В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь нижнего основания в девять раз больше площади меньшего основания . Через ребро проведена плоскость , которая пересекает ребро в точке и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка делит ребро в отношении , считая от точки .
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью , если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.
а) Пусть нижняя площадь , высота , . Полный объём . Нижняя часть имеет объём . Равенство половине даёт , значит, .
б) Нижняя сторона 9, высота нижнего треугольника . Проекция удалена от на этой высоты. Проекция удалена на . Высота над основанием . Высота треугольника равна . Площадь .
а) Пусть нижняя площадь , высота , . Полный объём . Нижняя часть имеет объём . Равенство половине даёт , значит, .
б) Нижняя сторона 9, высота нижнего треугольника . Проекция удалена от на этой высоты. Проекция удалена на . Высота над основанием . Высота треугольника равна . Площадь .
В правильной треугольной усечённой пирамиде площадь нижнего основания в четыре раза больше площади меньшего основания . Через ребро проведена плоскость , которая пересекает ребро в точке и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.
а) Докажите, что точка делит ребро в отношении , считая от точки .
б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью , если высота пирамиды равна , а ребро меньшего основания равно .
а) Пусть площадь нижнего основания , высота усечённой пирамиды , . Площадь верхнего основания . Объём усечённой пирамиды . Нижняя часть — тетраэдр объёма . Равенство половине полного объёма даёт , поэтому .
б) Нижняя сторона , нижняя высота треугольника . Проекция на основание удалена от на . Поэтому проекция удалена на , а высота над основанием равна . Высота треугольника к стороне равна . Площадь .
а) Пусть площадь нижнего основания , высота усечённой пирамиды , . Площадь верхнего основания . Объём усечённой пирамиды . Нижняя часть — тетраэдр объёма . Равенство половине полного объёма даёт , поэтому .
б) Нижняя сторона , нижняя высота треугольника . Проекция на основание удалена от на . Поэтому проекция удалена на , а высота над основанием равна . Высота треугольника к стороне равна . Площадь .
Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Обозначим вершину , центр основания . Образующая . Выбираем на окружности основания точки так, чтобы ; тогда , и . Искомое сечение — треугольник .
Пусть — середина . Тогда , , . Расстояние от до плоскости равно высоте из на в прямоугольном треугольнике : .
Обозначим вершину , центр основания . Образующая . Выбираем на окружности основания точки так, чтобы ; тогда , и . Искомое сечение — треугольник .
Пусть — середина . Тогда , , . Расстояние от до плоскости равно высоте из на в прямоугольном треугольнике : .
В правильной восьмиугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно 6. На ребре отмечена точка , так что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки и .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка , а основанием — сечение призмы плоскостью .
Положим , выберем , , , , , , . Направление параллельно . Плоскость через имеет уравнение . Сечение — , где лежит на . Основания и параллельны, боковые стороны , поэтому трапеция равнобедренная.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль имеет длину , поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Положим , выберем , , , , , , . Направление параллельно . Плоскость через имеет уравнение . Сечение — , где лежит на . Основания и параллельны, боковые стороны , поэтому трапеция равнобедренная.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль имеет длину , поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .
б) Найдите угол между плоскостями и .
а) Вектор : это следует из и . Так как плоскость содержит и направление , она содержит направление . Прямая не лежит в ней, поэтому параллельна ей.
б) Выберем , , , . Нормали к и можно выбрать , . Их скалярное произведение 124, длины 14 и . Косинус угла .
а) Вектор : это следует из и . Так как плоскость содержит и направление , она содержит направление . Прямая не лежит в ней, поэтому параллельна ей.
б) Выберем , , , . Нормали к и можно выбрать , . Их скалярное произведение 124, длины 14 и . Косинус угла .
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна 3, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что , а .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и .
Выберем , , . Тогда , . Скалярное произведение и равно .
Нормали к плоскостям можно выбрать и . Поэтому , откуда .
Выберем , , . Тогда , . Скалярное произведение и равно .
Нормали к плоскостям можно выбрать и . Поэтому , откуда .
В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна , а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что , а .
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями и .
Пусть . Выберем , , . Тогда , . Векторы и имеют скалярное произведение , значит, прямые перпендикулярны.
Нормаль к можно выбрать , а к — . Косинус острого угла между плоскостями , угол равен .
Пусть . Выберем , , . Тогда , . Векторы и имеют скалярное произведение , значит, прямые перпендикулярны.
Нормаль к можно выбрать , а к — . Косинус острого угла между плоскостями , угол равен .
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 5. На ребре отмечена точка , причём . Плоскость содержит точку и параллельна плоскости .
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка , а основанием — сечение пирамиды плоскостью .
Выберем , , , , , где . Тогда ; плоскость имеет уравнение . Сечение состоит из , , и . Стороны и параллельны, их длины 4 и 1, значит, это трапеция.
Расстояние между её основаниями . Площадь . Расстояние от до плоскости . Объём .
Выберем , , , , , где . Тогда ; плоскость имеет уравнение . Сечение состоит из , , и . Стороны и параллельны, их длины 4 и 1, значит, это трапеция.
Расстояние между её основаниями . Площадь . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 6, боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является , а основанием — это сечение.
Возьмём , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны, длины 12 и 6, боковые стороны , значит, это равнобедренная трапеция.
Площадь горизонтальной проекции равна . Длина нормали , вертикальная компонента 3, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Возьмём , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны, длины 12 и 6, боковые стороны , значит, это равнобедренная трапеция.
Площадь горизонтальной проекции равна . Длина нормали , вертикальная компонента 3, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 6, боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является , а основанием — это сечение.
Возьмём , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны, длины 12 и 6, боковые стороны , значит, это равнобедренная трапеция.
Площадь горизонтальной проекции равна . Длина нормали , вертикальная компонента 3, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Возьмём , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны, длины 12 и 6, боковые стороны , значит, это равнобедренная трапеция.
Площадь горизонтальной проекции равна . Длина нормали , вертикальная компонента 3, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 4, боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является , а основанием — это сечение.
