Уравнение даёт или 3. Поэтому либо , либо . Оба корня лежат на .

На ОДЗ делим на и положим . Уравнение имеет корни 2 и 3. Поэтому или . На заданном отрезке лежит только первый корень.

Разделим на и положим . Получаем , то есть . Корни и дают и . Оба лежат на заданном отрезке.

При делим на и вводим . Уравнение даёт или 3. Поэтому либо , либо . Оба корня лежат на .

После деления на и замены получаем . Отсюда , или . Следовательно, или . Оба корня принадлежат указанному отрезку.

После переноса влево и применения формулы двойного угла получаем . Отсюда , либо , либо , где индексы целые. На отрезке остаются .

Используем . После переноса влево получаем . Значит, или , где . На указанном отрезке лежат .

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

Положим . Получаем . Следовательно, либо 1. Отсюда или . На отрезке остаются , , .

Положим . Получаем . Поэтому или , то есть либо . Отбор даёт , , .

Аргумент равен . Используем : , . Следовательно, . Отбор на отрезке даёт , , .

Произведение синусов равно , его квадрат . Правая часть . Поэтому , или . Общие решения . На отрезке лежат .

Аргумент логарифма должен равняться . После замены получаем , . Значит, . На отрезке подходят , что даёт корни из ответа.

Левая часть равна , правая — . Получаем . Поэтому , , . На отрезке остаются .

Положим . Из получаем . Корни и ; второй невозможен. Поэтому . На указанном отрезке лежит только .

Используя , получаем . Общие решения , , . На отрезке остаются .

Так как , уравнение принимает вид . Его корни относительно : и . Первое значение невозможно. Поэтому или . На заданном отрезке подходят и .

Уравнение равносильно . Поэтому или , где индексы целые. Отбор даёт .

Используем , , . Получаем . Отсюда или . На указанном отрезке остаются семь корней из ответа.

После переноса влево и применения формулы двойного угла получаем . Отсюда , либо , либо , где индексы целые. На отрезке остаются .

Получаем , то есть . Отсюда или . Отбор на указанном отрезке даёт семь значений, перечисленных в ответе.

Используем . После переноса влево получаем . Значит, или , где . На указанном отрезке лежат .

Переносим всё в одну сторону и используем , . Получаем . Отсюда , , . На заданном отрезке подходят , , .

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

Так как и , уравнение равносильно . Оба множителя по модулю не превосходят 1. При синусе 1 получаем , и косинус действительно равен 1. При синусе −1 получается , но косинус равен 1, поэтому эта ветвь не подходит. На заданном отрезке .

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

Произведение синусов равно , его квадрат . Правая часть . Поэтому , или . Общие решения . На отрезке лежат .

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

Левая часть равна , правая — . Получаем . Поэтому , , . На отрезке остаются .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

Используя , получаем . Общие решения , , . На отрезке остаются .

Преобразование даёт . Отсюда или . В заданном отрезке лежат .

Уравнение равносильно . Поэтому или , где индексы целые. Отбор даёт .

Уравнение преобразуется к . Отсюда , , . Отбор на отрезке даёт .

После переноса влево и применения формулы двойного угла получаем . Отсюда , либо , либо , где индексы целые. На отрезке остаются .

Используем чётность косинуса и нечётность синуса: . Поэтому , или . На заданном отрезке лежат и .

Используем . После переноса влево получаем . Значит, или , где . На указанном отрезке лежат .

. Уравнение равносильно , то есть или . Отбор на отрезке даёт .

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

. Поэтому x=π/2+πk или x=3π/4+πn. Отбор даёт 7π/2,15π/4,9π/2.

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

. Поэтому x=πk или x=π/4+πn. На заданном отрезке лежат −3π, −11π/4, −2π.

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

Уравнение равносильно . Поэтому или . В заданном отрезке лежат .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

После приведения аргументов . Отсюда или . На заданном отрезке получаем .

Преобразование даёт . Отсюда или . В заданном отрезке лежат .

Преобразование даёт . Отсюда или . В заданном отрезке лежат .

Уравнение преобразуется к . Отсюда , , . Отбор на отрезке даёт .

Уравнение преобразуется к . Отсюда , , . Отбор на отрезке даёт .

Используем чётность косинуса и нечётность синуса: . Поэтому , или . На заданном отрезке лежат и .

