В треугольнике известно, что и .
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне , пересекает окружность, вписанную в треугольник .
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне .
Обозначим высоту треугольника , радиус вписанной окружности . Её центр лежит на оси симметрии на расстоянии от основания. Средняя линия имеет длину половины основания и находится на высоте . Расстояние от центра до неё . Если , прямая пересекает окружность в двух точках; половина полученной хорды . Здесь , , . Тогда , хорда имеет длину 5, средняя линия — 13. Два внешних отрезка имеют длины 4 и 4. Отношение .
Обозначим высоту треугольника , радиус вписанной окружности . Её центр лежит на оси симметрии на расстоянии от основания. Средняя линия имеет длину половины основания и находится на высоте . Расстояние от центра до неё . Если , прямая пересекает окружность в двух точках; половина полученной хорды . Здесь , , . Тогда , хорда имеет длину 5, средняя линия — 13. Два внешних отрезка имеют длины 4 и 4. Отношение .
В треугольнике известно, что и .
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне , пересекает окружность, вписанную в треугольник .
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне .
Обозначим высоту треугольника , радиус вписанной окружности . Её центр лежит на оси симметрии на расстоянии от основания. Средняя линия имеет длину половины основания и находится на высоте . Расстояние от центра до неё . Если , прямая пересекает окружность в двух точках; половина полученной хорды . Здесь , , . Тогда , хорда имеет длину 3, а средняя линия — 5. Благодаря симметрии два внешних отрезка имеют длины 1 и 1. Отношение .
Обозначим высоту треугольника , радиус вписанной окружности . Её центр лежит на оси симметрии на расстоянии от основания. Средняя линия имеет длину половины основания и находится на высоте . Расстояние от центра до неё . Если , прямая пересекает окружность в двух точках; половина полученной хорды . Здесь , , . Тогда , хорда имеет длину 3, а средняя линия — 5. Благодаря симметрии два внешних отрезка имеют длины 1 и 1. Отношение .
Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает сторону в точках и , а также пересекает продолжение стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если , а .
Возьмём за начало координат, обозначим , , , а радиус-векторы через . Уравнение окружности через начало имеет вид , где , . Подстановка даёт вторую точку . Подстановка даёт . Вычисление квадратов длин даёт , следовательно, .
Так как за , длина , а . При имеем , поэтому .
Возьмём за начало координат, обозначим , , , а радиус-векторы через . Уравнение окружности через начало имеет вид , где , . Подстановка даёт вторую точку . Подстановка даёт . Вычисление квадратов длин даёт , следовательно, .
Так как за , длина , а . При имеем , поэтому .
Окружность проходит через вершины , и параллелограмма , пересекает сторону в точках и , а также пересекает продолжение стороны за точку в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение , если , а .
Возьмём за начало координат, обозначим , , , а радиус-векторы через . Уравнение окружности через начало имеет вид , где , . Подстановка даёт вторую точку . Подстановка даёт . Вычисление квадратов длин даёт , следовательно, .
Так как за , длина , а . При имеем , поэтому .
Возьмём за начало координат, обозначим , , , а радиус-векторы через . Уравнение окружности через начало имеет вид , где , . Подстановка даёт вторую точку . Подстановка даёт . Вычисление квадратов длин даёт , следовательно, .
Так как за , длина , а . При имеем , поэтому .
Точка — центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если радиус описанной около треугольника окружности равен , .
а) Биссектриса делит дугу пополам, поэтому . Обозначим углы треугольника . Имеем , значит, . В треугольнике угол при равен , при — . Вычитая , получаем .
б) . Угол . Площадь .
а) Биссектриса делит дугу пополам, поэтому . Обозначим углы треугольника . Имеем , значит, . В треугольнике угол при равен , при — . Вычитая , получаем .
б) . Угол . Площадь .
Точка — центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке .
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника , если радиус описанной около треугольника окружности равен 6, , .
а) Обозначим углы треугольника . Биссектриса делит дугу пополам, поэтому . Имеем , значит, . В треугольнике угол при равен , при — . Вычитая из угла , получаем . Углы равны, поэтому .
б) . По теореме синусов , следовательно, . Угол . Площадь .
а) Обозначим углы треугольника . Биссектриса делит дугу пополам, поэтому . Имеем , значит, . В треугольнике угол при равен , при — . Вычитая из угла , получаем . Углы равны, поэтому .
б) . По теореме синусов , следовательно, . Угол . Площадь .
На сторонах , и прямоугольного треугольника с прямым углом вне треугольника построены равнобедренные прямоугольные треугольники , и с прямыми углами , и соответственно.
а) Докажите, что — высота треугольника .
б) Найдите площадь треугольника , если .
Выберем , , , где . Тогда , , . Прямая имеет уравнение , а — . Они перпендикулярны, следовательно, является высотой. При этом . Поэтому площадь .
Выберем , , , где . Тогда , , . Прямая имеет уравнение , а — . Они перпендикулярны, следовательно, является высотой. При этом . Поэтому площадь .
На сторонах , и прямоугольного треугольника с прямым углом вне треугольника построены равнобедренные прямоугольные треугольники , и с прямыми углами , и соответственно.
а) Докажите, что — высота треугольника .
б) Найдите площадь треугольника , если .
Выберем , , , где . Тогда , , . Прямая имеет уравнение , а — . Они перпендикулярны, следовательно, является высотой. При этом . Поэтому площадь .
Выберем , , , где . Тогда , , . Прямая имеет уравнение , а — . Они перпендикулярны, следовательно, является высотой. При этом . Поэтому площадь .