Возьмём , , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны и имеют длины 8 и 4; боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль плоскости имеет длину , вертикальная компонента 4, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Возьмём , , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны и имеют длины 8 и 4; боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль плоскости имеет длину , вертикальная компонента 4, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 4, боковое ребро равно . На ребре отмечена точка так, что . Плоскость параллельна прямой и проходит через точки .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — равнобедренная трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является , а основанием — это сечение.
Возьмём , , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны и имеют длины 8 и 4; боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль плоскости имеет длину , вертикальная компонента 4, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
Возьмём , , , , , . Тогда , плоскость . Сечение , где на . Основания параллельны и имеют длины 8 и 4; боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Площадь её горизонтальной проекции равна . Нормаль плоскости имеет длину , вертикальная компонента 4, поэтому площадь сечения . Расстояние от до плоскости . Объём .
В правильной треугольной призме точки и — соответственно середины рёбер и . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
В правильной треугольной призме точки и — соответственно середины рёбер и . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
В правильной треугольной призме точки и — соответственно середины рёбер и . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью является равнобедренной трапецией.
б) Найдите угол между прямой и плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
Возьмём , , , высоту призмы обозначим . Уравнение плоскости через , параллельной , имеет вид . Она пересекает в его середине , а — в середине . Сечение имеет параллельные основания длиной и , и равные боковые стороны . Это равнобедренная трапеция.
Нормаль плоскости . Для угла с вертикальной прямой имеем . При получаем , поэтому .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с прямым углом . Высота пирамиды проходит через вершину .
а) Докажите, что середина ребра равноудалена от вершин и .
б) Найдите угол между прямой, проходящей через середины рёбер и , и плоскостью , если .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
Выберем координаты , , , . Середина — точка . Имеем , что доказывает пункт а).
Середина — , а плоскость задаётся уравнением . Вектор , поэтому . При получаем .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами , . Длины боковых рёбер , , .
а) Докажите, что — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми и .
Из и следует , , значит, — высота.
При , , , векторы , . Модуль скалярного произведения 28, длины 11 и 10. Косинус угла .
Из и следует , , значит, — высота.
При , , , векторы , . Модуль скалярного произведения 28, длины 11 и 10. Косинус угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В основании четырёхугольной пирамиды лежит прямоугольник со сторонами , . Длины боковых рёбер , , .
а) Докажите, что — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми и .
Из и следует , , значит, — высота.
При , , , векторы , . Модуль скалярного произведения 28, длины 11 и 10. Косинус угла .
Из и следует , , значит, — высота.
При , , , векторы , . Модуль скалярного произведения 28, длины 11 и 10. Косинус угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/√6, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно 2, а сторона основания равна . Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 2 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая при z=0 даёт t=2/, точку на AC с AP:PC=2:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=√3/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной призме с основанием ABCD боковое ребро равно , а сторона основания равна 2. Через точку перпендикулярно плоскости проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок AC и делит его в отношении 3 : 1.
б) Найдите угол между прямыми l и .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
Возьмём , , , . Нормаль к пропорциональна . Прямая l: . При z=0 имеем t=/2 и точку P=(3/2;3/2;0) на AC, причём AP:PC=3:1. Направление . Косинус острого угла .
В правильной треугольной призме точка — середина ребра , а . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости , если .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что . Через точки и проведена плоскость , перпендикулярная плоскости .
а) Докажите, что плоскость делит медиану в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Пусть — центр основания, . Из получаем . Проекции лежат на на четверти пути от к . След плоскости параллелен и пересекает медиану в , для которого . Поэтому , . Отношение (если считать от , отношение ).
Медиана , поэтому . Так как плоскость вертикальна, расстояние от до неё равно расстоянию от до следа, то есть .
Пусть — центр основания, . Из получаем . Проекции лежат на на четверти пути от к . След плоскости параллелен и пересекает медиану в , для которого . Поэтому , . Отношение (если считать от , отношение ).
Медиана , поэтому . Так как плоскость вертикальна, расстояние от до неё равно расстоянию от до следа, то есть .
Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах и отмечены соответственно точки и так, что . Через точки и проведена плоскость , перпендикулярная плоскости .
а) Докажите, что плоскость делит медиану в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Пусть — пересечение с медианой , а — центр основания. Так как , имеем , а проекции делят отрезки в отношении от . В треугольнике положение их средней точки даёт . Поскольку , получаем , , то есть (если считать от , отношение ).
Медиана основания , поэтому . Плоскость вертикальна и её след параллелен , значит, расстояние от до неё равно .
Пусть — пересечение с медианой , а — центр основания. Так как , имеем , а проекции делят отрезки в отношении от . В треугольнике положение их средней точки даёт . Поскольку , получаем , , то есть (если считать от , отношение ).
Медиана основания , поэтому . Плоскость вертикальна и её след параллелен , значит, расстояние от до неё равно .
В правильной треугольной призме все рёбра равны 6. Точка — середина ребра . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении , считая от вершины .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
В правильной треугольной призме точка — середина ребра , а . Плоскость проходит через точки и параллельно прямой .
а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении .
б) Найдите расстояние от точки до плоскости , если .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
Положим , , , а верхние вершины имеют высоту 6. Тогда , , направляющий вектор . Уравнение искомой плоскости: .
Точки ребра имеют координаты , . Подстановка даёт , то есть . Отношение равно .
Расстояние от до плоскости равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2;0), N=(5;;0), K=(3/2;3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2;0), N=(5;;0), K=(3/2;3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2√3;0), N=(5;√3;0), K=(3/2;3√3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что , точка K — середина ребра .
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину .
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости KMN, если , .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2;0), N=(5;;0), K=(3/2;3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В координатах , , , высота H. Тогда M=(2;2;0), N=(5;;0), K=(3/2;3/2;H). Их плоскость содержит . При H=12/5 расстояние от C равно .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .
Возьмём , , , . Высота 3 следует из . Тогда , . Проекция лежит на : её вектор от равен вектора . Плоскость содержит вертикальную прямую и перпендикулярна основанию.
Площадь , высота . Объём .
