Тип 16. Неравенства

Область определения . Первый множитель положителен при , нулевой при 1/2, отрицателен при . При второй множитель равен , положителен при или , отрицателен при . Нули соответствуют и . Произведение положительно при либо .

Область определения . Первый множитель положителен при , нулевой при 1/2, отрицателен при . При второй множитель равен , положителен при или , отрицателен при . Нули соответствуют и . Произведение положительно при либо .

Область определения . Первый множитель положителен при , равен нулю при −1 и отрицателен при . Пусть . Второй множитель равен , его нули соответствуют и . Он положителен до −1 и после второго нуля, отрицателен между ними. Произведение неположительно только при и .

Область определения . Первый множитель положителен при , равен нулю при −1 и отрицателен при . Пусть . Второй множитель равен , его нули соответствуют и . Он положителен до −1 и после второго нуля, отрицателен между ними. Произведение неположительно только при и .

ОДЗ: x<−1. Возведя обе стороны в степень 1/lg2>0, получаем . При это , или . Значит 0<t≤2, то есть −3≤x<−1.

ОДЗ: x>1. Так как и lg3>0, получаем . Сокращение x−1>0 даёт , то есть . Ответ 1<x≤3.

Область определения . Положим , . После переноса получаем . На области определения , поэтому , то есть , . Ответ . Примечание: в таблице включена точка 5, но при обе части равны 90, поэтому для напечатанного строгого неравенства эта точка исключается.

ОДЗ: x<−1. Возведя обе стороны в степень 1/lg2>0, получаем . При это , или . Значит 0<t≤2, то есть −3≤x<−1.

Область определения . Обозначим , . Получаем . При имеем , значит, . Это равносильно , то есть . С учётом области определения ответ .

ОДЗ: x>1. Так как и lg3>0, получаем . Сокращение x−1>0 даёт , то есть . Ответ 1<x≤3.

ОДЗ: x<−1. Возведя обе стороны в степень 1/lg2>0, получаем . При это , или . Значит 0<t≤2, то есть −3≤x<−1.

ОДЗ: x<−1. Возведя обе стороны в степень 1/lg2>0, получаем . При это , или . Значит 0<t≤2, то есть −3≤x<−1.

ОДЗ: x>1. Так как и lg3>0, получаем . Сокращение x−1>0 даёт , то есть . Ответ 1<x≤3.

ОДЗ: x>1. Так как и lg3>0, получаем . Сокращение x−1>0 даёт , то есть . Ответ 1<x≤3.

ОДЗ: . Пусть . Тогда и . Получаем или . Значит, либо . То есть или ; раскрываем модуль.

ОДЗ: . Положим . Тогда , . Неравенство становится , или . Его корни −1 и 3,5. Следовательно, , что даёт два указанных отрезка.

ОДЗ: . Положим . Тогда требуется . Знаки меняются при . Для условие выполнено. На получаем , то есть , откуда . На и условие сводится к , то есть . Это даёт соответственно и . Объединяем интервалы. В печатной таблице ответов у правой границы последнего интервала пропущен минус: правильная граница −26/55.

ОДЗ: . Первое логарифмическое слагаемое равно . При его модуль больше 3, поэтому решений нет. При первая скобка неположительна, вторая неотрицательна; неравенство сводится к и верно на всём этом отрезке. При обе скобки неотрицательны, и условие равносильно . Его положительная граница . Ответ .

ОДЗ: . Переносим слагаемые и выносим общие множители: . Поскольку , получаем . При обе части равны; отношение правой части к левой пропорционально и строго возрастает. Значит и .

ОДЗ: . Положим . После переноса слагаемых получаем . Левая константа равна , поэтому неравенство равносильно . При получается равенство, а основание . Следовательно, и .

ОДЗ: . Пусть . Тогда и . Получаем или . Значит, либо . То есть или ; раскрываем модуль.

ОДЗ: . Положим . Тогда , . Неравенство становится , или . Его корни −1 и 3,5. Следовательно, , что даёт два указанных отрезка.

ОДЗ: . Положим . Тогда требуется . Знаки меняются при . Для условие выполнено. На получаем , то есть , откуда . На и условие сводится к , то есть . Это даёт соответственно и . Объединяем интервалы.