На сторонах , и прямоугольного треугольника с прямым углом вне треугольника построены равнобедренные прямоугольные треугольники , и с прямыми углами , и соответственно.
а) Докажите, что — высота треугольника .
б) Найдите площадь треугольника , если .
Выберем , , , где . Тогда , , . Прямая имеет уравнение , а — . Они перпендикулярны, следовательно, является высотой. При этом . Поэтому площадь .
Выберем , , , где . Тогда , , . Прямая имеет уравнение , а — . Они перпендикулярны, следовательно, является высотой. При этом . Поэтому площадь .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке , а угол равен . Точка лежит вне прямоугольника, а угол равен .
а) Докажите, что углы и равны.
б) Прямая пересекает сторону в точке . Найдите , если и .
а) Угол равен . В сумме с он даёт , значит, лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу и равны.
б) По теореме косинусов , . Тогда . Выберем , , , . Из расстояний и внешнего положения . Пересечение с имеет ординату . Значит, .
а) Угол равен . В сумме с он даёт , значит, лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу и равны.
б) По теореме косинусов , . Тогда . Выберем , , , . Из расстояний и внешнего положения . Пересечение с имеет ординату . Значит, .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке , а угол равен . Точка лежит вне прямоугольника, а угол равен .
а) Докажите, что углы и равны.
б) Прямая пересекает сторону в точке . Найдите , если и .
а) Угол равен . В сумме с он даёт , значит, лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу и равны.
б) По теореме косинусов , . Тогда . Выберем , , , . Из расстояний и внешнего положения . Пересечение с имеет ординату . Значит, .
а) Угол равен . В сумме с он даёт , значит, лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу и равны.
б) По теореме косинусов , . Тогда . Выберем , , , . Из расстояний и внешнего положения . Пересечение с имеет ординату . Значит, .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке , а угол равен . Точка лежит вне прямоугольника, а угол равен .
а) Докажите, что углы и равны.
б) Прямая пересекает сторону в точке . Найдите , если и .
а) В равнобедренном треугольнике угол . Поэтому углы и в сумме дают , точки лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу , значит, равны.
б) По теореме косинусов , . Высота прямоугольника . Выберем , , . Из расстояний до и внешнего положения получаем . Пересечение с прямой даёт .
а) В равнобедренном треугольнике угол . Поэтому углы и в сумме дают , точки лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу , значит, равны.
б) По теореме косинусов , . Высота прямоугольника . Выберем , , . Из расстояний до и внешнего положения получаем . Пересечение с прямой даёт .
В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке , а угол равен . Точка лежит вне прямоугольника, а угол равен .
а) Докажите, что углы и равны.
б) Прямая пересекает сторону в точке . Найдите , если и .
а) В равнобедренном треугольнике угол . Поэтому углы и в сумме дают , точки лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу , значит, равны.
б) По теореме косинусов , . Высота прямоугольника . Выберем , , . Из расстояний до и внешнего положения получаем . Пересечение с прямой даёт .
а) В равнобедренном треугольнике угол . Поэтому углы и в сумме дают , точки лежат на одной окружности. Вписанные углы и опираются на одну дугу , значит, равны.
б) По теореме косинусов , . Высота прямоугольника . Выберем , , . Из расстояний до и внешнего положения получаем . Пересечение с прямой даёт .
В четырёхугольнике противоположные стороны не параллельны. Диагонали пересекаются в точке под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка .
а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если , .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
В четырёхугольнике противоположные стороны не параллельны. Диагонали пересекаются в точке под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка .
а) Докажите, что в четырёхугольник можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если , .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
В четырёхугольнике противоположные стороны не параллельны. Диагонали пересекаются в точке под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка .
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если , .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
В четырёхугольнике противоположные стороны не параллельны. Диагонали пересекаются в точке под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка .
а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если , .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Пусть , , , . Подобие даёт: либо , либо ; аналогично либо , либо . Значит, хотя бы одна диагональ делится пополам. Обе одновременно делиться пополам не могут, иначе получился бы параллелограмм. Пусть , . Тогда из подобия . Симметричный случай аналогичен. Равенство означает, что четырёхугольник вписан в окружность. Также , , поэтому это выпуклый дельтоид. Его ось — биссектриса углов , и пересечение оси с биссектрисой угла равноудалено от всех четырёх сторон. Это центр вписанной окружности.
Из следует , поэтому пополам делится меньшая диагональ. Здесь , . Площадь , полупериметр . Следовательно, .
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Две окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично пересекает большую окружность в точке , а прямая вторично пересекает меньшую окружность в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите , если радиусы окружностей равны и .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Гомотетия с центром переводит меньшую окружность в большую, в , в . Следовательно, .
Возьмём за начало координат, за перпендикулярные оси. Если единичный вектор общей нормали к касательной , то длины ненулевых пересечений окружностей с осями равны и . Из равнобедренности , а . Длина катета . Подстановка даёт .
Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если и .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если и .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .
а) Докажите, что прямые и параллельны.
б) Найдите площадь треугольника , если и .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
а) Вписанные углы, опирающиеся на диаметры, прямые: , . Так как лежат на одной прямой, .
б) Выберем , , , . Пусть единичный вектор вдоль равен . Из и следует . Радиус к перпендикулярен касательной; поскольку , имеем , откуда . По теореме о касательной , поэтому , , . Тогда , . Выбирая верхнюю касательную, получаем .