Используем чётность косинуса и нечётность синуса: . Поэтому , или . На заданном отрезке лежат и .

. Уравнение равносильно , то есть или . Отбор на отрезке даёт .

. Уравнение равносильно , то есть или . Отбор на отрезке даёт .

Область определения: x > −9. Положим t=log₂(x + 9). Тогда t²−4t=0, то есть t(t−4)=0.

При t=0: x+9=1, x=-8. При t=4: x+9=16, x=7.

а) -8; 7. б) -8; 7.

Область определения: x > −2. Положим t=log₃(x + 2). Тогда t²−6t+8=0, то есть (t−2)(t−4)=0.

При t=2: x+2=9, x=7. При t=4: x+2=81, x=79.

а) 7; 79. б) 7; 79.

Область определения: x > −4. Положим t=log₅(x + 4). Тогда t²−4t+3=0, то есть (t−1)(t−3)=0.

При t=1: x+4=5, x=1. При t=3: x+4=125, x=121.

а) 1; 121. б) 1; 121.

Область определения: x > −1. Положим t=log₂(x + 1). Тогда t²−8t+15=0, то есть (t−3)(t−5)=0.

При t=3: x+1=8, x=7. При t=5: x+1=32, x=31.

а) 7; 31. б) 7; 31.

Область определения: x > −6. Положим t=log₃(x + 6). Тогда t²−3t+2=0, то есть (t−1)(t−2)=0.

При t=1: x+6=3, x=-3. При t=2: x+6=9, x=3.

а) -3; 3. б) -3; 3.

Область определения: x > −3. Положим t=log₄(x + 3). Тогда t²−2t=0, то есть t(t−2)=0.

При t=0: x+3=1, x=-2. При t=2: x+3=16, x=13.

а) -2; 13. б) -2; 13.

Область определения: x > −7. Положим t=log₂(x + 7). Тогда t²−6t+5=0, то есть (t−1)(t−5)=0.

При t=1: x+7=2, x=-5. При t=5: x+7=32, x=25.

а) -5; 25. б) -5; 25.

Область определения: x > −4. Положим t=log₃(x + 4). Тогда t²−3t=0, то есть t(t−3)=0.

При t=0: x+4=1, x=-3. При t=3: x+4=27, x=23.

а) -3; 23. б) -3; 23.

Область определения: x > −2. Положим t=log₅(x + 2). Тогда t²−2t=0, то есть t(t−2)=0.

При t=0: x+2=1, x=-1. При t=2: x+2=25, x=23.

а) -1; 23. б) -1; 23.

Область определения: x > −5. Положим t=log₂(x + 5). Тогда t²−6t+8=0, то есть (t−2)(t−4)=0.

При t=2: x+5=4, x=-1. При t=4: x+5=16, x=11.

а) -1; 11. б) 11.

Область определения: x > −1. Положим t=log₃(x + 1). Тогда t²−4t+3=0, то есть (t−1)(t−3)=0.

При t=1: x+1=3, x=2. При t=3: x+1=27, x=26.

а) 2; 26. б) 2; 26.

Область определения: x > −3. Положим t=log₂(x + 3). Тогда t²−2t=0, то есть t(t−2)=0.

При t=0: x+3=1, x=-2. При t=2: x+3=4, x=1.

а) -2; 1. б) -2; 1.

Положим t = 2^x+2, t > 0. Тогда t² − 68t + 256=0, то есть (t − 4)(t − 64)=0.

Следовательно, x+2=2 или x+2=6. а) x=0 или x=4.

б) На отрезке [-1; 5]: 0; 4.

Положим t = 3^x+1, t > 0. Тогда t² − 90t + 729=0, то есть (t − 9)(t − 81)=0.

Следовательно, x+1=2 или x+1=4. а) x=1 или x=3.

б) На отрезке [0; 4]: 1; 3.

Положим t = 5^x+2, t > 0. Тогда t² − 126t + 125=0, то есть (t − 1)(t − 125)=0.

Следовательно, x+2=0 или x+2=3. а) x=-2 или x=1.

б) На отрезке [-3; 2]: -2; 1.

Положим t = 2^x+4, t > 0. Тогда t² − 34t + 64=0, то есть (t − 2)(t − 32)=0.

Следовательно, x+4=1 или x+4=5. а) x=-3 или x=1.