Возьмём , , , . Высота 3 следует из . Тогда , . Проекция лежит на : её вектор от равен вектора . Плоскость содержит вертикальную прямую и перпендикулярна основанию.
Площадь , высота . Объём .
В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8. Точка — середина ребра . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки . Прямая пересекает плоскость в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите объём пирамиды .
Выберем , , , , . Высота , . Плоскость имеет уравнение . Подставляя точку прямой , получаем . Поэтому . Его проекция — середина , следовательно, .
Площадь равна , высота — . Объём равен .
Выберем , , , , . Высота , . Плоскость имеет уравнение . Подставляя точку прямой , получаем . Поэтому . Его проекция — середина , следовательно, .
Площадь равна , высота — . Объём равен .
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды .
Возьмём , , , . Высота 3 следует из . Тогда , . Проекция лежит на : её вектор от равен вектора . Плоскость содержит вертикальную прямую и перпендикулярна основанию.
Площадь , высота . Объём .
Возьмём , , , . Высота 3 следует из . Тогда , . Проекция лежит на : её вектор от равен вектора . Плоскость содержит вертикальную прямую и перпендикулярна основанию.
Площадь , высота . Объём .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8. Точка — середина ребра . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки . Прямая пересекает плоскость в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите объём пирамиды .
Выберем , , , , . Высота , . Плоскость имеет уравнение . Подставляя точку прямой , получаем . Поэтому . Его проекция — середина , следовательно, .
Площадь равна , высота — . Объём равен .
Выберем , , , , . Высота , . Плоскость имеет уравнение . Подставляя точку прямой , получаем . Поэтому . Его проекция — середина , следовательно, .
Площадь равна , высота — . Объём равен .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость AKB пересекает боковое ребро SC в точке P.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет площади треугольника SCD.
б) Найдите объём пирамиды ACDKP.
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
Пересечение плоскостей AKB и SCD параллельно AB, а значит CD. Поэтому , P — середина SC. По подобию , откуда площадь CDKP равна 3/4 площади SCD. При одинаковой вершине A объём . Тетраэдр ASCD занимает половину пирамиды SABCD, поэтому .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K и пересекает рёбра SB и SC в точках Q и P соответственно.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника BCPQ составляет площади треугольника SBC.
б) Найдите объём пирамиды KBCPQ.
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
По подобию SQP и SBC коэффициент 1/2, поэтому площадь BCPQ равна . Высота из K к плоскости SBC вдвое меньше высоты из A. Значит .
Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник ; , .
а) Высота конуса равна h. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Грань ABCD куба является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник .
а) Высота конуса равна h, ребро куба равно a. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник ; , .
а) Высота конуса равна h. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник ; , .
а) Высота конуса равна h. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Прямоугольник, в который вписан круг, является квадратом. Радиусы основания и сечения и . Поэтому , откуда , что лежит между 4,5a и 5a. В координатах с центром основания в начале нормаль к имеет горизонтальные компоненты, пропорциональные и , вертикальную компоненту 1. Тангенс искомого угла .
Грань ABCD куба является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник .
а) Высота конуса равна h, ребро куба равно a. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Грань ABCD куба является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью является круг, вписанный в четырёхугольник .
а) Высота конуса равна h, ребро куба равно a. Докажите, что .
б) Найдите угол между плоскостями ABC и , где S — вершина конуса.
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
Радиусы основания и сечения равны и . По подобию , поэтому и . В координатах с центром основания в начале , , . Нормаль к пропорциональна . Значит тангенс угла с горизонтальной плоскостью равен .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Возьмём , , , . Тогда , . Проекция равна , значит, лежит на . Вертикальная плоскость через содержит .
Сечение — треугольник , поскольку других пересечений с рёбрами внутри отрезков нет. Имеем , расстояние от до равно . Площадь .
Возьмём , , , . Тогда , . Проекция равна , значит, лежит на . Вертикальная плоскость через содержит .
Сечение — треугольник , поскольку других пересечений с рёбрами внутри отрезков нет. Имеем , расстояние от до равно . Площадь .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки .
а) Докажите, что плоскость содержит точку .
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Возьмём , , , . Тогда , . Проекция равна , значит, лежит на . Вертикальная плоскость через содержит .
Сечение — треугольник , поскольку других пересечений с рёбрами внутри отрезков нет. Имеем , расстояние от до равно . Площадь .
Возьмём , , , . Тогда , . Проекция равна , значит, лежит на . Вертикальная плоскость через содержит .
Сечение — треугольник , поскольку других пересечений с рёбрами внутри отрезков нет. Имеем , расстояние от до равно . Площадь .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
В правильной треугольной призме на рёбрах AC и BC отмечены соответственно точки M и N так, что .
а) Докажите, что плоскость проходит через середину ребра .
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью , если , .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Возьмём , , , высоту H. Тогда , , а плоскость имеет уравнение . Середина ребра удовлетворяет этому уравнению. Сечение — трапеция с основаниями и . При её высота в плоскости сечения равна . Площадь равна .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.
б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Обозначим сторону основания c, высоту h; . Как следует из ортогональной проекции D на SB, M — середина SB. Плоскость пересекает SA и SC в L и N; скалярное произведение с направлением SB даёт . Поэтому , а и . Диагонали LN и DM перпендикулярны. Их длины , . При боковом ребре 6 имеем , , площадь равна .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что M — середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и DM, если высота пирамиды равна .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что M — середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и DM, если высота пирамиды равна .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как . Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке M.
а) Докажите, что M — середина SB.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и DM, если высота пирамиды равна .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
Пусть сторона основания равна c, высота h. Тогда . Возьмём , , . Параметр ортогональной проекции D на SB равен , поэтому M — середина. Прямая AC перпендикулярна плоскости SBD и проходит через центр O основания. Искомое расстояние равно расстоянию от O до DM: .
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости .
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости .
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости .
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
Радиусы описанной и вписанной окружностей основания равны 2 и 1. Высота пирамиды , апофема . Радиус шара . Плоскость находится на высоте , расстояние до центра . При этом , следовательно , пересечения нет.