Второе пересечение прямой с окружностью диаметра равно : это проверяется условием . Поэтому .
Основание трапеции в два раза меньше основания . Внутри трапеции взята точка так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до основания равно .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Основание трапеции в два раза меньше основания . Внутри трапеции взята точка так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до основания равно .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Основание трапеции в два раза меньше основания . Внутри трапеции взята точка так, что углы и прямые.
а) Докажите, что .
б) Найдите угол , если угол равен , а расстояние от точки до основания равно .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Выберем , , , , , где . Перпендикулярность даёт и . Разность уравнений равна , поэтому и .
В пункте б) . Обозначим . Из направления стороны получаем . Подстановка в первое уравнение даёт , . Поэтому . Так как , угол равен .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 15, площадь — 120, полупериметр — 25. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Точки — середины сторон остроугольного треугольника соответственно.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников , и , пересекаются в одной точке.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей, если , , .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Пусть — центр описанной окружности треугольника , её радиус . Каждая из трёх окружностей получается из неё гомотетией с центром в соответствующей вершине и коэффициентом . Поэтому её центр — середина , или , а радиус — . Расстояние от до каждого такого центра равно , следовательно, все три окружности проходят через .
Треугольник центров подобен с коэффициентом , значит, его вписанный радиус равен половине вписанного радиуса . Высота исходного равнобедренного треугольника равна 12, площадь — 60, полупериметр — 18. Поэтому искомый радиус .
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Центр O лежит на биссектрисах углов A и B, сумма которых 180°. Поэтому и . Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y высота h удовлетворяет . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и равны h и ; отношение его площади к площади трапеции равно . При k=X/Y получаем , или . Корни 8 и 1/8, поэтому искомое отношение 8.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что .
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что , а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет площади трапеции ABCD.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов. Так как углы A и B дополнительны, , значит ; аналогично COD. Для равнобедренной описанной трапеции с основаниями X≥Y и высотой h равенство сумм противоположных сторон даёт боковую сторону , откуда . Диагонали четырёхугольника точек касания перпендикулярны и имеют длины h и . Его площадь , площадь трапеции . При k=X/Y отношение площадей . Получаем ; k≥1 даёт k=6.
В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/√13, поэтому MN=4.
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/√13, поэтому MN=4.
В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если , .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/, поэтому MN=4.
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/, поэтому MN=4.
В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если , .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/√13, поэтому MN=4.
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/√13, поэтому MN=4.
В параллелограмме ABCD тангенс угла A равен 1,5. На продолжениях сторон AB и BC параллелограмма за точку B выбраны точки N и M соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/, поэтому MN=4.
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. Условия дают , , а D=vf. Поэтому . Также . Из tg A=3/2 получаем c=2/, поэтому MN=4.
В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если , .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём и .
а) Докажите, что .
б) Найдите MN, если , .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Пусть , , , единичные векторы вдоль AB и AD — e и f. В координатах A=0, B=ue, D=vf, C=ue+vf условия дают , . Тогда . Кроме того . Здесь c=12/13, поэтому .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а . Точка K — пересечение прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если , .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если , .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а . Точка K — пересечение прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если , .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если , .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а . Точка K — пересечение прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если , .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а . Точка K — пересечение прямых BE и AD.
а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если , .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Пусть равные дуги BC, CD, DE равны 2θ. Выберем угловые координаты , , , . Условие даёт A, противоположную D; AD — диаметр. В координатах центра O=(0;0) прямая BE имеет уравнение , поэтому . Прямая CE вертикальна с абсциссой , равной середине KD. При R=2 и получаем , AK=5/2, . Площадь .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если , .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём , а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.
а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника ABT, если , .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
Равные хорды AE, ED, DC стягивают равные дуги 2θ. Выберем на окружности радиуса R угловые координаты , , , . Из следует, что B противоположна D, значит BD — диаметр. При O=(0;0) имеем , ; прямая AC задаётся . Поэтому , тогда как EC вертикальна с абсциссой , равной середине между и R. При R=3 и получаем T=(1;0), BT=4, . Площадь равна .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.
а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, , а и .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, , а и .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.
а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, , а и .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.
а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, , а и .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
Из вписанных углов , следует , значит . Вписанная трапеция равнобедренная; её углы при AB дополнительны, поэтому . Пусть боковая сторона ℓ, , . Диагональ AC равна . Из находим ℓ=38/5. Тогда , высота малой трапеции , а горизонтальная проекция BN равна . Значит . Радиус .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, , а и .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, , а и .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
Из вписанных углов и , а их сумма 180°. Поэтому , то есть . Вписанная трапеция равнобедренная; также . Пусть боковая сторона ℓ, острый угол φ, , . Диагональ AC равна . При BC=4 имеем и , откуда ℓ=14, AD=11. Выберем , ; тогда , . Диагональ AN равна , поэтому радиус малой окружности .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной на AB. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что E и F лежат на прямой IJ.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
Отрезок, соединяющий середины и оснований соответственно и трапеции , разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны , основания трапеции и вписанной в неё окружности.
а) Для описанных трапеций и суммы оснований одинаковы: . По свойству описанного четырёхугольника они равны соответственно и . Поэтому , исходная трапеция равнобедренная.
б) Высота равна 8. Положим , . Тогда и по теореме Пифагора , откуда , . Для угла при имеем , . Центры двух окружностей, касающихся сторон угла, лежат на биссектрисе; для меньшего радиуса внешнее касание даёт . Отсюда .