ОДЗ: . Первое логарифмическое слагаемое равно . При его модуль больше 3, поэтому решений нет. При первая скобка неположительна, вторая неотрицательна; неравенство сводится к и верно на всём этом отрезке. При обе скобки неотрицательны, и условие равносильно . Его положительная граница . Ответ .

ОДЗ: . Переносим слагаемые и выносим общие множители: . Поскольку , получаем . При обе части равны; отношение правой части к левой пропорционально и строго возрастает. Значит и .

Перенесём слагаемые и вынесем общие множители:

.

Так как , положительный множитель сокращается. Получаем .

Основание больше единицы, поэтому . С учётом имеем .

ОДЗ: . Поскольку , выражение в скобках равно . Многочлен раскладывается как . На ОДЗ логарифмический множитель неотрицателен при ; многочлен неотрицателен при . Совмещая знаки, получаем .

ОДЗ: . Так как , положим . Тогда левая часть равна . При имеем , и нужно — это . При оба множителя отрицательны, поэтому решений нет. Ответ .

Положим ; значения исключены из ОДЗ. После переноса правой части влево неравенство принимает вид . Числитель неотрицателен; дробь неположительна при и при . Поэтому .

Положим ; ОДЗ исключает . Так как и , перенос правой части и приведение к общему знаменателю дают . Отсюда либо либо . Возвращаясь к x, получаем .

ОДЗ: . Прологарифмируем неравенство по основанию 2: . После приведения к общему знаменателю получаем . Метод интервалов даёт .

ОДЗ: . Прологарифмируем по основанию 2: . После переноса и разложения получаем . Критические точки: . Метод интервалов даёт .

ОДЗ: . После группировки неравенство принимает вид . Средний множитель отрицателен. Первый положителен при и отрицателен при ; логарифм имеет противоположный знак. Следовательно, неравенство выполнено при любом кроме .

ОДЗ: . Переносим всё влево и группируем: . Второй множитель имеет знак (его коэффициент положителен). Первый равен и имеет знак . Эти знаки одинаковы для всех . Произведение не больше нуля только при .

ОДЗ: . Положим . После деления неравенства на получаем . Корни трёхчлена и . Поэтому или . Возвращаясь к x и учитывая знак при умножении на x, получаем .

Положим ; , . После деления исходного неравенства на положительное выражение получаем .

Умножим на : . Корни равны и , поэтому .

Так как основание , получаем . Решение с учётом : .

При разделим на положительное и положим . Получаем , то есть . Значит, или . Поскольку и , получаем или . Это равносильно или .

При разделим на положительное и положим . Получим , то есть . Следовательно, . Поскольку основание , имеем . Для это даёт , а для — .

Пусть . Неравенство преобразуется к . Метод интервалов даёт или . Поэтому или .

Пусть , . Тогда . Первое условие даёт , второе — . Поэтому или , то есть или .

Положим . Разность левой части и равна . Знаменатель равен и не должен обращаться в ноль. Неравенство выполняется при , , . Возвращаясь к , получаем , , .

При разделим на положительное и положим . Получаем , то есть . Значит, или . Поскольку и , получаем или . Это равносильно или .

При разделим на положительное и положим . Получим , то есть . Следовательно, . Поскольку основание , имеем . Для это даёт , а для — .

Пусть . Неравенство преобразуется к . Метод интервалов даёт или . Поэтому или .

Пусть , . Тогда . Первое условие даёт , второе — . Поэтому или , то есть или .

ОДЗ: . Знаменатель всегда отрицателен. При x=2 числитель равен нулю; при x>2 требуется , то есть .

ОДЗ: , . Множитель всегда отрицателен. При числитель равен нулю; при требуется положительный знаменатель, то есть .

Делим на . При получаем , . Поэтому . Основание , значит, . Нижняя граница равна .

Положим , . Тогда . Получаем или .

Делим на положительное и обозначаем . Получаем , то есть . С учётом имеем , . Поэтому .

При , получаем . Метод интервалов даёт или . Возвращаемся к x.