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром и стороной основания 6 вписан шар. Плоскость перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
Радиус описанной около основания окружности , высота пирамиды , апофема 2. Радиус вписанного шара . Плоскость на высоте , расстояние до центра , поскольку . Радиус сечения в квадрате . Площадь равна этому числу, умноженному на .
В прямой пятиугольной призме высота равна , треугольник BCD — правильный со стороной 6, а четырёхугольник ABDE — равнобедренная трапеция со сторонами , и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота , , а четырёхугольник ABDE — прямоугольник со сторонами и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота равна , треугольник BCD — правильный со стороной 6, а четырёхугольник ABDE — равнобедренная трапеция со сторонами , и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота равна , треугольник BCD — правильный со стороной 6, а четырёхугольник ABDE — равнобедренная трапеция со сторонами , и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , , , высоту . Нормали плоскостей и имеют нулевое скалярное произведение. Многогранник — пирамида с вершиной C и трапецией AED₁B₁ в основании. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота , , а четырёхугольник ABDE — прямоугольник со сторонами и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
В прямой пятиугольной призме высота , , а четырёхугольник ABDE — прямоугольник со сторонами и .
а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
Выберем , , , . Из следует . При нормали плоскостей и ортогональны, поскольку . Многогранник — пирамида с вершиной C и основанием AED₁B₁. Площадь основания , высота . Объём .
Основанием четырёхугольной призмы является прямоугольная трапеция ABCD, в которой , а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если , то объёмы многогранников, на которые призму делит плоскость , относятся как 5 : 4.
б) Объёмы многогранников и , на которые призму делит плоскость , соответственно равны 50 и 40. Найдите высоту призмы, если , а .
Объёмы частей , . При получаем . В пункте б , откуда . Площадь основания 4,5, поэтому .
Объёмы частей , . При получаем . В пункте б , откуда . Площадь основания 4,5, поэтому .
Основанием четырёхугольной призмы является прямоугольная трапеция ABCD, в которой , а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если , то объёмы многогранников, на которые призму делит плоскость , относятся как 3 : 2.
б) Объёмы многогранников и , на которые призму делит плоскость , соответственно равны 30 и 20. Найдите высоту призмы, если , а .
Объёмы частей равны и . При отношение . В пункте б , откуда . Площадь основания . Поэтому .
Объёмы частей равны и . При отношение . В пункте б , откуда . Площадь основания . Поэтому .
Основанием четырёхугольной призмы является прямоугольная трапеция ABCD, в которой , а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если , то объёмы многогранников, на которые призму делит плоскость , относятся как 5 : 4.
б) Объёмы многогранников и , на которые призму делит плоскость , соответственно равны 50 и 40. Найдите высоту призмы, если , а .
Объёмы частей , . При получаем . В пункте б , откуда . Площадь основания 4,5, поэтому .
Объёмы частей , . При получаем . В пункте б , откуда . Площадь основания 4,5, поэтому .
Основанием четырёхугольной призмы является прямоугольная трапеция ABCD, в которой , а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если , то объёмы многогранников, на которые призму делит плоскость , относятся как 3 : 2.
б) Объёмы многогранников и , на которые призму делит плоскость , соответственно равны 30 и 20. Найдите высоту призмы, если , а .
Объёмы частей равны и . При отношение . В пункте б , откуда . Площадь основания . Поэтому .
Объёмы частей равны и . При отношение . В пункте б , откуда . Площадь основания . Поэтому .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 6. На ребре SA отмечена точка K такая, что KS = 1,5. Через точку K и середины рёбер BC и CD проведена плоскость .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой CS.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью , если .
При , , , , плоскость имеет уравнение . Направляющий вектор CS ортогонален нормали, поэтому CS параллельна плоскости. Проекция сечения — пятиугольник площадью . Множитель площади равен . Искомая площадь 25.
При , , , , плоскость имеет уравнение . Направляющий вектор CS ортогонален нормали, поэтому CS параллельна плоскости. Проекция сечения — пятиугольник площадью . Множитель площади равен . Искомая площадь 25.
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер BC и CD параллельно прямой SC проведена плоскость .
а) Докажите, что точка пересечения плоскости с ребром AS делит это ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью , если и .
Выберем координаты , , , , , . Плоскость сечения имеет уравнение . На AS получаем , поэтому . Проекция сечения на основание — пятиугольник с вершинами , площадью 10. Множитель перехода к площади сечения равен . Площадь равна .
Выберем координаты , , , , , . Плоскость сечения имеет уравнение . На AS получаем , поэтому . Проекция сечения на основание — пятиугольник с вершинами , площадью 10. Множитель перехода к площади сечения равен . Площадь равна .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
При , плоскость пересекает SA и SD на доле от основания к S. Сечение — трапеция с основаниями и и высотой . Поэтому .
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 6. На ребре SA отмечена точка K такая, что KS = 1,5. Через точку K и середины рёбер BC и CD проведена плоскость .
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой CS.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью , если .
При , , , , плоскость имеет уравнение . Направляющий вектор CS ортогонален нормали, поэтому CS параллельна плоскости. Проекция сечения — пятиугольник площадью . Множитель площади равен . Искомая площадь 25.
При , , , , плоскость имеет уравнение . Направляющий вектор CS ортогонален нормали, поэтому CS параллельна плоскости. Проекция сечения — пятиугольник площадью . Множитель площади равен . Искомая площадь 25.
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость проходит через точки M и N параллельно прямой SO.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью является трапецией.
б) Найдите площадь сечения, если , , , а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Обозначим , . В плоскости основания O делит расстояние между основаниями в отношении . Плоскость сечения пересекает SA и SD на доле от A и D к S. Отрезок между точками пересечения параллелен AD, поэтому сечение — трапеция с основаниями и . Высота сечения равна , так как . Площадь .
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер BC и CD параллельно прямой SC проведена плоскость .
а) Докажите, что точка пересечения плоскости с ребром AS делит это ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью , если и .
Выберем координаты , , , , , . Плоскость сечения имеет уравнение . На AS получаем , поэтому . Проекция сечения на основание — пятиугольник с вершинами , площадью 10. Множитель перехода к площади сечения равен . Площадь равна .