а) Для описанных трапеций и суммы оснований одинаковы: . По свойству описанного четырёхугольника они равны соответственно и . Поэтому , исходная трапеция равнобедренная.
б) Высота равна 8. Положим , . Тогда и по теореме Пифагора , откуда , . Для угла при имеем , . Центры двух окружностей, касающихся сторон угла, лежат на биссектрисе; для меньшего радиуса внешнее касание даёт . Отсюда .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной на AB. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что E и F лежат на прямой IJ.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной на AB. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что E и F лежат на прямой IJ.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
В координатах , , положим , . Тогда и . Формула координат инцентра (веса равны длинам противоположных сторон) для BCD и ACD даёт , поэтому IJ совпадает с EF. Здесь w=4, . Расстояние от начала координат до равно .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
Окружность с центром в точке C касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины C. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.
а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если , .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
Положим , , , , . Тогда , . Используя формулу координат центра вписанной окружности как среднего вершин с весами, равными противоположным сторонам, для обоих треугольников получаем . Координаты положительны, значит I и J лежат на EF. При u=15, v=20 имеем r=12, поэтому расстояние от C до равно .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5.
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
Равенство сумм противоположных сторон двух описанных четырёхугольников даёт . Высота трапеции , . Пусть . Тогда и . Получаем , , . Радиус .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5.
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если , а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5.
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
Для двух описанных четырёхугольников и . Из равенств половин оснований следует . Высота трапеции , . Условие касания даёт . Диагональ . Радиус описанной окружности по треугольнику ABC равен .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD дают , значит . При центре окружности в начале координат можно взять , , где . Тогда , а даёт . Решение с : , . Поэтому .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
Четырёхугольник ABCD со сторонами и вписан в окружность радиусом .
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
Равные хорды AB и CD стягивают равные дуги, поэтому , откуда . Пусть половина AD равна t, а центр окружности — начало координат. Тогда , , . Условие даёт . Из системы единственное решение с : , . Поэтому .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
Пусть . Тогда , . Из теоремы синусов ; в равнобедренном треугольнике ALC , что доказывает равенство отношений. При , точки L и E имеют абсциссу , их ординаты и . Поэтому .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана точка E такая, что AE = CE.
а) Докажите, что .
б) Найдите EL, если , .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
Пусть ; тогда , . По теореме синусов . В треугольнике ALC углы при A и C равны , поэтому . В координатах , имеем и , так как AE = CE. Значит, .
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то .
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если , , .
Пусть , . Радиус . Отсутствие пересечения BC с окружностью означает , что равносильно . Для заданных чисел , . Искомая хорда на высоте равна .
Пусть , . Радиус . Отсутствие пересечения BC с окружностью означает , что равносильно . Для заданных чисел , . Искомая хорда на высоте равна .
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если , то окружность пересекает сторону BC в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка BC, которая находится внутри окружности, если , , .
Пусть , . Радиус окружности . Условие равносильно , поэтому BC пересекает окружность в двух точках. Для заданных чисел , . Длина хорды .
Пусть , . Радиус окружности . Условие равносильно , поэтому BC пересекает окружность в двух точках. Для заданных чисел , . Длина хорды .
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то .
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если , , .
Пусть , . Радиус . Отсутствие пересечения BC с окружностью означает , что равносильно . Для заданных чисел , . Искомая хорда на высоте равна .
Пусть , . Радиус . Отсутствие пересечения BC с окружностью означает , что равносильно . Для заданных чисел , . Искомая хорда на высоте равна .
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если , то окружность пересекает сторону BC в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка BC, которая находится внутри окружности, если , , .
Пусть , . Радиус окружности . Условие равносильно , поэтому BC пересекает окружность в двух точках. Для заданных чисел , . Длина хорды .
Пусть , . Радиус окружности . Условие равносильно , поэтому BC пересекает окружность в двух точках. Для заданных чисел , . Длина хорды .
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что . Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом .
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если .
Возьмём , , . Из и следует , . Точка M на AC соответствует доле от C, значит . Далее . Из следует , поэтому периметр . В таблице ответов сборника для этого условия указано 30, что не согласуется с расчётом.
Возьмём , , . Из и следует , . Точка M на AC соответствует доле от C, значит . Далее . Из следует , поэтому периметр . В таблице ответов сборника для этого условия указано 30, что не согласуется с расчётом.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что . Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом .
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2 : 1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если .
Положим , , , . Из и следует , . На AC точка M с абсциссой соответствует . При этом . Отсюда и .
Положим , , , . Из и следует , . На AC точка M с абсциссой соответствует . При этом . Отсюда и .
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите , если KP : PM = 4 : 3, AP : PB = 3 : 2.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из биссектрис и параллельности . Из получаем , поэтому и трапеция равнобедренная.
Так как , имеем . Обозначим . Теорема косинусов в треугольниках KAP и MBP даёт . Подставляя , получаем , откуда и . В напечатанном ключе указано 0,296; это не удовлетворяет исходным отношениям.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из биссектрис и параллельности . Из получаем , поэтому и трапеция равнобедренная.
Так как , имеем . Обозначим . Теорема косинусов в треугольниках KAP и MBP даёт . Подставляя , получаем , откуда и . В напечатанном ключе указано 0,296; это не удовлетворяет исходным отношениям.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите , если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из свойства биссектрис и параллельности AB основаниям и . Поскольку , получаем , то есть ; трапеция равнобедренная.
Из следует . Пусть . В равнобедренной трапеции по теореме косинусов для треугольников KAP и MBP . Поэтому , откуда .