Положим . После переноса правой части получаем , где . Числитель неположителен, поэтому подходят и отдельно . Значит, либо .

После логарифмирования по основанию 4 и замены имеем . Значит, .

Положим . Разность левой части и равна . Знаменатель равен и не должен обращаться в ноль. Неравенство выполняется при , , . Возвращаясь к , получаем , , .

Положим и прологарифмируем по основанию 6: . Тогда , что даёт указанный отрезок для x.

При разделим на положительное и положим . Получаем , то есть . Значит, или . Поскольку и , получаем или . Это равносильно или .

Пусть . Неравенство преобразуется к . Метод интервалов даёт или . Поэтому или .

При разделим на положительное и положим . Получим , то есть . Следовательно, . Поскольку основание , имеем . Для это даёт , а для — .

Пусть , . Тогда . Первое условие даёт , второе — . Поэтому или , то есть или .

Пусть . Неравенство преобразуется к . Метод интервалов даёт или . Поэтому или .

ОДЗ: . Знаменатель всегда отрицателен. При x=2 числитель равен нулю; при x>2 требуется , то есть .

Пусть , . Тогда . Первое условие даёт , второе — . Поэтому или , то есть или .

ОДЗ: , . Множитель всегда отрицателен. При числитель равен нулю; при требуется положительный знаменатель, то есть .

ОДЗ: . Знаменатель всегда отрицателен. При x=2 числитель равен нулю; при x>2 требуется , то есть .

Положим , . Тогда . Получаем или .

ОДЗ: , . Множитель всегда отрицателен. При числитель равен нулю; при требуется положительный знаменатель, то есть .

При , получаем . Метод интервалов даёт или . Возвращаемся к x.

Положим , . Тогда . Получаем или .

После логарифмирования по основанию 4 и замены имеем . Значит, .

При , получаем . Метод интервалов даёт или . Возвращаемся к x.

Положим и прологарифмируем по основанию 6: . Тогда , что даёт указанный отрезок для x.

При положим . Тогда , . Неравенство превращается в , или . Поэтому , то есть .

Область определения: . Введём . Тогда и . Получаем , или . Следовательно, или . Это означает или .

ОДЗ: и , то есть −2x>1. Неравенство преобразуется к . При положительном знаменателе оно выполнено, поскольку ln3<ln5. Ответ x<−0,5.

ОДЗ обоих внешних логарифмов: 0<−x<1, то есть −1<x<0. Неравенство равносильно . На ОДЗ знаменатель отрицателен, а ln(1/2)>ln(1/7), поэтому оно верно на всей ОДЗ.

При положим . Получаем , или . Значит, , . Следовательно, или , что даёт четыре указанных отрезка.

При преобразуем к . Логарифм положителен при , равен нулю при −4, отрицателен при . Ответ или .

Область определения . Используя и , получаем . Логарифм положителен при , равен нулю при 1, отрицателен при . Анализ знаков даёт или .

При положим . Тогда , . Неравенство превращается в , или . Поэтому , то есть .

Область определения: . Введём . Тогда и . Получаем , или . Следовательно, или . Это означает или .

ОДЗ: и , то есть −2x>1. Неравенство преобразуется к . При положительном знаменателе оно выполнено, поскольку ln3<ln5. Ответ x<−0,5.

ОДЗ обоих внешних логарифмов: 0<−x<1, то есть −1<x<0. Неравенство равносильно . На ОДЗ знаменатель отрицателен, а ln(1/2)>ln(1/7), поэтому оно верно на всей ОДЗ.

Область определения . Положим . Тогда , а . Получаем , то есть . Корни: и . Следовательно, либо , то есть либо . Переход к даёт .

ОДЗ: . После перехода к основанию 5 и объединения логарифмов получаем . При x<−2 левая часть больше правой: . Значит подходит вся ОДЗ.

Область определения . Положим . Тогда первый логарифм равен , второй — . Получаем , . Поэтому , . Это даёт указанные два отрезка.

ОДЗ: . Перейдя к основанию 2 и сократив , получаем . На ОДЗ , поэтому неравенство выполнено для всех .

Область определения . По возрастанию логарифма . Разность правой и левой частей . Неравенство равносильно , то есть всем точкам области, кроме .