Выберем координаты , , , , , . Плоскость сечения имеет уравнение . На AS получаем , поэтому . Проекция сечения на основание — пятиугольник с вершинами , площадью 10. Множитель перехода к площади сечения равен . Площадь равна .
На рёбрах AB и A₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 1 : 2 и A₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TA₁ проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB делит это ребро в отношении 2 : 1, считая от точки A.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = , AA₁ = 3.
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB в точке . Следовательно, .
Сечение — трапеция SCKU с . Основания и . При они равны 14 и 7, а высота сечения равна 6. Площадь .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB в точке . Следовательно, .
Сечение — трапеция SCKU с . Основания и . При они равны 14 и 7, а высота сечения равна 6. Площадь .
На рёбрах AB и B₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 2 : 1 и B₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TB₁ проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB является серединой отрезка AT.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = 42, AA₁ = .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB при . Значит, .
Сечение — трапеция SCKU, где . Её параллельные основания имеют длины и . При высота трапеции в плоскости сечения равна . Площадь .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB при . Значит, .
Сечение — трапеция SCKU, где . Её параллельные основания имеют длины и . При высота трапеции в плоскости сечения равна . Площадь .
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP : AB = 3 : 4. На апофеме грани BCP отметили точку K, которая делит эту апофему в отношении 1 : 4, считая от точки P. Через точки A и K параллельно прямой BC проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна апофеме грани BCP.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
Пусть M — середина BC, s = AB. Расположим . Из следует , а . Поскольку , координаты K равны . Скалярное произведение . Кроме того, . Направления AK и BC лежат в α, значит .
Для угла θ между AC и α имеем . Поэтому .
Пусть M — середина BC, s = AB. Расположим . Из следует , а . Поскольку , координаты K равны . Скалярное произведение . Кроме того, . Направления AK и BC лежат в α, значит .
Для угла θ между AC и α имеем . Поэтому .
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3 AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
Обозначим M середину BC, H центр основания, Q пересечение плоскости α с апофемой PM. При стороне основания s , и . Так как плоскость перпендикулярна PM, и Q — проекция A на PM. Считая M началом векторов, . Значит .
Нормаль плоскости α направлена вдоль PM. Для угла θ между AC и плоскостью . Поэтому .
Обозначим M середину BC, H центр основания, Q пересечение плоскости α с апофемой PM. При стороне основания s , и . Так как плоскость перпендикулярна PM, и Q — проекция A на PM. Считая M началом векторов, . Значит .
Нормаль плоскости α направлена вдоль PM. Для угла θ между AC и плоскостью . Поэтому .
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 2 : 3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Обозначим , а высоту призмы через . Параллельные основания трапеции — AN и MK. Из имеем . Пусть и . Равенство даёт . Поскольку верхнее основание короче нижнего и длины оснований 4 и 5, , откуда : N — середина BC.
Равенство боковых сторон AM и KN даёт . Положим ; тогда , и . У равностороннего по сторонам параллелограмма с векторами u,w диагонали перпендикулярны, поэтому вторая диагональ равна и . Проекция AM на направление AN равна ; длина AM в квадрате . Высота трапеции . Площадь .
Обозначим , а высоту призмы через . Параллельные основания трапеции — AN и MK. Из имеем . Пусть и . Равенство даёт . Поскольку верхнее основание короче нижнего и длины оснований 4 и 5, , откуда : N — середина BC.
Равенство боковых сторон AM и KN даёт . Положим ; тогда , и . У равностороннего по сторонам параллелограмма с векторами u,w диагонали перпендикулярны, поэтому вторая диагональ равна и . Проекция AM на направление AN равна ; длина AM в квадрате . Высота трапеции . Площадь .
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 1 : 3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
Обозначим , , высоту призмы через . Пусть , . Из и следует . Верхнее основание короче нижнего, поэтому , откуда . Значит, N — середина BC.
Положим . Равенство боковых сторон трапеции даёт , а . Площадь основания равна , поэтому . Диагонали параллелограмма с равными сторонами перпендикулярны: , . При имеем . Проекция AM на AN равна половине разности оснований, то есть 1. Высота трапеции равна , площадь — .
Обозначим , , высоту призмы через . Пусть , . Из и следует . Верхнее основание короче нижнего, поэтому , откуда . Значит, N — середина BC.
Положим . Равенство боковых сторон трапеции даёт , а . Площадь основания равна , поэтому . Диагонали параллелограмма с равными сторонами перпендикулярны: , . При имеем . Проекция AM на AN равна половине разности оснований, то есть 1. Высота трапеции равна , площадь — .
На рёбрах AB и A₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 1 : 2 и A₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TA₁ проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB делит это ребро в отношении 2 : 1, считая от точки A.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = , AA₁ = 3.
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB в точке . Следовательно, .
Сечение — трапеция SCKU с . Основания и . При они равны 14 и 7, а высота сечения равна 6. Площадь .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB в точке . Следовательно, .
Сечение — трапеция SCKU с . Основания и . При они равны 14 и 7, а высота сечения равна 6. Площадь .
На рёбрах AB и B₁C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ отметили соответственно точки T и K так, что AT : TB = 2 : 1 и B₁K = KC₁. Через точки K и C параллельно прямой TB₁ проведена плоскость α.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости α с ребром AB является серединой отрезка AT.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью α, если AB = 42, AA₁ = .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB при . Значит, .
Сечение — трапеция SCKU, где . Её параллельные основания имеют длины и . При высота трапеции в плоскости сечения равна . Площадь .
Пусть S — точка пересечения α с AB. В координатах имеем . Плоскость через C,K, параллельная , пересекает AB при . Значит, .
Сечение — трапеция SCKU, где . Её параллельные основания имеют длины и . При высота трапеции в плоскости сечения равна . Площадь .
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP : AB = 3 : 4. На апофеме грани BCP отметили точку K, которая делит эту апофему в отношении 1 : 4, считая от точки P. Через точки A и K параллельно прямой BC проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна апофеме грани BCP.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
Пусть M — середина BC, s = AB. Расположим . Из следует , а . Поскольку , координаты K равны . Скалярное произведение . Кроме того, . Направления AK и BC лежат в α, значит .