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из свойства биссектрис и параллельности AB основаниям и . Поскольку , получаем , то есть ; трапеция равнобедренная.
Из следует . Пусть . В равнобедренной трапеции по теореме косинусов для треугольников KAP и MBP . Поэтому , откуда .
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 5, r = 3.
Обозначим , гипотенузу — a. Центр большой вписанной окружности , а дополнительная касательная — . Подобие треугольников CDE и CBA даёт коэффициент . Тогда и . Подставляя и , получаем .
При коэффициент , откуда и . Далее и , значит . Площадь .
Обозначим , гипотенузу — a. Центр большой вписанной окружности , а дополнительная касательная — . Подобие треугольников CDE и CBA даёт коэффициент . Тогда и . Подставляя и , получаем .
При коэффициент , откуда и . Далее и , значит . Площадь .
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
Расположим и обозначим гипотенузу . Центр исходной окружности . Вторая горизонтальная касательная имеет уравнение и отсекает подобный треугольник CDE с коэффициентом . Тогда и пересечение OO₁ с AB даёт . Из и следует — требуемое равенство.
При имеем , значит и . Из получаем , а по теореме Пифагора и . Площадь .
Расположим и обозначим гипотенузу . Центр исходной окружности . Вторая горизонтальная касательная имеет уравнение и отсекает подобный треугольник CDE с коэффициентом . Тогда и пересечение OO₁ с AB даёт . Из и следует — требуемое равенство.
При имеем , значит и . Из получаем , а по теореме Пифагора и . Площадь .
Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке K, а диагональ BD — в точке L, причём AK : KC = 1 : 3, BL : LD = 2 : 1.
а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.
Положим , где . Тогда и , так что . Линия KL пересекает AB в точке , поэтому .
Из следует и . Следовательно, . При KL = 6 получаем .
Положим , где . Тогда и , так что . Линия KL пересекает AB в точке , поэтому .
Из следует и . Следовательно, . При KL = 6 получаем .
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если .
Возьмём , , , , где . Тогда , , . Прямая MN пересекает BC в точке , поэтому .
Из следует , то есть . Поэтому . При получаем .
Возьмём , , , , где . Тогда , , . Прямая MN пересекает BC в точке , поэтому .
Из следует , то есть . Поэтому . При получаем .
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что . Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом .
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если .
Возьмём , , . Из и следует , . Точка M на AC соответствует доле от C, значит . Далее . Из следует , поэтому периметр . В таблице ответов сборника для этого условия указано 30, что не согласуется с расчётом.
Возьмём , , . Из и следует , . Точка M на AC соответствует доле от C, значит . Далее . Из следует , поэтому периметр . В таблице ответов сборника для этого условия указано 30, что не согласуется с расчётом.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что . Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом .
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2 : 1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если .
Положим , , , . Из и следует , . На AC точка M с абсциссой соответствует . При этом . Отсюда и .
Положим , , , . Из и следует , . На AC точка M с абсциссой соответствует . При этом . Отсюда и .
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите , если KP : PM = 4 : 3, AP : PB = 3 : 2.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из биссектрис и параллельности . Из получаем , поэтому и трапеция равнобедренная.
Так как , имеем . Обозначим . Теорема косинусов в треугольниках KAP и MBP даёт . Подставляя , получаем , откуда и . В напечатанном ключе указано −0,296; это не удовлетворяет исходным отношениям.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из биссектрис и параллельности . Из получаем , поэтому и трапеция равнобедренная.
Так как , имеем . Обозначим . Теорема косинусов в треугольниках KAP и MBP даёт . Подставляя , получаем , откуда и . В напечатанном ключе указано −0,296; это не удовлетворяет исходным отношениям.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите , если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из свойства биссектрис и параллельности AB основаниям и . Поскольку , получаем , то есть ; трапеция равнобедренная.
Из следует . Пусть . В равнобедренной трапеции по теореме косинусов для треугольников KAP и MBP . Поэтому , откуда .
Пусть KL = l, MN = m, а AB проведена на доле t высоты от основания KN. Из свойства биссектрис и параллельности AB основаниям и . Поскольку , получаем , то есть ; трапеция равнобедренная.
Из следует . Пусть . В равнобедренной трапеции по теореме косинусов для треугольников KAP и MBP . Поэтому , откуда .
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 5, r = 3.
Обозначим , гипотенузу — a. Центр большой вписанной окружности , а дополнительная касательная — . Подобие треугольников CDE и CBA даёт коэффициент . Тогда и . Подставляя и , получаем .
При коэффициент , откуда и . Далее и , значит . Площадь .
Обозначим , гипотенузу — a. Центр большой вписанной окружности , а дополнительная касательная — . Подобие треугольников CDE и CBA даёт коэффициент . Тогда и . Подставляя и , получаем .
При коэффициент , откуда и . Далее и , значит . Площадь .
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O₁ и радиусом r. Прямые OO₁ и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
Расположим и обозначим гипотенузу . Центр исходной окружности . Вторая горизонтальная касательная имеет уравнение и отсекает подобный треугольник CDE с коэффициентом . Тогда и пересечение OO₁ с AB даёт . Из и следует — требуемое равенство.
При имеем , значит и . Из получаем , а по теореме Пифагора и . Площадь .
Расположим и обозначим гипотенузу . Центр исходной окружности . Вторая горизонтальная касательная имеет уравнение и отсекает подобный треугольник CDE с коэффициентом . Тогда и пересечение OO₁ с AB даёт . Из и следует — требуемое равенство.