б) На отрезке [-4; 2]: -3; 1.

Положим t = 3^x+3, t > 0. Тогда t² − 82t + 81=0, то есть (t − 1)(t − 81)=0.

Следовательно, x+3=0 или x+3=4. а) x=-3 или x=1.

б) На отрезке [-4; 2]: -3; 1.

Положим t = 4^x+2, t > 0. Тогда t² − 17t + 16=0, то есть (t − 1)(t − 16)=0.

Следовательно, x+2=0 или x+2=2. а) x=-2 или x=0.

б) На отрезке [-3; 1]: -2; 0.

Положим t = 2^x+1, t > 0. Тогда t² − 36t + 128=0, то есть (t − 4)(t − 32)=0.

Следовательно, x+1=2 или x+1=5. а) x=1 или x=4.

б) На отрезке [0; 5]: 1; 4.

Положим t = 3^x+2, t > 0. Тогда t² − 30t + 81=0, то есть (t − 3)(t − 27)=0.

Следовательно, x+2=1 или x+2=3. а) x=-1 или x=1.

б) На отрезке [-2; 2]: -1; 1.

Положим t = 5^x+1, t > 0. Тогда t² − 26t + 25=0, то есть (t − 1)(t − 25)=0.

Следовательно, x+1=0 или x+1=2. а) x=-1 или x=1.

б) На отрезке [-1; 3]: -1; 1.

Положим t = 2^x+3, t > 0. Тогда t² − 18t + 32=0, то есть (t − 2)(t − 16)=0.

Следовательно, x+3=1 или x+3=4. а) x=-2 или x=1.

б) На отрезке [-2; 2]: -2; 1.

Положим t = 3^x+1, t > 0. Тогда t² − 10t + 9=0, то есть (t − 1)(t − 9)=0.

Следовательно, x+1=0 или x+1=2. а) x=-1 или x=1.

б) На отрезке [-2; 2]: -1; 1.

Положим t = 2^x+2, t > 0. Тогда t² − 9t + 8=0, то есть (t − 1)(t − 8)=0.

Следовательно, x+2=0 или x+2=3. а) x=-2 или x=1.

б) На отрезке [-3; 2]: -2; 1.

Положим t = cos(x + π/3). Получаем квадратное уравнение 2t² − 1t − 1=0, откуда cos(x + π/3) = 1 и cos(x + π/3) = −1/2.

а) Общее решение: x = −π/3 + 2πn; x = π/3 + 2πn; x = π + 2πn, n ∈ Z.

б) На указанном отрезке получаем: −5π/3; −π; −π/3; π/3; π; 5π/3.

Положим t = sin(x + 2π/3). Получаем квадратное уравнение 2t² + 3t + 1=0, откуда sin(x + 2π/3) = −1 и sin(x + 2π/3) = −1/2.

а) Общее решение: x = π/2 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.

б) На указанном отрезке получаем: π/2; 5π/6; 7π/6; 5π/2; 17π/6; 19π/6.

Положим t = cos(x − π/4). Получаем квадратное уравнение 4t² − 1=0, откуда cos(x − π/4) = 1/2 и cos(x − π/4) = −1/2.

а) Общее решение: x = 7π/12 + 2πn; x = 11π/12 + 2πn; x = 19π/12 + 2πn; x = 23π/12 + 2πn, n ∈ Z.

б) На указанном отрезке получаем: −5π/12; −π/12; 7π/12; 11π/12; 19π/12; 23π/12; 31π/12; 35π/12.

Положим t = sin(x + π/3). Получаем квадратное уравнение 2t² − 1t − 1=0, откуда sin(x + π/3) = 1 и sin(x + π/3) = −1/2.

а) Общее решение: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = 3π/2 + 2πn, n ∈ Z.

б) На указанном отрезке получаем: −5π/2; −11π/6; −7π/6; −π/2; π/6; 5π/6.

Положим t = cos(x + π/6). Получаем квадратное уравнение 2t² + 1t=0, откуда cos(x + π/6) = 0 и cos(x + π/6) = −1/2.

а) Общее решение: x = π/3 + 2πn; x = π/2 + 2πn; x = 7π/6 + 2πn; x = 4π/3 + 2πn, n ∈ Z.

б) На указанном отрезке получаем: π/3; π/2; 7π/6; 4π/3; 7π/3; 5π/2.