Для угла θ между AC и α имеем . Поэтому .
Пусть M — середина BC, s = AB. Расположим . Из следует , а . Поскольку , координаты K равны . Скалярное произведение . Кроме того, . Направления AK и BC лежат в α, значит .
Для угла θ между AC и α имеем . Поэтому .
Основанием правильной треугольной пирамиды PABC является треугольник ABC, AP = 1,3 AB. Через точку A перпендикулярно апофеме грани BCP проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит апофему грани BCP в отношении 119 : 25, считая от точки P.
б) Найдите угол между прямой AC и плоскостью α.
Обозначим M середину BC, H центр основания, Q пересечение плоскости α с апофемой PM. При стороне основания s , и . Так как плоскость перпендикулярна PM, и Q — проекция A на PM. Считая M началом векторов, . Значит .
Нормаль плоскости α направлена вдоль PM. Для угла θ между AC и плоскостью . Поэтому .
Обозначим M середину BC, H центр основания, Q пересечение плоскости α с апофемой PM. При стороне основания s , и . Так как плоскость перпендикулярна PM, и Q — проекция A на PM. Считая M началом векторов, . Значит .
Нормаль плоскости α направлена вдоль PM. Для угла θ между AC и плоскостью . Поэтому .
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 2 : 3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 5.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 20, а высота призмы равна 2.
Обозначим , а высоту призмы через . Параллельные основания трапеции — AN и MK. Из имеем . Пусть и . Равенство даёт . Поскольку верхнее основание короче нижнего и длины оснований 4 и 5, , откуда : N — середина BC.
Равенство боковых сторон AM и KN даёт . Положим ; тогда , и . У равностороннего по сторонам параллелограмма с векторами u,w диагонали перпендикулярны, поэтому вторая диагональ равна и . Проекция AM на направление AN равна ; длина AM в квадрате . Высота трапеции . Площадь .
Обозначим , а высоту призмы через . Параллельные основания трапеции — AN и MK. Из имеем . Пусть и . Равенство даёт . Поскольку верхнее основание короче нижнего и длины оснований 4 и 5, , откуда : N — середина BC.
Равенство боковых сторон AM и KN даёт . Положим ; тогда , и . У равностороннего по сторонам параллелограмма с векторами u,w диагонали перпендикулярны, поэтому вторая диагональ равна и . Проекция AM на направление AN равна ; длина AM в квадрате . Высота трапеции . Площадь .
В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B₁K : KC₁ = 1 : 3. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.
а) Докажите, что точка N — середина ребра BC.
б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 24, а высота призмы равна 3.
а) Опустим из и высоты и на основание призмы. Тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом .
Следовательно, , поэтому — середина ребра .
б) Площадь основания призмы равна . Из геометрии равнобедренной трапеции получаем высоту , а её средняя линия равна 3. Поэтому площадь .
а) Опустим из и высоты и на основание призмы. Тогда и . Треугольники и подобны с коэффициентом .
Следовательно, , поэтому — середина ребра .
б) Площадь основания призмы равна . Из геометрии равнобедренной трапеции получаем высоту , а её средняя линия равна 3. Поэтому площадь .
В правильной пирамиде SABC на стороне BC основания ABC и боковом ребре AS отметили соответственно точки P и K такие, что BP : PC = AK : KS = 2 : 1. Через точки P и K параллельно прямой AC провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разделила пирамиду SABC.
Пусть плоскость пересекает AB в E и CS в N. Из её параллельности AC следует , причём и . По симметрии правильной пирамиды относительно плоскости через B,S и середину AC боковые стороны секущей трапеции равны: . Значит трапеция EPNK равнобедренная.
В аффинных координатах плоскость имеет уравнение . Объём части, содержащей A и C, составляет объёма пирамиды, а второй части — . Искомое отношение .
Пусть плоскость пересекает AB в E и CS в N. Из её параллельности AC следует , причём и . По симметрии правильной пирамиды относительно плоскости через B,S и середину AC боковые стороны секущей трапеции равны: . Значит трапеция EPNK равнобедренная.
В аффинных координатах плоскость имеет уравнение . Объём части, содержащей A и C, составляет объёма пирамиды, а второй части — . Искомое отношение .
В правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно прямой AB провели плоскость α.
а) Докажите, что сечением пирамиды SABC плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость α разделила пирамиду SABC на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка A, если AB = 6, AS = .
Обозначим пересечения секущей плоскости с BC и SA через F и M. Из параллельности AB следуют , , . При этом и . В правильной пирамиде равные соответствующие отрезки дают , значит трапеция EFMN равнобедренная.
Площадь равностороннего основания при стороне 6 равна . Высота пирамиды , весь объём . В аффинных координатах сторона плоскости с вершиной A задаётся , , . Отношение объёмов равно . Следовательно, искомый объём .
Обозначим пересечения секущей плоскости с BC и SA через F и M. Из параллельности AB следуют , , . При этом и . В правильной пирамиде равные соответствующие отрезки дают , значит трапеция EFMN равнобедренная.
Площадь равностороннего основания при стороне 6 равна . Высота пирамиды , весь объём . В аффинных координатах сторона плоскости с вершиной A задаётся , , . Отношение объёмов равно . Следовательно, искомый объём .
В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна , а боковое ребро AA₁ равно . На рёбрах AA₁, BB₁ и A₁C₁ соответственно отмечены точки N, K и P так, что AN : NA₁ = B₁K : KB = C₁P : PA₁ = 2 : 1. Плоскость KNP пересекает ребро B₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра B₁C₁.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости CNK.
Разделим все координаты на и выберем при высоте призмы 3. Тогда . Уравнение плоскости KNP: . Точка ребра B₁C₁ имеет вид ; подстановка даёт — F середина ребра.
Плоскость CNK: . Для расстояние в масштабированных координатах равно . Возвращая множитель масштаба , получаем 2,5.
Разделим все координаты на и выберем при высоте призмы 3. Тогда . Уравнение плоскости KNP: . Точка ребра B₁C₁ имеет вид ; подстановка даёт — F середина ребра.