При имеем , значит и . Из получаем , а по теореме Пифагора и . Площадь .
Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке K, а диагональ BD — в точке L, причём AK : KC = 1 : 3, BL : LD = 2 : 1.
а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.
Положим , где . Тогда и , так что . Линия KL пересекает AB в точке , поэтому .
Из следует и . Следовательно, . При KL = 6 получаем .
Положим , где . Тогда и , так что . Линия KL пересекает AB в точке , поэтому .
Из следует и . Следовательно, . При KL = 6 получаем .
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1 : 4.
б) Найдите сторону ромба, если .
а) Проведём высоты ромба, как на рисунке. Из и параллельности построенных высот следует , поэтому . Далее равные отрезки высот дают , откуда точка пересечения прямой со стороной делит её в отношении .
б) Пусть , . Тогда , , . Равенство высот даёт , поэтому , .
В прямоугольном треугольнике имеем и . Отсюда .
а) Проведём высоты ромба, как на рисунке. Из и параллельности построенных высот следует , поэтому . Далее равные отрезки высот дают , откуда точка пересечения прямой со стороной делит её в отношении .
б) Пусть , . Тогда , , . Равенство высот даёт , поэтому , .
В прямоугольном треугольнике имеем и . Отсюда .
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если , то .
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Обозначим сторону квадрата , и . Тогда площадь четырёхугольника EBFP равна . Отсекается треугольник у D: если бы он был у B, равенство его площади площади EBFP привело бы к и вырождению четырёхугольника. У D площадь треугольника равна , следовательно . При имеем и .
Из следует , а . Поскольку и , их отношение .
Обозначим сторону квадрата , и . Тогда площадь четырёхугольника EBFP равна . Отсекается треугольник у D: если бы он был у B, равенство его площади площади EBFP привело бы к и вырождению четырёхугольника. У D площадь треугольника равна , следовательно . При имеем и .
Из следует , а . Поскольку и , их отношение .
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если , то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Пусть сторона квадрата , , а . Тогда при и . Так как EBFP — невырожденный четырёхугольник, отсечён треугольник у вершины D, а не у B: в последнем случае равенство площадей дало бы и точки E,P,F лежали бы на одной прямой. У D отсечён треугольник площади . По условию . Если то , то есть . Поэтому и .
Из получаем , а из имеем . Площадь , . Их отношение равно .
Пусть сторона квадрата , , а . Тогда при и . Так как EBFP — невырожденный четырёхугольник, отсечён треугольник у вершины D, а не у B: в последнем случае равенство площадей дало бы и точки E,P,F лежали бы на одной прямой. У D отсечён треугольник площади . По условию . Если то , то есть . Поэтому и .
Из получаем , а из имеем . Площадь , . Их отношение равно .
В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 24, ∠BAC = 60°.
Средняя линия NP параллельна AC и отстоит от неё на половину высоты треугольника. Вписанная окружность касается обеих параллельных прямых, расстояние между ними равно , где — её радиус. Значит . Из равенств площади следует , поэтому периметр равен .
При периметре 24 имеем . Если , то . По теореме косинусов при : , откуда . Тогда .
Средняя линия NP параллельна AC и отстоит от неё на половину высоты треугольника. Вписанная окружность касается обеих параллельных прямых, расстояние между ними равно , где — её радиус. Значит . Из равенств площади следует , поэтому периметр равен .
При периметре 24 имеем . Если , то . По теореме косинусов при : , откуда . Тогда .
В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 28, ∠BAC = 120°.
Отрезок NP — средняя линия треугольника, параллельная AC; расстояние между NP и AC равно половине высоты из B. Вписанная окружность касается и AC, и NP, поэтому это расстояние равно ; значит . Площадь треугольника одновременно равна и при полупериметре s. Отсюда и периметр равен .
При периметре 28 получаем . Пусть . По теореме косинусов при угле A=120°: , откуда . Площадь .
Отрезок NP — средняя линия треугольника, параллельная AC; расстояние между NP и AC равно половине высоты из B. Вписанная окружность касается и AC, и NP, поэтому это расстояние равно ; значит . Площадь треугольника одновременно равна и при полупериметре s. Отсюда и периметр равен .
При периметре 28 получаем . Пусть . По теореме косинусов при угле A=120°: , откуда . Площадь .
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что .
б) Найдите , если .
Пусть , а — единичные векторы вдоль AB и AD. Биссектриса AK даёт ; её продолжение пересекает DC в . Так как AC делит угол KAD пополам, она образует с AB угол . Из разложения следует . Поэтому . Но и ; значит .
При имеем и . Тогда и . Следовательно, .
Пусть , а — единичные векторы вдоль AB и AD. Биссектриса AK даёт ; её продолжение пересекает DC в . Так как AC делит угол KAD пополам, она образует с AB угол . Из разложения следует . Поэтому . Но и ; значит .
При имеем и . Тогда и . Следовательно, .
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что .
б) Найдите , если .
Пусть . Введём единичные векторы вдоль AB и вдоль AD. Поскольку AK — биссектриса, ; аналогично . Вектор образует с AB угол . Из формулы разложения по двум направлениям . Поэтому . Между тем и . Отсюда .
Если то и . Тогда , а . Следовательно, .
Пусть . Введём единичные векторы вдоль AB и вдоль AD. Поскольку AK — биссектриса, ; аналогично . Вектор образует с AB угол . Из формулы разложения по двум направлениям . Поэтому . Между тем и . Отсюда .
Если то и . Тогда , а . Следовательно, .