ОДЗ: , знаменатель не равен нулю. Его нули: или 4, то есть и . Числитель неотрицателен при . С учётом порядка точек метод интервалов даёт ответ.

Область определения . По убыванию логарифма . После переноса получаем . На области определения первые два множителя отрицательны, их произведение положительно, поэтому . Ответ .

ОДЗ: , . Числитель обращается в ноль при или 3, то есть и . Он отрицателен между этими корнями. Знаменатель меняет знак при , причём . Метод интервалов даёт ответ.

Область определения . Положим . Тогда , то есть . При имеем , значит, . Это равносильно или . Первое условие даёт промежутки рядом с , второе — . Объединяем их в указанный ответ.

Угол 0,9 задан в радианах, . Поэтому . При основании это равносильно , то есть .

При положим . Получаем , или . Значит, , . Следовательно, или , что даёт четыре указанных отрезка.

Аргумент 3,2 дан в радианах; . Поэтому , то есть . Получаем .

При преобразуем к . Логарифм положителен при , равен нулю при −4, отрицателен при . Ответ или .

ОДЗ: , . При знаменатель равен и равен нулю при . Числитель неотрицателен при , то есть . Исключаем и 0.

Область определения . Используя и , получаем . Логарифм положителен при , равен нулю при 1, отрицателен при . Анализ знаков даёт или .

ОДЗ: , . Если , знаменатель равен ; он обращается в ноль при . В остальных точках знаменатель положителен. Числитель неотрицателен при , то есть . С учётом ОДЗ получаем указанные интервалы.

При положим . Тогда , . Неравенство превращается в , или . Поэтому , то есть .

ОДЗ: и , то есть −2x>1. Неравенство преобразуется к . При положительном знаменателе оно выполнено, поскольку ln3<ln5. Ответ x<−0,5.

Область определения: . Введём . Тогда и . Получаем , или . Следовательно, или . Это означает или .

ОДЗ обоих внешних логарифмов: 0<−x<1, то есть −1<x<0. Неравенство равносильно . На ОДЗ знаменатель отрицателен, а ln(1/2)>ln(1/7), поэтому оно верно на всей ОДЗ.

ОДЗ: и , то есть −2x>1. Неравенство преобразуется к . При положительном знаменателе оно выполнено, поскольку ln3<ln5. Ответ x<−0,5.

ОДЗ: . После перехода к основанию 5 и объединения логарифмов получаем . При x<−2 левая часть больше правой: . Значит подходит вся ОДЗ.

ОДЗ обоих внешних логарифмов: 0<−x<1, то есть −1<x<0. Неравенство равносильно . На ОДЗ знаменатель отрицателен, а ln(1/2)>ln(1/7), поэтому оно верно на всей ОДЗ.

ОДЗ: . Перейдя к основанию 2 и сократив , получаем . На ОДЗ , поэтому неравенство выполнено для всех .

ОДЗ: . После перехода к основанию 5 и объединения логарифмов получаем . При x<−2 левая часть больше правой: . Значит подходит вся ОДЗ.

ОДЗ: , знаменатель не равен нулю. Его нули: или 4, то есть и . Числитель неотрицателен при . С учётом порядка точек метод интервалов даёт ответ.

ОДЗ: . Перейдя к основанию 2 и сократив , получаем . На ОДЗ , поэтому неравенство выполнено для всех .

ОДЗ: , . Числитель обращается в ноль при или 3, то есть и . Он отрицателен между этими корнями. Знаменатель меняет знак при , причём . Метод интервалов даёт ответ.

ОДЗ: , знаменатель не равен нулю. Его нули: или 4, то есть и . Числитель неотрицателен при . С учётом порядка точек метод интервалов даёт ответ.

Угол 0,9 задан в радианах, . Поэтому . При основании это равносильно , то есть .

ОДЗ: , . Числитель обращается в ноль при или 3, то есть и . Он отрицателен между этими корнями. Знаменатель меняет знак при , причём . Метод интервалов даёт ответ.
Примечание: граница в таблице ответов — опечатка; она даже не принадлежит области определения . Правильная граница .