Плоскость CNK: . Для расстояние в масштабированных координатах равно . Возвращая множитель масштаба , получаем 2,5.
В правильной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания ABC равна 4, а боковое ребро AA₁ равно 6. На рёбрах BB₁, CC₁ и A₁B₁ соответственно отмечены точки N, K и P так, что CK : KC₁ = B₁N : NB = B₁P : PA₁ = 1 : 2. Плоскость KNP пересекает ребро A₁C₁ в точке F.
а) Докажите, что точка F — середина ребра A₁C₁.
б) Найдите расстояние от точки F до плоскости ANK.
Возьмём и верхние вершины при . Из отношений получаем . Плоскость KNP имеет уравнение . Точки ребра A₁C₁ имеют вид . Подстановка в уравнение плоскости даёт ; F — середина ребра.
Следовательно, . Плоскость ANK задаётся уравнением . Расстояние от F до неё равно .
Возьмём и верхние вершины при . Из отношений получаем . Плоскость KNP имеет уравнение . Точки ребра A₁C₁ имеют вид . Подстановка в уравнение плоскости даёт ; F — середина ребра.
Следовательно, . Плоскость ANK задаётся уравнением . Расстояние от F до неё равно .
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 3 : 1, CF : FS = 3 : 13.
а) Докажите, что прямая AS параллельна плоскости FNK.
б) Найдите объём пирамиды SFNK, если AB = AS = 8.
Положим . По данным отношениям . Точка — проекция F на основание — лежит на прямой KN, поскольку равна . Плоскость FNK поэтому вертикальна и содержит направление AS; сама прямая AS не лежит в этой плоскости, так что .
Объём пирамиды SFNK равен .
Положим . По данным отношениям . Точка — проекция F на основание — лежит на прямой KN, поскольку равна . Плоскость FNK поэтому вертикальна и содержит направление AS; сама прямая AS не лежит в этой плоскости, так что .
Объём пирамиды SFNK равен .
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD, ребро SA является высотой пирамиды. На рёбрах BC, CD и SC соответственно отмечены точки K, N и F так, что BK : KC = CN : ND = 1 : 2, CF : FS = 2 : 7.
а) Докажите, что плоскости ABC и FNK перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды AFNK, если AB = AS = 6.
Возьмём координаты . По данным отношениям . Проекция F на основание имеет координаты и лежит на прямой KN с уравнением . Следовательно, FNK содержит вертикальную прямую и перпендикулярна горизонтальной плоскости ABC.
Объём пирамиды AFNK равен .
Возьмём координаты . По данным отношениям . Проекция F на основание имеет координаты и лежит на прямой KN с уравнением . Следовательно, FNK содержит вертикальную прямую и перпендикулярна горизонтальной плоскости ABC.
Объём пирамиды AFNK равен .
В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 4 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями AFF₁ и α, если AB = 4, AA₁ = 15.
Пусть сторона правильного шестиугольника равна . Возьмём ; высота призмы равна 15. Тогда . Для плоскости α направляющие векторы и . Подстановка точки показывает, что ; это середина B₁C₁.
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к плоскости AFF₁ пропорциональна . При модуль скалярного произведения равен 120, произведение длин нормалей равно . Поэтому косинус искомого угла равен и угол равен 30°.
Пусть сторона правильного шестиугольника равна . Возьмём ; высота призмы равна 15. Тогда . Для плоскости α направляющие векторы и . Подстановка точки показывает, что ; это середина B₁C₁.
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к плоскости AFF₁ пропорциональна . При модуль скалярного произведения равен 120, произведение длин нормалей равно . Поэтому косинус искомого угла равен и угол равен 30°.
В правильной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 3 : 1. Через точки K и D₁ параллельно прямой DF₁ провели плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро B₁C₁ в такой точке N, что B₁N : NC₁ = 1 : 2.
б) Найдите угол между плоскостями EFF₁ и α, если AB = , AA₁ = 4.
Поместим основание в плоскость z=0 и обозначим сторону правильного шестиугольника через . Возьмём ; высота . Тогда , , а направляющий вектор DF₁ равен . Второй вектор плоскости α: . На прямой B₁C₁ точка плоскости имеет параметры . Это треть от B₁ к C₁, поэтому .
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к грани EFF₁ направлена по оси y. При отношение модуля y-компоненты к длине нормали равно . Косинус угла между плоскостями равен , значит угол 60°.
Поместим основание в плоскость z=0 и обозначим сторону правильного шестиугольника через . Возьмём ; высота . Тогда , , а направляющий вектор DF₁ равен . Второй вектор плоскости α: . На прямой B₁C₁ точка плоскости имеет параметры . Это треть от B₁ к C₁, поэтому .
Нормаль к α пропорциональна . Нормаль к грани EFF₁ направлена по оси y. При отношение модуля y-компоненты к длине нормали равно . Косинус угла между плоскостями равен , значит угол 60°.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O. Прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём CF = 2FB.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : AS.
Аффинный разбор. Возьмём A за начало и обозначим радиус-векторы B, C, S через . Тогда , , а из получаем . Поскольку O лежит на прямой SC и прямая OE проходит через F, сравнение коэффициентов даёт . Прямая OD пересекает AS в , следовательно . Кроме того, . Параметры и лежат между 0 и 1, значит именно отрезки DE и PF пересекаются.
Аффинный разбор. Возьмём A за начало и обозначим радиус-векторы B, C, S через . Тогда , , а из получаем . Поскольку O лежит на прямой SC и прямая OE проходит через F, сравнение коэффициентов даёт . Прямая OD пересекает AS в , следовательно . Кроме того, . Параметры и лежат между 0 и 1, значит именно отрезки DE и PF пересекаются.
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки D и E делят соответственно рёбра AC и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 2. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка O. Прямые OD и OE пересекают рёбра AS и BC в точках P и F соответственно, причём BF = FC.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : PS.
Введём аффинные координаты с началом в : , , . Тогда , .
Так как — середина и лежит на , сравнение коэффициентов в представлении точки прямой даёт . Пересечение с имеет координату ; следовательно, .