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка E — середина стороны BC. Через точку B перпендикулярно прямой AB и через точку E перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке K.
а) Докажите, что AK = KD.
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки K до прямой AD равно длине отрезка EC и ∠ADC = 110°.
Расположим . Тогда , а из следует . Условие даёт . Поэтому и .
В равнобедренном треугольнике AKD расстояние от K до основания AD равно половине основания, так что треугольник прямоугольный равнобедренный. Для данного расположения точек отсюда и . Значит направлен под углом 315° к AB. Поскольку луч DA направлен под углом 250° к AB. Искомый угол .
Расположим . Тогда , а из следует . Условие даёт . Поэтому и .
В равнобедренном треугольнике AKD расстояние от K до основания AD равно половине основания, так что треугольник прямоугольный равнобедренный. Для данного расположения точек отсюда и . Значит направлен под углом 315° к AB. Поскольку луч DA направлен под углом 250° к AB. Искомый угол .
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка E — середина стороны BC. Через точку B перпендикулярно прямой AB и через точку E перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке K.
а) Докажите, что AK = KD.
б) Найдите угол BAD, если расстояние от точки K до прямой AD равно длине отрезка EC и ∠CED = 58°.
Положим . Тогда . Так как , . Условие даёт . Подстановка в формулы расстояний показывает ; значит .
Пусть . По условию расстояние от K до AD равно . В равнобедренном треугольнике AKD высота к основанию AD равна половине основания, следовательно он прямоугольный равнобедренный. Для расположения точек на чертеже ; поскольку , . Тогда направлен под углом 135° к AB, а . Поэтому и .
Положим . Тогда . Так как , . Условие даёт . Подстановка в формулы расстояний показывает ; значит .
Пусть . По условию расстояние от K до AD равно . В равнобедренном треугольнике AKD высота к основанию AD равна половине основания, следовательно он прямоугольный равнобедренный. Для расположения точек на чертеже ; поскольку , . Тогда направлен под углом 135° к AB, а . Поэтому и .
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP = 6 и PK = 8.
а) Из равенства касательных, проведённых из A, следует . Так как в ромбе , треугольники AFP и ABD подобны, поэтому .
б) Пусть сторона ромба равна , угол A равен . Обозначим , . Из координат точек касания: , . Значит , откуда , . Тогда и площадь .
а) Из равенства касательных, проведённых из A, следует . Так как в ромбе , треугольники AFP и ABD подобны, поэтому .
б) Пусть сторона ромба равна , угол A равен . Обозначим , . Из координат точек касания: , . Значит , откуда , . Тогда и площадь .
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP = 12 и PK = 5.
а) Обозначим единичные векторы вдоль сторон и через и , а сторону ромба через . Из равенства касательных, проведённых из точки , имеем . Поэтому , а . Следовательно, .
б) Пусть угол . Тогда , а . Для касательных к вписанной окружности и . Отсюда , значит .
Диагональ .
а) Обозначим единичные векторы вдоль сторон и через и , а сторону ромба через . Из равенства касательных, проведённых из точки , имеем . Поэтому , а . Следовательно, .
б) Пусть угол . Тогда , а . Для касательных к вписанной окружности и . Отсюда , значит .
Диагональ .
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне BC отмечена точка D такая, что BD = AB/3. Через точку D проведена прямая, параллельная AB, пересекающая сторону AC в точке E.
а) Докажите, что DE = AB/3.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABDE, если AB = 12, BC = 8.
В треугольнике ABC ∠B = 90°, AB = 9, BC = 12. На продолжении катета BA за точку A отмечена точка D так, что AD = 5. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная CD, пересекающая прямую BC в точке E.
а) Докажите, что точки A, B, D, E лежат на одной окружности.
б) Найдите DE.
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно.
а) Докажите, что MH = NH.
б) Найдите MN, если AB = 10 и ∠ABC = 120°.
В четырёхугольнике ABCD углы A и C — прямые, AB = 3, CD = 12, BC = 4.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
В треугольнике ABC ∠BAC = 90°. На стороне BC отмечена точка D, а на отрезке AD — точка E такие, что ∠BAE = ∠BCA и ∠ACE = ∠ABC.
а) Докажите, что треугольники ABE и ACD подобны.
б) Найдите AD, если AB = 3, AC = 4.
Дан прямоугольник ABCD. Точка E — середина стороны CD. На стороне BC отмечена точка F такая, что ∠AEF = 90°.
а) Докажите, что AE — биссектриса угла DAF.
б) Найдите BF, если AB = 12, BC = 16.
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Через точки A и D проведена окружность, касающаяся прямой BC в точке B.
а) Докажите, что AB — биссектриса угла DAE... нет. Докажите, что треугольник ABD равнобедренный.
б) Найдите CE, если AE = 2, BE = 6, DE = 3.
В ромбе ABCD точка E — середина стороны BC. Прямая AE пересекает прямую DC в точке F.
а) Докажите, что CF = CD/2.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEF и ABE, если ∠BAD = 60°.
В трапеции ABCD с основаниями BC = 5 и AD = 8 прямые AB и CD пересекаются в точке E.
а) Докажите, что треугольники EBC и EAD подобны.
б) Найдите площадь треугольника EBC, если площадь трапеции ABCD равна 39.
В треугольнике ABC точка I — центр вписанной окружности. Прямая BI пересекает сторону AC в точке D.
а) Докажите, что AD/DC = AB/BC.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AB = 7, BC = 5, AC = 8.
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и C, а вторую — в точках B и D соответственно.