Аргумент 3,2 дан в радианах; . Поэтому , то есть . Получаем .

Угол 0,9 задан в радианах, . Поэтому . При основании это равносильно , то есть .

ОДЗ: , . При знаменатель равен и равен нулю при . Числитель неотрицателен при , то есть . Исключаем и 0.

Аргумент 3,2 дан в радианах; . Поэтому , то есть . Получаем .

ОДЗ: , . Если , знаменатель равен ; он обращается в ноль при . В остальных точках знаменатель положителен. Числитель неотрицателен при , то есть . С учётом ОДЗ получаем указанные интервалы.

Область определения: x ≥ 4; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t)(t − 6))/(t − 3) ≤0.

Методом интервалов: t ∈ {0} ∪ (3; 6]. Так как x=4+t² и t≥0, получаем x ∈ {4} ∪ (13; 40].

Ответ: {4} ∪ (13; 40].

Область определения: x ≥ 0; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 1)(t − 6))/(t − 2) ≥0.

Методом интервалов: t ∈ [1; 2) ∪ [6; +∞). Так как x=0+t² и t≥0, получаем x ∈ [1; 4) ∪ [36; +∞).

Ответ: [1; 4) ∪ [36; +∞).

Область определения: x ≥ 6; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 1)(t − 4))/(t − 3) ≤0.

Методом интервалов: t ∈ [0; 1] ∪ (3; 4]. Так как x=6+t² и t≥0, получаем x ∈ [6; 7] ∪ (15; 22].

Ответ: [6; 7] ∪ (15; 22].

Область определения: x ≥ 3; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 2)(t − 5))/(t − 1) ≥0.

Методом интервалов: t ∈ (1; 2] ∪ [5; +∞). Так как x=3+t² и t≥0, получаем x ∈ (4; 7] ∪ [28; +∞).

Ответ: (4; 7] ∪ [28; +∞).

Область определения: x ≥ 1; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t)(t − 5))/(t − 2) ≤0.

Методом интервалов: t ∈ {0} ∪ (2; 5]. Так как x=1+t² и t≥0, получаем x ∈ {1} ∪ (5; 26].

Ответ: {1} ∪ (5; 26].

Область определения: x ≥ 2; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 2)(t − 6))/(t − 4) ≥0.

Методом интервалов: t ∈ [2; 4) ∪ [6; +∞). Так как x=2+t² и t≥0, получаем x ∈ [6; 18) ∪ [38; +∞).

Ответ: [6; 18) ∪ [38; +∞).

Область определения: x ≥ 5; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t)(t − 4))/(t − 2) ≤0.

Методом интервалов: t ∈ {0} ∪ (2; 4]. Так как x=5+t² и t≥0, получаем x ∈ {5} ∪ (9; 21].

Ответ: {5} ∪ (9; 21].

Область определения: x ≥ 4; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 1)(t − 5))/(t − 3) ≥0.

Методом интервалов: t ∈ [1; 3) ∪ [5; +∞). Так как x=4+t² и t≥0, получаем x ∈ [5; 13) ∪ [29; +∞).

Ответ: [5; 13) ∪ [29; +∞).

Область определения: x ≥ 0; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 2)(t − 5))/(t − 3) ≤0.

Методом интервалов: t ∈ [0; 2] ∪ (3; 5]. Так как x=0+t² и t≥0, получаем x ∈ [0; 4] ∪ (9; 25].

Ответ: [0; 4] ∪ (9; 25].

Область определения: x ≥ 3; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 1)(t − 4))/(t − 2) ≥0.

Методом интервалов: t ∈ [1; 2) ∪ [4; +∞). Так как x=3+t² и t≥0, получаем x ∈ [4; 7) ∪ [19; +∞).

Ответ: [4; 7) ∪ [19; +∞).

Область определения: x ≥ 2; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t)(t − 3))/(t − 1) ≤0.

Методом интервалов: t ∈ {0} ∪ (1; 3]. Так как x=2+t² и t≥0, получаем x ∈ {2} ∪ (3; 11].

Ответ: {2} ∪ (3; 11].

Область определения: x ≥ 1; знаменатель не равен нулю. Положим t=, t≥0. Тогда ((t − 1)(t − 3))/(t − 2) ≥0.