На отрезке при параметре и на отрезке при параметре получается одна и та же точка с коэффициентами . Значит, и пересекаются.
Ответ: .
Введём аффинные координаты с началом в : , , . Тогда , .
Так как — середина и лежит на , сравнение коэффициентов в представлении точки прямой даёт . Пересечение с имеет координату ; следовательно, .
На отрезке при параметре и на отрезке при параметре получается одна и та же точка с коэффициентами . Значит, и пересекаются.
Ответ: .
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 12. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=12 получаем 24.
Ответ: 24.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=12 получаем 24.
Ответ: 24.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 11. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=11 получаем 22.
Ответ: 22.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=11 получаем 22.
Ответ: 22.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 10. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=10 получаем 20.
Ответ: 20.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=10 получаем 20.
Ответ: 20.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 9. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=9 получаем 18.
Ответ: 18.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=9 получаем 18.
Ответ: 18.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 8. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=8 получаем 16.
Ответ: 16.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=8 получаем 16.
Ответ: 16.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 7. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=7 получаем 14.
Ответ: 14.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=7 получаем 14.
Ответ: 14.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 6. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=6 получаем 12.
Ответ: 12.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=6 получаем 12.
Ответ: 12.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 5. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=5 получаем 10.
Ответ: 10.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=5 получаем 10.
Ответ: 10.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 4. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=4 получаем 8.
Ответ: 8.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=4 получаем 8.
Ответ: 8.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 3. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=3 получаем 6.
Ответ: 6.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=3 получаем 6.
Ответ: 6.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 2. Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=2 получаем 4.
Ответ: 4.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a=2 получаем 4.
Ответ: 4.
В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно . Через точки B, D и A1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки C1 до плоскости α.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a= получаем 2.
Ответ: 2.
а) Введём координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A1(0;0;a), C1(a;a;a). Направляющий вектор AC1 равен (a;a;a). В плоскости α лежат векторы BD=(−a;a;0) и BA1=(−a;0;a). Их скалярные произведения с (a;a;a) равны нулю. Следовательно, AC1 ⟂ α.
б) Уравнение плоскости α: x+y+z=a. Расстояние от C1(a;a;a) до неё равно |3a−a|/=2a/. При a= получаем 2.
Ответ: 2.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 24. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (24)/2 = 24.
Ответ: 24.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (24)/2 = 24.
Ответ: 24.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 22. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (22)/2 = 22.
Ответ: 22.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (22)/2 = 22.
Ответ: 22.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 20. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (20)/2 = 20.
Ответ: 20.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (20)/2 = 20.
Ответ: 20.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 18. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (18)/2 = 18.
Ответ: 18.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (18)/2 = 18.
Ответ: 18.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 16. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (16)/2 = 16.
Ответ: 16.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (16)/2 = 16.
Ответ: 16.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 14. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (14)/2 = 14.
Ответ: 14.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (14)/2 = 14.
Ответ: 14.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 12. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (12)/2 = 12.
Ответ: 12.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (12)/2 = 12.
Ответ: 12.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 10. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (10)/2 = 10.
Ответ: 10.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (10)/2 = 10.
Ответ: 10.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (8)/2 = 8.
Ответ: 8.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (8)/2 = 8.
Ответ: 8.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 6. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (6)/2 = 6.
Ответ: 6.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (6)/2 = 6.
Ответ: 6.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (4)/2 = 4.
Ответ: 4.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (4)/2 = 4.
Ответ: 4.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 2. Точка O — центр основания.
а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости SAC.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (2)/2 = 2.
Ответ: 2.
а) В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому BD ⟂ AC. Высота правильной пирамиды SO перпендикулярна плоскости основания, следовательно, BD ⟂ SO. Прямые AC и SO пересекаются и лежат в плоскости SAC, значит BD ⟂ (SAC).
б) Перпендикуляр из B к плоскости SAC проходит по прямой BD и имеет основание O. Поэтому искомое расстояние равно BO = BD/2 = AB/2 = (2)/2 = 2.
Ответ: 2.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=9, SO=3, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=9, h=3: cos φ=2√913/913.
Ответ: 2√913/913.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=9, h=3: cos φ=2√913/913.
Ответ: 2√913/913.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=3, SO=9, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=9: cos φ=2√57/19.
Ответ: 2√57/19.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=9: cos φ=2√57/19.
Ответ: 2√57/19.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=12, SO=6, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=12, h=6: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=12, h=6: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=6, SO=12, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=12: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=12: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=5, SO=5, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=5, h=5: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=5, h=5: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=8, SO=4, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=8, h=4: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=8, h=4: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=4, SO=8, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=8: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=8: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=6, SO=3, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=3: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=6, h=3: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=3, SO=6, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=6: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=3, h=6: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=4, SO=2, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=2: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=4, h=2: cos φ=√57/57.
Ответ: √57/57.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=2, SO=4, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=4: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=4: cos φ=8√17/51.
Ответ: 8√17/51.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD AB=2, SO=2, где O — центр основания. Точка K — середина ребра SB. Прямая DK пересекает плоскость SAC в точке N. Через N проведена прямая, параллельная SC и пересекающая SA в точке M.
а) Докажите, что SM:MA=1:2.
б) Найдите косинус угла между прямыми DK и SC.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=2: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.
а) Поместим основание в плоскость z=0: A(−a/2;−a/2;0), B(a/2;−a/2;0), C(a/2;a/2;0), D(−a/2;a/2;0), S(0;0;h). Тогда K(a/4;−a/4;h/2). Плоскость SAC задаётся уравнением x=y. Параметрическое уравнение DK показывает, что при пересечении с этой плоскостью параметр равен 2/3, поэтому N(0;0;h/3). Прямая через N, параллельная SC, пересекает SA в точке, для которой SM=SA/3. Следовательно, SM:MA=1:2.
б) Направляющие векторы можно взять DK=(3a/4;−3a/4;h/2) и SC=(a/2;a/2;−h). Модуль их скалярного произведения равен h²/2. После вычисления длин получаем cos φ = 2h²/√((9a²+2h²)(a²+2h²)). При a=2, h=2: cos φ=2√33/33.
Ответ: 2√33/33.