а) Решите уравнение [log₂²(sin x) + log₂(sin x)] / (2cos x + √3) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π/2].
Область допустимых значений: sin x > 0 и 2cos x + √3 ≠ 0.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: log₂²(sin x) + log₂(sin x) = 0.
Пусть t = log₂(sin x). Тогда t(t + 1) = 0, поэтому sin x = 1 или sin x = 1/2.
Из sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk. Из sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
При x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен нулю, поэтому эти значения исключаются.
На отрезке [0; 3π/2] остаются π/6 и π/2.
Ответ: а) x = π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k∈Z; б) π/6, π/2
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 638272
Область допустимых значений: sin x > 0 и 2cos x + √3 ≠ 0.
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю: log₂²(sin x) + log₂(sin x) = 0.
Пусть t = log₂(sin x). Тогда t(t + 1) = 0, поэтому sin x = 1 или sin x = 1/2.
Из sin x = 1 получаем x = π/2 + 2πk. Из sin x = 1/2 получаем x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.
При x = 5π/6 + 2πk знаменатель равен нулю, поэтому эти значения исключаются.
На отрезке [0; 3π/2] остаются π/6 и π/2.
Ответ: а) x = π/6 + 2πk или x = π/2 + 2πk, k∈Z; б) π/6, π/2
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 638272
а) Решите уравнение [9^(sin 2x) − 3^(2√2·sin x)] / √(11sin x) = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].
ОДЗ: 11sin x > 0, то есть sin x > 0.
Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: 9^(sin2x) = 3^(2√2·sin x).
Так как 9 = 3², получаем 3^(2sin2x) = 3^(2√2·sin x), поэтому 2sin2x = 2√2sin x.
4sin x cos x = 2√2sin x. На ОДЗ sin x ≠ 0, поэтому cos x = √2/2.
С учётом sin x > 0 получаем x = π/4 + 2πk, k∈Z.
На отрезке [7π/2; 5π] находится x = 17π/4.
Ответ: а) x = π/4 + 2πk, k∈Z; б) 17π/4
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания FDA042
ОДЗ: 11sin x > 0, то есть sin x > 0.
Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: 9^(sin2x) = 3^(2√2·sin x).
Так как 9 = 3², получаем 3^(2sin2x) = 3^(2√2·sin x), поэтому 2sin2x = 2√2sin x.
4sin x cos x = 2√2sin x. На ОДЗ sin x ≠ 0, поэтому cos x = √2/2.
С учётом sin x > 0 получаем x = π/4 + 2πk, k∈Z.
На отрезке [7π/2; 5π] находится x = 17π/4.
Ответ: а) x = π/4 + 2πk, k∈Z; б) 17π/4
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания FDA042
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD =1 :2 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Обозначим через P и K точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AB и CD. Тогда TP ∥ BD, TK ∥ AC, а противоположные стороны сечения попарно параллельны.
В правильной треугольной пирамиде проекция D на основание — центр O равностороннего треугольника ABC. Прямая AC перпендикулярна BO и DO, следовательно, AC ⟂ плоскости BOD и AC ⟂ BD. Поэтому соседние стороны сечения, параллельные AC и BD, перпендикулярны. Сечение — прямоугольник.
Так как AT:TD = 1:2, то AT/AD = 1/3 и DT/DA = 2/3. Из подобия треугольников ATP и ADB: TP = BD/3 = 3. Из подобия DTK и DAC: TK = (2/3)AC = 10/3.
Площадь прямоугольника равна 3·10/3 = 10.
Ответ: а) доказано; б) 10
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 149319
Обозначим через P и K точки пересечения секущей плоскости с рёбрами AB и CD. Тогда TP ∥ BD, TK ∥ AC, а противоположные стороны сечения попарно параллельны.
В правильной треугольной пирамиде проекция D на основание — центр O равностороннего треугольника ABC. Прямая AC перпендикулярна BO и DO, следовательно, AC ⟂ плоскости BOD и AC ⟂ BD. Поэтому соседние стороны сечения, параллельные AC и BD, перпендикулярны. Сечение — прямоугольник.
Так как AT:TD = 1:2, то AT/AD = 1/3 и DT/DA = 2/3. Из подобия треугольников ATP и ADB: TP = BD/3 = 3. Из подобия DTK и DAC: TK = (2/3)AC = 10/3.
Площадь прямоугольника равна 3·10/3 = 10.
Ответ: а) доказано; б) 10
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 149319
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известно, что AB =2. Плоскость α проходит через вершины A1 и B и середину M ребра CC1. а) Докажите, что сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью α равна 6.
Сечение проходит по треугольнику A₁BM. Введём координаты: A(0;0;0), B(2;0;0), C(1;√3;0), A₁(0;0;h), M(1;√3;h/2).
A₁M² = 1² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4. Аналогично BM² = (−1)² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4.
Следовательно, A₁M = BM, и сечение является равнобедренным треугольником.
Площадь треугольника A₁BM равна половине модуля векторного произведения A₁B и A₁M: S = (1/2)√(3h² + 12).
По условию (1/2)√(3h² + 12) = 6. Отсюда 3h² + 12 = 144, h² = 44, h = 2√11.
Ответ: а) доказано; б) 2√11
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 727800
Сечение проходит по треугольнику A₁BM. Введём координаты: A(0;0;0), B(2;0;0), C(1;√3;0), A₁(0;0;h), M(1;√3;h/2).
A₁M² = 1² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4. Аналогично BM² = (−1)² + (√3)² + (h/2)² = 4 + h²/4.
Следовательно, A₁M = BM, и сечение является равнобедренным треугольником.
Площадь треугольника A₁BM равна половине модуля векторного произведения A₁B и A₁M: S = (1/2)√(3h² + 12).
По условию (1/2)√(3h² + 12) = 6. Отсюда 3h² + 12 = 144, h² = 44, h = 2√11.
Ответ: а) доказано; б) 2√11
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 727800
В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT :TD =2 :1 . Через точку Т параллельно прямым AC и BD проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения.
Обозначим вершины сечения так, чтобы одна сторона через T была параллельна BD, а другая — AC. Как и в задании 3, AC ⟂ BD, поэтому параллелограмм сечения является прямоугольником.
AT:TD = 2:1, поэтому AT/AD = 2/3, DT/DA = 1/3.
Сторона, параллельная BD, равна (2/3)BD = 10/3. Сторона, параллельная AC, равна (1/3)AC = 2.
Площадь сечения: (10/3)·2 = 20/3.
Ответ: а) доказано; б) 20/3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 30ED04
Обозначим вершины сечения так, чтобы одна сторона через T была параллельна BD, а другая — AC. Как и в задании 3, AC ⟂ BD, поэтому параллелограмм сечения является прямоугольником.
AT:TD = 2:1, поэтому AT/AD = 2/3, DT/DA = 1/3.
Сторона, параллельная BD, равна (2/3)BD = 10/3. Сторона, параллельная AC, равна (1/3)AC = 2.
Площадь сечения: (10/3)·2 = 20/3.
Ответ: а) доказано; б) 20/3
Источник: открытый банк ФИПИ · код задания 30ED04