Методом интервалов: t ∈ [1; 2) ∪ [3; +∞). Так как x=1+t² и t≥0, получаем x ∈ [2; 5) ∪ [10; +∞).

Ответ: [2; 5) ∪ [10; +∞).

Положим t=2^x+1, тогда t>0. Получаем ((t − 4)(t − 32))/(t − 8) ≥0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ [4; 8) ∪ [32; +∞). Функция 2^x возрастает, поэтому x ∈ [1; 2) ∪ [4; +∞).

Ответ: [1; 2) ∪ [4; +∞).

Положим t=3^x+3, тогда t>0. Получаем ((t − 3)(t − 81))/(t − 9) ≤0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ (0; 3] ∪ (9; 81]. Функция 3^x возрастает, поэтому x ∈ (−∞; -2] ∪ (-1; 1].

Ответ: (−∞; -2] ∪ (-1; 1].

Положим t=5^x+2, тогда t>0. Получаем ((t − 1)(t − 125))/(t − 5) ≥0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ [1; 5) ∪ [125; +∞). Функция 5^x возрастает, поэтому x ∈ [-2; -1) ∪ [1; +∞).

Ответ: [-2; -1) ∪ [1; +∞).

Положим t=2^x+2, тогда t>0. Получаем ((t − 1)(t − 16))/(t − 8) ≤0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ (0; 1] ∪ (8; 16]. Функция 2^x возрастает, поэтому x ∈ (−∞; -2] ∪ (1; 2].

Ответ: (−∞; -2] ∪ (1; 2].

Положим t=3^x+1, тогда t>0. Получаем ((t − 1)(t − 27))/(t − 9) ≥0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ [1; 9) ∪ [27; +∞). Функция 3^x возрастает, поэтому x ∈ [-1; 1) ∪ [2; +∞).

Ответ: [-1; 1) ∪ [2; +∞).

Положим t=4^x, тогда t>0. Получаем ((t − 4)(t − 64))/(t − 16) ≤0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ (0; 4] ∪ (16; 64]. Функция 4^x возрастает, поэтому x ∈ (−∞; 1] ∪ (2; 3].

Ответ: (−∞; 1] ∪ (2; 3].

Положим t=5^x+1, тогда t>0. Получаем ((t − 1)(t − 25))/(t − 5) ≤0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ (0; 1] ∪ (5; 25]. Функция 5^x возрастает, поэтому x ∈ (−∞; -1] ∪ (0; 1].

Ответ: (−∞; -1] ∪ (0; 1].

Положим t=2^x+3, тогда t>0. Получаем ((t − 2)(t − 16))/(t − 4) ≥0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ [2; 4) ∪ [16; +∞). Функция 2^x возрастает, поэтому x ∈ [-2; -1) ∪ [1; +∞).

Ответ: [-2; -1) ∪ [1; +∞).

Положим t=3^x+2, тогда t>0. Получаем ((t − 1)(t − 9))/(t − 3) ≤0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ (0; 1] ∪ (3; 9]. Функция 3^x возрастает, поэтому x ∈ (−∞; -2] ∪ (-1; 0].

Ответ: (−∞; -2] ∪ (-1; 0].

Положим t=3^x, тогда t>0. Получаем ((t − 3)(t − 27))/(t − 9) ≥0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ [3; 9) ∪ [27; +∞). Функция 3^x возрастает, поэтому x ∈ [1; 2) ∪ [3; +∞).

Ответ: [1; 2) ∪ [3; +∞).

Положим t=2^x+1, тогда t>0. Получаем ((t − 1)(t − 8))/(t − 4) ≤0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ (0; 1] ∪ (4; 8]. Функция 2^x возрастает, поэтому x ∈ (−∞; -1] ∪ (1; 2].

Ответ: (−∞; -1] ∪ (1; 2].

Положим t=2^x, тогда t>0. Получаем ((t − 2)(t − 8))/(t − 4) ≥0.

Методом интервалов с учётом t>0: t ∈ [2; 4) ∪ [8; +∞). Функция 2^x возрастает, поэтому x ∈ [1; 2) ∪ [3; +∞).