а) Докажите, что AB ∥ CD.
б) Найдите AB, если радиусы окружностей равны 4 и 9, а CD = 18.
В остроугольном треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ — основания высот, проведённых из вершин A, B и C соответственно.
а) Докажите, что ∠B₁A₁C₁ = 180° − 2∠A.
б) Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если AB = 13, BC = 14, CA = 15.
На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка E, а на стороне AD — точка F так, что CE = DF. Отрезки AE и BF пересекаются в точке P.
а) Докажите, что ∠APB = 90°.
б) Найдите площадь треугольника APB, если AB = 6, CE = 2.
В трапеции ABCD (AD ∥ BC) через точку пересечения диагоналей O проведена прямая, параллельная основаниям, пересекающая боковые стороны AB и CD в точках E и F.
а) Докажите, что OE = OF.
б) Найдите EF, если BC = 6 и AD = 10.
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Через точку M проведена прямая, параллельная AB, пересекающая сторону BC в точке K.
а) Докажите, что K — середина BC.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABKM, если AB = 12, BC = 10, ∠ABC = 60°.
В треугольнике ABC на стороне AB отмечена точка K, а на стороне BC — точка L так, что AK : KB = 1 : 3, BL : LC = 3 : 1. Отрезки AL и CK пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площадь четырёхугольника KBLO равна площади треугольника AOC.
б) Найдите отношение CO : OK.
В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка E такая, что AE = AB. Прямая BE пересекает сторону CD в точке F.
а) Докажите, что BF ⊥ AC, если ABCD — ромб.
б) Найдите CF, если AB = 6, BC = 4, ∠BAC = 90°.
Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) описана окружность. Касательная к окружности в точке B пересекает прямую AC в точке D.
а) Докажите, что BD² = DA · DC.
б) Найдите BD, если AB = 5 и AC = 6.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, пересекающиеся в точке H.
а) Докажите, что ∠A₁HC₁ = ∠ABC.
б) Найдите A₁C₁, если AC = 10 и ∠ABC = 30°.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете BC отмечена точка D такая, что AD = AB/2. Окружность, описанная около треугольника ACD, пересекает гипотенузу AB в точке E.
а) Докажите, что AE = AD.
б) Найдите DE, если AC = 6, BC = 8.
В трапеции ABCD (BC ∥ AD) диагонали пересекаются в точке O. Окружность, описанная около треугольника BOC, пересекает стороны AB и CD в точках E и F соответственно.
а) Докажите, что EF ∥ AD.
б) Найдите EF, если BC = 4 и AD = 16.
В ромбе ABCD проведена диагональ AC. На стороне AD отмечена точка E такая, что AE = AC.
а) Докажите, что CE — биссектриса угла ACD.
б) Найдите площадь ромба, если CE = 8 и ∠ABC = 120°.
Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках E и D соответственно.
а) Докажите, что треугольники ABC и DCE подобны.
б) Найдите DE, если AB = 15, AC = 12, BC = 10 и CD = 6.
В треугольнике ABC угол B равен 60°, AB = 4, BC = 6. Точка D лежит на стороне AC, причём BD — биссектриса угла B.
а) Докажите, что AD · BC = AB · DC.
б) Найдите площадь треугольника ABD.
В трапеции ABCD (AD ∥ BC) на боковой стороне AB отмечена точка E так, что AE = BC. Отрезки CE и BD пересекаются в точке O.
а) Докажите, что OE · OD = OB · OC.
б) Найдите отношение площадей треугольников BOC и EOD, если AD = 3BC.
В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Прямая CE пересекает прямую AD в точке F.
а) Докажите, что AF = AD.
б) Найдите отношение площади треугольника CEF к площади четырёхугольника BCDA, если BC : AB = 2 : 3.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH и BK. На стороне AB отмечена точка M такая, что CM — медиана.
а) Докажите, что треугольники AHK и ABC подобны.
б) Найдите HK, если AB = 10, ∠ACB = 60°.
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка D так, что AD — биссектриса. Окружность, вписанная в треугольник ABD, касается стороны AD в точке M, а окружность, вписанная в треугольник ACD, касается стороны AD в точке N.
а) Докажите, что MN = |AB − AC|/2.
б) Найдите MN, если BC = 14, AB = 13, AC = 15.
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то b + c < 2a.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если c = 12, b = 6, a = 10.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите cos∠LKN, если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если BP · BE = , то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
Окружность с центром в точке O вписана в ромб ABCD и касается его сторон AB, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP = 12 и PK = 5.
В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон AB, BC и AD, вторая — сторон BC, CD и AD, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны CD с одной из окружностей радиуса r делит сторону CD в отношении 1 : 9.
а) Докажите, что r = 0,3 · CD.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB = 20.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку M такую, что BM : MC = 2 : 3, DB = DM.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,8.
б) На луче BH, где BH — высота треугольника BDM, отметили такую точку P, что около четырёхугольника ABPD можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = .
Точка M — середина стороны BC ромба ABCD, DB = DM.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,75.
б) На луче BH, где BH — высота треугольника BDM, отметили такую точку P, что в четырёхугольник ABPD можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 4.
В прямоугольную трапецию ABCD с большим основанием CD и прямыми углами A и D вписана окружность с центром в точке O радиуса R. Точка G — точка касания данной окружности и стороны AB трапеции ABCD. Биссектриса угла ABC перпендикулярна стороне BC и пересекает её в точке N.
а) Докажите, что BG = ( − 1)R.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BNOG, если R = 6.