Ответ: [1; 2) ∪ [3; +∞).

Область определения: x > 5, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₂(x − 5). Получаем рациональное неравенство ((t − 1)(t − 4))/(t − 3) ≤ 0.

Методом интервалов: t ∈ (−∞; 1] ∪ (3; 4]. Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ (5; 7] ∪ (13; 21].

Ответ: (5; 7] ∪ (13; 21].

Область определения: x > 1, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₃(x − 1). Получаем рациональное неравенство ((t)(t − 3))/(t − 2) ≥ 0.

Методом интервалов: t ∈ [0; 2) ∪ [3; +∞). Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ [2; 10) ∪ [28; +∞).

Ответ: [2; 10) ∪ [28; +∞).

Область определения: x > 3, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₅(x − 3). Получаем рациональное неравенство ((t + 1)(t − 1))/(t) ≤ 0.

Методом интервалов: t ∈ (−∞; -1] ∪ (0; 1]. Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ (3; 3,2] ∪ (4; 8].

Ответ: (3; 3,2] ∪ (4; 8].

Область определения: x > 2, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₄(x − 2). Получаем рациональное неравенство ((t)(t − 2))/(t − 1) ≥ 0.

Методом интервалов: t ∈ [0; 1) ∪ [2; +∞). Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ [3; 6) ∪ [18; +∞).

Ответ: [3; 6) ∪ [18; +∞).

Область определения: x > 6, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₂(x − 6). Получаем рациональное неравенство ((t + 2)(t − 1))/(t) ≥ 0.

Методом интервалов: t ∈ [-2; 0) ∪ [1; +∞). Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ [6,25; 7) ∪ [8; +∞).

Ответ: [6,25; 7) ∪ [8; +∞).

Область определения: x > 4, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₃(x − 4). Получаем рациональное неравенство ((t − 1)(t − 3))/(t) ≤ 0.

Методом интервалов: t ∈ (−∞; 0) ∪ [1; 3]. Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ (4; 5) ∪ [7; 31].

Ответ: (4; 5) ∪ [7; 31].

Область определения: x > 1, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₅(x − 1). Получаем рациональное неравенство ((t)(t − 2))/(t − 1) ≤ 0.

Методом интервалов: t ∈ (−∞; 0] ∪ (1; 2]. Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ (1; 2] ∪ (6; 26].

Ответ: (1; 2] ∪ (6; 26].

Область определения: x > 4, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₂(x − 4). Получаем рациональное неравенство ((t − 1)(t − 3))/(t − 2) ≥ 0.

Методом интервалов: t ∈ [1; 2) ∪ [3; +∞). Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ [6; 8) ∪ [12; +∞).

Ответ: [6; 8) ∪ [12; +∞).

Область определения: x > 5, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₃(x − 5). Получаем рациональное неравенство ((t + 1)(t − 1))/(t − 2) ≥ 0.

Методом интервалов: t ∈ [-1; 1] ∪ (2; +∞). Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ [5,333333; 8] ∪ (14; +∞).

Ответ: [5,333333; 8] ∪ (14; +∞).

Область определения: x > 2, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₃(x − 2). Получаем рациональное неравенство ((t)(t − 2))/(t − 1) ≤ 0.

Методом интервалов: t ∈ (−∞; 0] ∪ (1; 2]. Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ (2; 3] ∪ (5; 11].

Ответ: (2; 3] ∪ (5; 11].

Область определения: x > 3, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₂(x − 3). Получаем рациональное неравенство ((t + 1)(t − 2))/(t) ≤ 0.

Методом интервалов: t ∈ (−∞; -1] ∪ (0; 2]. Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ (3; 3,5] ∪ (4; 7].

Ответ: (3; 3,5] ∪ (4; 7].

Область определения: x > 1, знаменатель не равен нулю. Положим t=log₂(x − 1). Получаем рациональное неравенство ((t)(t − 2))/(t − 1) ≥ 0.

Методом интервалов: t ∈ [0; 1) ∪ [2; +∞). Так как основание логарифма больше 1, после обратной замены получаем x ∈ [2; 3) ∪ [5; +∞).

Ответ: [2; 3) ∪ [5; +∞).